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Die Koordinatenform oder Koordinatengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Koordinatenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die Unbekannten der Gleichung sind dabei die Koordinaten der Punkte der Gerade oder Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Koordinatenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Koordinatenform einer GeradengleichungBearbeiten

 
Koordinatenform einer Geradengleichung

DarstellungBearbeiten

In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen  ,   und   über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten   die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei muss   oder   ungleich null sein. Bei den Zahlen   und   handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors   der Geraden. Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung wird durch   angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, also ein Einheitsvektor, dann beträgt der Abstand gerade  .

BeispielBearbeiten

Im Bild oben ist die Geradengleichung in Koordinatenform

 .

Jede Wahl von  , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht genau einem Geradenpunkt.

SpezialfälleBearbeiten

  • Falls   ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, und falls   ist, parallel zur y-Achse.
  • Falls   ist, handelt es sich bei der Geraden um eine Ursprungsgerade.
  • Falls   ist, liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann   und  .

BerechnungBearbeiten

Aus der NormalenformBearbeiten

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor   und Normalenvektor   lassen sich die Parameter der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung direkt ablesen:

 .

Liegt eine Gerade in hessescher Normalform vor, kann der Parameter   auch von dort übernommen werden.

Aus der ParameterformBearbeiten

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor   und Richtungsvektor   wird zunächst ein Normalenvektor der Geraden über   bestimmt und daraus dann die Parameter der Geraden in Koordinatenform als

 .

Aus der ZweipunkteformBearbeiten

Aus der Zweipunkteform einer Gerade durch die beiden Punkte   und   erhält man durch Ausmultiplizieren die Parameter der Koordinatenform

 .

Koordinatenform einer EbenengleichungBearbeiten

 
Koordinatenform einer Ebenengleichung

DarstellungBearbeiten

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen  ,  ,   und   beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten   die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei muss  ,   oder   ungleich null sein. Bei den Zahlen  ,   und   handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors   der Ebene. Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung wird durch   angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, dann beträgt der Abstand gerade  .

BeispielBearbeiten

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist

 .

Jede Wahl von  , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht genau einem Ebenenpunkt.

SpezialfälleBearbeiten

  • Falls   ist, verläuft die Ebene parallel zur x-Achse, falls   ist, parallel zur y-Achse, und falls   ist, parallel zur z-Achse.
  • Falls   ist, handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene.
  • Falls   ist, liegt die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann  ,   und  .

BerechnungBearbeiten

Aus der NormalenformBearbeiten

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor   und Normalenvektor   lassen sich die Parameter der Ebene in Koordinatenform ebenfalls durch Ausmultiplizieren ablesen:

 .

Liegt eine Ebene in hessescher Normalform vor, kann der Parameter   auch von dort übernommen werden.

Aus der ParameterformBearbeiten

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stützvektor   und den beiden Richtungsvektoren   und   wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt   bestimmt und daraus dann die Parameter der Ebene in Koordinatenform als

 .

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Koordinatenform.

VerallgemeinerungBearbeiten

Allgemein wird durch eine lineare Gleichung mit   Unbekannten   eine Hyperebene im  -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten  , deren Koordinaten die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter   ungleich null sein.[1]

LiteraturBearbeiten

  • Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.
  • Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-32186-3.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, S. 41–42.

WeblinksBearbeiten