Gerade

gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie

Eine gerade Linie oder kurz Gerade ist ein Element der Geometrie. Sie ist eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte wird hingegen als Strecke bezeichnet. Moderne axiomatische Theorien der Geometrie nehmen darauf jedoch keinen Bezug (Synthetische Geometrie). Für sie ist eine Gerade ein Objekt ohne innere Eigenschaften, lediglich die Beziehungen zu anderen Geraden, Punkten und Ebenen sind von Bedeutung. In der analytischen Geometrie wird eine Gerade als eine Menge von Punkten realisiert. Genauer: In einem affinen Raum ist eine Gerade ein eindimensionaler affiner Unterraum.

Darstellung von Geraden im kartesischen Koordinatensystem

Synthetische GeometrieBearbeiten

In seinen Elementen hat Euklid eine explizite Definition einer Geraden gegeben, die dem anschaulichen Bild entspricht. Für Sätze und ihre Beweise spielt diese Definition jedoch keine Rolle. Moderne Axiomensysteme verzichten daher auf eine solche Definition.

Eine Gerade ist in diesem Fall ein Begriff, auf den die einzelnen Axiome Bezug nehmen. Ein Beispiel ist das erste Axiom aus Hilberts Axiomensystem:

Zwei voneinander verschiedene Punkte   und   bestimmen stets eine Gerade  .

Die Bedeutung des Begriffs Gerade ergibt sich aus der Gesamtheit der Axiome. Eine Interpretation als eine unendlich lange, unendlich dünne Linie ist nicht zwingend, sondern nur eine Anregung, was man sich anschaulich darunter vorstellen könnte.

In der projektiven Ebene sind die Begriffe Punkt und Gerade sogar vollständig austauschbar (Dualität). Damit ist es hier möglich, sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen.

Analytische GeometrieBearbeiten

 
Veranschaulichung des Stütz- und Richtungsvektors

In der analytischen Geometrie wird der geometrische Raum als  -dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen dargestellt. Eine Gerade wird dabei als eindimensionaler affiner Unterraum dieses Vektorraums definiert, d. h. als Nebenklasse eines eindimensionalen linearen Unterraumes.

In drei Dimensionen erfüllt der Geradenbegriff der analytischen Geometrie alle Bedingungen, die Hilbert in seinem Axiomensystem der Geometrie voraussetzt. In diesem Fall ist eine Gerade somit auch eine Gerade im Sinne Hilberts.

Man benötigt lediglich die Lage zweier Punkte, um eine Gerade zu beschreiben. Einer der Punkte dient dabei als „Stütze“ der Geraden, auf ihm „liegt“ sie sozusagen auf – dieser Punkt heißt daher Aufpunkt oder Stützpunkt der Geraden. Mit dem zweiten Punkt erhält man die Richtung der Geraden. Die Richtung wird dabei durch den Vektor vom Aufpunkt zum „Richtungspunkt“ angegeben.

Die Gerade   durch die Punkte   und   enthält genau die Punkte  , deren Ortsvektor   eine Darstellung

  mit  

besitzt, also

 

Hierbei ist   der Stützvektor, das heißt der Ortsvektor des Stützpunkts   und   der Richtungsvektor.

Die affine Hülle von zwei verschiedenen Vektoren   und  

 

ist ebenfalls eine Gerade.

Auch der Lösungsraum eines (inhomogenen) linearen Gleichungssystems mit   linear unabhängigen Gleichungen ist ein affiner Unterraum der Dimension Eins und somit eine Gerade. In zwei Dimensionen kann eine Gerade folglich durch eine Geradengleichung

 

angegeben werden, wobei   und   oder   ungleich Null sein muss. Ist   ungleich 0, so spricht man von einer linearen Funktion  .

Kürzester WegBearbeiten

Im reellen euklidischen Raum liegt der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer Geraden. Verallgemeinert man diese Eigenschaft der Geraden auf gekrümmten Räumen (Mannigfaltigkeiten), so gelangt man zum Begriff der geodätischen Linie, kurz Geodäte.

Gleichung einer Geraden in der EbeneBearbeiten

Die Gleichung einer Geraden in der Ebene kann man auf drei verschiedenen Weisen bestimmen:

Punkt-Richtung-Gleichung:

  • Gegeben sind ein Punkt   und der Neigungswinkel (Anstiegswinkel)  .
     
  • Gegeben sind ein Punkt   und die Steigung (der Anstieg)  .
     

Zwei-Punkte-Gleichung:

  • Gegeben sind zwei Punkte   und   mit  .
     

oder

 

Gleichung einer Geraden im Raum ℝⁿBearbeiten

Punkt-Richtungs-GleichungBearbeiten

Für jedes Paar   aus einem Ortsvektor (d. h. Punkt)   und einem Richtungsvektor   existiert eine Gerade  , die   enthält und in Richtung   verläuft, nämlich

 .

Zwei-Punkte-GleichungBearbeiten

Gegeben seien zwei Ortsvektoren (d. h. Punkte)   mit  . Dann existiert eine eindeutig bestimmte Gerade  , die   und   enthält, nämlich

 .

Lage zweier Geraden zueinanderBearbeiten

Zwei Geraden können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:

  • Gleich sein: Beide Geraden haben alle Punkte gemeinsam.
  • Einen Schnittpunkt besitzen: Beide Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam (speziell: senkrecht zueinander).
  • Zueinander echt parallel sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen.
  • Zueinander windschief sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, aber lassen sich nicht durch eine Verschiebung allein ineinander überführen (ab mindestens drei Dimensionen).

Im Sinne der Theorie der Relationen spricht man auch von Parallelität, wenn beide Geraden identisch sind, insbesondere ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Zur Präzisierung unterscheidet man dann zwischen echt parallel und identisch.

Schnittpunkt in der EbeneBearbeiten

Schnittpunkt zweier GeradenBearbeiten

Für den Schnittpunkt zweier nicht paralleler

  • Geraden (gegeben in Koordinatenform)  

ergibt sich mit der Cramerschen Regel für die Koordinaten des Schnittpunktes  

 

Falls   ist, sind die beiden Geraden parallel.

  • Für eine Gerade durch die Punkte
  und  
und eine Gerade durch die Punkte
  und  
Berechnet man den Schnittpunkt, indem man zuvor die Zweipunkteformen in Koordinatenformen umrechnet.
Der Schnittpunkt   ergibt sich zu[1]
 
und
 

Schnittpunkt zweier StreckenBearbeiten

 
Schnitt zweier Strecken

Sind zwei nicht parallele Strecken   und   gegeben, so müssen sie sich nicht schneiden. Denn der Schnittpunkt   der zugehörigen Geraden muss nicht in beiden Strecken enthalten sein. Um letzteres zu klären, stellt man beide Strecken parametrisiert dar:

 ,
 

Schneiden sich die Strecken, so muss der gemeinsame Punkt   der zugehörigen Geraden Parameter   haben mit der Eigenschaft  . Die Schnittparameter   sind Lösung des linearen Gleichungssystems

 
 

Dieses löst man (wie oben) mit der Cramerschen Regel, überprüft die Schnittbedingung   und setzt   oder   in die zugehörige Parameterdarstellung ein, um schließlich den Schnittpunkt   zu erhalten.

Beispiel: Für die Strecken   und   erhält man das Gleichungssystem

 
 

und  . D. h. die Strecken schneiden sich und der Schnittpunkt ist  .

Bemerkung: Betrachtet man Geraden durch zwei Punktepaare, so kann man die Bedingung   ignorieren und erhält mit dieser Methode den Schnittpunkt der beiden Geraden.[1]

Abstand in der EbeneBearbeiten

Abstand zwischen Punkt und GeradeBearbeiten

Der Abstand zwischen dem Punkt   und der Geraden mit der Koordinatenform   beträgt:

 

Der Punkt auf der Geraden, der   am nächsten liegt, hat die Koordinaten

 

Wenn die Gerade durch die Punkte   und   verläuft, ist

 
 
 

Diese Werte können in die Formeln eingesetzt werden.[2]

Abstand im dreidimensionalen RaumBearbeiten

Abstand zwischen Punkt und GeradeBearbeiten

Der Abstand zwischen dem Punkt   und der Geraden, die durch die Punkte   und   verläuft, beträgt:[3]

 

Abstand zwischen zwei GeradenBearbeiten

Zwei Geraden, wobei die eine durch die Punkte   und   und die andere durch die Punkte   und   verläuft, haben folgenden Abstand:[4]

 

Die Gerade in Technik und VermessungskundeBearbeiten

In technischen Fachgebieten ist die Gerade das wichtigste Element für Konstruktionen, zur Trassierung, zur Ortsbestimmung und zur Einmessung von Koordinaten:

Bei Messungen wird sie durch die Zielachse eines Messfernrohrs oder einen Laser repräsentiert, im Bauwesen etwa durch ein Schnurgerüst.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Gerade – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Gerade – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
  2. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
  3. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
  4. Wolfram MathWorld: Line-Line Distance