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Euklidischer Raum

Anschauung des Raumes definiert durch Euklids Axiome und Postulate

In der Mathematik ist der euklidische Raum zunächst der „Raum unserer Anschauung“, wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie). Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende physikalische Raum beschrieben wird. Der Zusatz „euklidisch“ wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere Raumkonzepte (z. B. hyperbolischer Raum, riemannsche Mannigfaltigkeiten) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden (Minkowski-Raum, Lorentz-Mannigfaltigkeit).

Im Laufe der Zeit wurde Euklids Geometrie auf verschiedene Arten präzisiert und verallgemeinert:

Wenn vom euklidischen Raum die Rede ist, dann kann jede dieser Definitionen gemeint sein oder auch eine höherdimensionale Verallgemeinerung. Den zweidimensionalen euklidischen Raum nennt man auch euklidische Ebene. In diesem zweidimensionalen Fall wird der Begriff in der synthetischen Geometrie etwas allgemeiner gefasst: Euklidische Ebenen können dort als affine Ebenen über einer allgemeineren Klasse von Körpern, den euklidischen Körpern definiert werden. Diese Körper sind (je nach Auffassung) Teilkörper oder isomorph zu Teilkörpern von

Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann. Man zeichnet deshalb die Abbildungen aus, die Längen und Winkel erhalten. Diese nennt man traditionell Kongruenzabbildungen, andere Bezeichnungen sind Bewegungen und Isometrien.

In den nichteuklidischen Räumen, so dem hyperbolischen und dem elliptischen Raum, gilt das Parallelenaxiom nicht.

Inhaltsverzeichnis

Euklidische VektorräumeBearbeiten

Vom euklidischen Anschauungsraum zum euklidischen VektorraumBearbeiten

In der analytischen Geometrie ordnet man dem euklidischen Raum einen Vektorraum zu. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist, die Menge der Parallelverschiebungen (Translationen) zu nehmen, versehen mit der Hintereinanderausführung als Addition. Jede Verschiebung lässt sich durch einen Pfeil beschreiben, der einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindet. Dabei beschreiben zwei Pfeile, die gleichsinnig parallel sind und die gleiche Länge haben, dieselbe Verschiebung. Man nennt zwei solche Pfeile äquivalent und nennt die Äquivalenzklassen Vektoren.

 
Zwei Punkte und ihre Ortsvektoren

Wählt man im euklidischen Raum einen Punkt   als Bezugspunkt (Ursprung) aus, so kann man jedem Punkt   seinen Ortsvektor   zuordnen, den Vektor, der durch einen Pfeil vom Ursprung   zum Punkt   dargestellt wird. Auf diese Art bekommt man eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen dem euklidischen Raum und dem zugehörigen euklidischen Vektorraum und kann so den ursprünglichen euklidischen Raum mit dem euklidischen Vektorraum identifizieren. Diese Identifizierung ist aber nicht kanonisch, sondern hängt von der Wahl des Ursprungs ab.

 
Winkel zwischen zwei Vektoren

Man kann nun auch die Längen- und Winkelmessung aus dem euklidischen Raum auf Vektoren übertragen als Länge der zugehörigen Pfeile und Winkel zwischen solchen. Auf diese Art erhält man einen Vektorraum mit Skalarprodukt. Das Skalarprodukt ist dadurch charakterisiert, dass das Produkt   eines Vektors   mit sich selbst das Quadrat   seiner Länge   ergibt. Aus den Rechengesetzen für Skalarprodukte, den binomischen Formeln und dem Kosinussatz (angewandt auf ein Dreieck, dessen Seiten den Vektoren  ,   und   entsprechen) ergibt sich die Formel

 .

Hierbei bezeichnet   den Winkel zwischen den Vektoren   und  .

Allgemeiner BegriffBearbeiten

Davon ausgehend nennt man jeden reellen Vektorraum mit Skalarprodukt (beliebiger endlicher Dimension  ) einen euklidischen Vektorraum. Man benutzt dann obige Formel, um Länge (Norm) eines Vektors und Winkel zwischen Vektoren zu definieren. Zwei Vektoren sind dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Jeder dreidimensionale euklidische Vektorraum ist isometrisch isomorph zum Vektorraum der Pfeilklassen. Jeder  -dimensionale euklidische Vektorraum ist isometrisch isomorph zum Koordinatenvektorraum   (siehe unten). Euklidische Vektorräume derselben Dimension   sind also nicht unterscheidbar. Dies berechtigt einen, jeden solchen als den euklidischen Vektorraum der Dimension   zu bezeichnen. Manche Autoren benutzen den Begriff euklidischer Raum auch für unendlichdimensionale reelle Vektorräume mit Skalarprodukt, manche auch für komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt, vgl. Skalarproduktraum.

Längen, Winkel, Orthogonalität und OrthonormalbasenBearbeiten

Sobald man einen reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt versehen hat, kann man die metrischen Begriffe des euklidischen Anschauungsraums auf diesen übertragen. Die Länge (die Norm, der Betrag) eines Vektors   ist dann die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

 .

Zwei Vektoren   sind zueinander orthogonal (oder senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist:

 .

Den (nichtorientierten) Winkel zwischen zwei Vektoren definiert man mittels der obigen Formel

 ,

also

 .

Ein Vektor   heißt Einheitsvektor, wenn er die Länge 1 hat. Eine Basis aus Einheitsvektoren, die paarweise orthogonal sind, heißt Orthonormalbasis. In jedem euklidischen Vektorraum existieren Orthonormalbasen. Ist   eine Orthonormalbasis, so lässt sich der Vektor   in dieser Basis darstellen:

 .

Die Koeffizienten erhält man durch

 .

IsometrienBearbeiten

Sind   und   zwei  -dimensionale euklidische Vektorräume, so nennt man eine lineare Abbildung   eine (lineare) Isometrie, wenn sie das Skalarprodukt erhält, wenn also

 

für alle   gilt. Eine solche Abbildung   wird auch orthogonale Abbildung genannt. Eine Isometrie erhält insbesondere Längen

 

und Winkel, also insbesondere Orthogonalität

 

Umgekehrt ist jede lineare Abbildung, die Längen erhält, eine Isometrie.

Eine Isometrie bildet jede Orthonormalbasis wieder auf eine Orthonormalbasis ab. Umgekehrt, wenn   eine Orthonormalbasis von   ist und   eine Orthonormalbasis von  , so gibt es genau eine Isometrie, die   auf   abbildet.

Daraus ergibt sich, dass zwei euklidische Vektorräume derselben Dimension isometrisch sind, also als euklidische Vektorräume nicht unterscheidbar sind.

Der euklidische PunktraumBearbeiten

MotivationBearbeiten

Euklidische Vektorräume dienen oft als Modelle für den euklidischen Raum. Die Elemente des Vektorraums werden dann je nach Kontext als Punkte oder Vektoren bezeichnet. Es wird nicht zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren unterschieden. Rechnerisch kann dies von Vorteil sein. Begrifflich ist es jedoch unbefriedigend:

  • Aus geometrischer Sicht sollten Punkte und Vektoren begrifflich unterschieden werden.
    • Vektoren können addiert und mit Zahlen multipliziert werden, Punkte aber nicht.
    • Punkte werden durch Vektoren verbunden bzw. ineinander übergeführt.
  • Im Vektorraum gibt es ein ausgezeichnetes Element, den Nullvektor. In der euklidischen Geometrie sind aber alle Punkte gleichberechtigt.

BeschreibungBearbeiten

Abhilfe schafft das Konzept des euklidischen Punktraums. Dies ist ein affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum. Hier unterscheidet man Punkte und Vektoren.

  • Die Gesamtheit der Punkte bildet den euklidischen Punktraum. Dieser wird meist mit  ,  ,   oder   bezeichnet. (Das hochgestellte   ist kein Exponent, sondern ein Index, der die Dimension kennzeichnet.   ist also kein kartesisches Produkt.)
  • Die Gesamtheit aller Vektoren bildet einen euklidischen Vektorraum  .
 
 
  • Zu je zwei Punkten   und   existiert genau ein Verbindungsvektor, der mit   bezeichnet wird.
    Der Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst ist der Nullvektor:  
  • Ein Punkt   kann durch einen Vektor   in eindeutiger Weise in einen Punkt   übergeführt werden. Dieser wird oft mit   bezeichnet. (Dies ist eine rein formale Schreibweise. Das Pluszeichen bezeichnet keine Vektorraumaddition, und auch keine Addition auf dem Punktraum.)
    Der Nullvektor führt jeden Vektor in sich selbst über:  
  • Führt der Vektor   den Punkt   in den Punkt   über und der Vektor   den Punkt   in den Punkt  , so führt   den Punkt   in den Punkt   über. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:
     
     

In der Sprache der Algebra bedeuten diese Eigenschaften: Die additive Gruppe des Vektorraums   operiert frei und transitiv auf der Menge  .

Längen, Abstände und WinkelBearbeiten

 
Der Winkel   ist der Winkel zwischen den Vektoren   und  

Streckenlängen, Abstände zwischen Punkten, Winkel und Orthogonalität können nun mit Hilfe des Skalarprodukts von Vektoren definiert werden:

Die Länge   der Strecke   und den Abstand   der Punkte   und   definiert man als die Länge des Vektors  :

 

Die Größe des Winkels   definiert man als den Winkel zwischen den Vektoren   und  :

 

Zwei Strecken   und   sind genau dann orthogonal, wenn die zugehörigen Vektoren   und   orthogonal sind.

AbbildungenBearbeiten

Längenerhaltende Abbildungen eines euklidischen Punktraums auf sich heißen Isometrien, Kongruenzabbildungen (in der ebenen Geometrie) oder Bewegungen. Sie erhalten automatisch auch Winkel. Ist   eine Bewegung, so existiert eine orthogonale Abbildung (lineare Isometrie)  , so dass für alle Punkte   und   gilt:

 

Der reelle KoordinatenraumBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der  -dimensionale reelle Koordinatenraum   ist das  -fache kartesische Produkt der Menge   der reellen Zahlen, also die Menge der  -Tupel   wobei die   reelle Zahlen sind. Man bezeichnet die Elemente des   je nach Kontext als Punkte oder als Vektoren, es wird also nicht zwischen Punkten und Vektoren unterschieden.

Als Vektoren werden sie komponentenweise addiert und mit reellen Zahlen multipliziert:

 
 

In diesem Fall werden die Elemente des   oft als Spaltenvektoren (d. h.  -Matrizen) geschrieben:

 

Das Skalarprodukt (Standardskalarprodukt) ist definiert durch

 .

Mit diesem Skalarprodukt ist der   ein euklidischer Vektorraum.

Vom euklidischen Vektorraum/Punktraum zum KoordinatenraumBearbeiten

Wählt man in einem euklidischen Vektorraum eine Orthonormalbasis bzw. in einem euklidischen Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem (d. h. einen Koordinatenursprung und eine Orthonormalbasis des Vektorraums), so wird dadurch jedem Vektor bzw. Punkt ein Koordinaten- -Tupel zugeordnet. Auf diese Art erhält man eine Isometrie zwischen dem gegebenen euklidischen Raum und dem Koordinatenraum und kann diese vermöge dieser Isometrie miteinander identifizieren. Dies rechtfertigt es, den   als den euklidischen Raum zu bezeichnen. Die Isometrie hängt jedoch von der Wahl der Orthonormalbasis und – im Fall des Punktraums – von der Wahl des Ursprungs ab.

Länge, Winkel, Orthogonalität, Standardbasis und AbständeBearbeiten

Die Länge oder Norm eines Vektors ist wie in jedem euklidischen Vektorraum durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben:

 

Man nennt diese Norm auch euklidische Norm oder 2-Norm und schreibt statt   auch   oder  .

Der Winkel zwischen zwei Vektoren   und   berechnet sich dann durch

 

Zwei Vektoren   und   sind genau dann orthogonal,  , wenn

 

gilt. Die Vektoren der Standardbasis

 

sind Einheitsvektoren und paarweise orthogonal, bilden also eine Orthonormalbasis.

Fasst man die Elemente des   als Punkte auf, so ist der Abstand zwischen den Punkten   und   als die Länge des Verbindungsvektors   definiert:

 

IsometrienBearbeiten

Vektorraum-Isometrien (lineare Isometrien) des   sind orthogonale Abbildungen, die durch orthogonale Matrizen dargestellt werden. Ist   eine lineare Isometrie und ist

 

das Bild des  -ten Standardbasisvektors ( ), so lässt sich   mit Hilfe der Matrizenmultiplikation darstellen als

 .

Jede Isometrie (Bewegung)   des Punktraums   lässt sich in der Form

 

als Verknüpfung einer orthogonalen Abbildung   und einer Parallelverschiebung (Translation)   darstellen.

OrientierungBearbeiten

Jeder endlichdimensionale reelle Vektorraum kann durch die Wahl einer geordneten Basis mit einer Orientierung versehen werden. Während bei beliebigen euklidischen Vektor- und Punkträumen keine Orientierung ausgezeichnet ist, besitzt der Koordinatenraum   eine kanonische Orientierung, die durch die Standardbasis gegeben ist: Die geordnete Basis aus den Vektoren   ist positiv orientiert.

Eine geordnete Basis

 

ist genau dann positiv orientiert, wenn die aus ihr gebildete Determinante positiv ist:

 

Identifiziert man den (als euklidisch angenommenen) physikalischen Raum mit dem Koordinatenraum  , indem man ein kartesisches Koordinatensystem einführt, so wählt man die Koordinatenachsen üblicherweise so, dass sie ein Rechtssystem bilden. Die durch die Rechte-Hand-Regel gegebene Orientierung des physikalischen Raums entspricht dann der kanonischen Orientierung des Koordinatenraums  .

Der euklidische Raum in anderen Gebieten der MathematikBearbeiten

Euklidische Räume in der TopologieBearbeiten

 
Einordnung euklidischer Räume in die verschiedenen Arten topologischer Räume

Die Funktion, die jedem Vektor seine durch das Skalarprodukt definierte Länge zuordnet, ist eine Norm. Man spricht von der durch das Skalarprodukt induzierten Norm oder der Skalarproduktnorm; manche Autoren nennen die Norm auch euklidische Norm. Die durch das Standardskalarprodukt auf   induzierte Norm heißt euklidische Norm oder 2-Norm und ist ein Spezialfall der p-Normen. Durch die induzierte Norm wird jeder euklidische Vektorraum zu einem normierten Raum und dadurch zum klassischen Beispiel eines topologischen Vektorraums. Insbesondere ist er ein Prähilbertraum und, weil dieser im Endlichdimensionalen auch vollständig ist, ein Banachraum und somit auch ein Hilbertraum.

Durch die euklidische Abstandsfunktion   wird jeder euklidische Raum zu einem metrischen Raum und damit insbesondere zu einem topologischen Raum.

Da auf endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind, hängt die Topologie des euklidischen Raums in Wirklichkeit nicht von der euklidischen Struktur ab. Normierte Vektorräume derselben endlichen Dimension   sind also alle zueinander homöomorph und damit homöomorph zum  . Nach dem Satz von der Invarianz der Dimension von Luitzen E. J. Brouwer sind euklidische Räume verschiedener Dimension jedoch nicht homöomorph aufeinander abbildbar.

Als topologischer Raum ist der euklidische Raum zusammenhängend und zusammenziehbar.

Euklidische Räume in der DifferentialtopologieBearbeiten

Mannigfaltigkeiten werden über euklidischen Räumen modelliert: Eine Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum  . Durch die differenzierbare Struktur sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten lokal diffeomorph zum  . Insbesondere ist der euklidische Raum selbst eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für alle Dimensionen außer Dimension vier ist eine zu   homöomorphe differenzierbare Mannigfaltigkeit auch zu   diffeomorph. Die in vier Dimensionen bestehenden Ausnahmen werden exotische 4-Räume genannt.

Euklidische Räume in der DifferentialgeometrieBearbeiten

Durch das (nicht vom Punkt abhängige) Skalarprodukt wird der euklidische Raum zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit. Umgekehrt wird in der riemannschen Geometrie jede riemannsche Mannigfaltigkeit, die isometrisch zum Vektorraum   mit dem Standardskalarprodukt ist, als euklidischer Raum bezeichnet. Für diese riemannschen Mannigfaltigkeiten verschwindet der Krümmungstensor, das heißt, der Raum ist flach. Umgekehrt ist jede flache riemannsche Mannigfaltigkeit lokal isometrisch zum euklidischen Raum. Es kann sich allerdings auch um eine offene Teilmenge eines   handeln oder um eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung eine Teilmenge des   ist. Zweidimensionale Beispiele für den letzten Fall sind ein flacher Torus oder ein gerader Kreiszylinder. Hingegen ist jede vollständige und einfach zusammenhängende flache riemannsche Mannigfaltigkeit ein euklidischer Raum.

LiteraturBearbeiten

  • Marcel Berger: Geometry I. Aus dem Französischen von M. Cole und S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1987, ISBN 3-540-11658-3.
  • Marcel Berger: Geometry II. Aus dem Französischen von M. Cole und S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1987, ISBN 3-540-17015-4.