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Als Bilinearform bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, welche zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet und die linear in ihren beiden Argumenten ist.

Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper zugrunde liegen muss; eine Bilinearform ist eine Abbildung . Eine Bilinearform ist eine Linearform bezüglich ihres ersten als auch ihres zweiten Arguments, und somit insbesondere eine Multilinearform mit zwei Argumenten.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es seien   Vektorräume über einem Körper   (oder allgemeiner ein Linksmodul   und ein Rechtsmodul   über einem nicht notwendigerweise kommutativen Ring).

Eine Abbildung

 

heißt Bilinearform, wenn die zwei Bedingungen einer linearen Abbildung (Additivität und Homogenität) in beiden Argumenten gelten:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

Dabei sind  ,   und  .

Symmetrieeigenschaften im Fall V=WBearbeiten

Wenn beide Argumente der Bilinearform aus dem gleichen Vektorraum   stammen, bezeichnet man   als den Formwert des Vektors   (bezüglich  ). Die Bilinearform   kann zusätzliche Symmetrieeigenschaften haben:

  • Eine Bilinearform   heißt symmetrisch, wenn
 
für alle   gilt.
Für eine symmetrische Bilinearform ist stets   (Polarisationsformel). Daraus folgt, dass die Bilinearform durch die Gesamtheit der Formwerte vollständig bestimmt ist, falls der zugrundeliegende Körper   eine Charakteristik ungleich   hat  .
  • Eine Bilinearform   heißt alternierend, wenn alle Formwerte in Bezug auf   verschwinden, wenn also
 
für alle   gilt.
  • Eine Bilinearform   heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch, wenn
 
für alle   gilt.

Jede alternierende Bilinearform ist auch antisymmetrisch. Ist  , was zum Beispiel für   und   erfüllt ist, gilt auch die Umkehrung: Jede antisymmetrische Bilinearform ist alternierend. Betrachtet man allgemeiner Moduln über einem beliebigen kommutativen Ring, sind diese beiden Begriffe äquivalent, wenn der Zielmodul keine 2-Torsion besitzt.

BeispieleBearbeiten

  • Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine nicht ausgeartete, symmetrische, positiv definite Bilinearform.
  • Ein Skalarprodukt   auf einem komplexen Vektorraum   ist keine Bilinearform, sondern eine Sesquilinearform. Fasst man jedoch   als reellen Vektorraum auf, so ist
 
eine symmetrische Bilinearform und
 
eine alternierende Bilinearform.
  • Es gibt eine kanonische nicht ausgeartete Bilinearform
 

AusartungsraumBearbeiten

Definition des AusartungsraumsBearbeiten

Sei   eine Bilinearform. Die Menge

 

ist ein Untervektorraum von   und heißt Linkskern oder Linksradikal der Bilinearform. Die Symbolik „ “ soll andeuten, dass Elemente des Linkskerns gerade die sind, welche (im Sinne der Bilinearform) orthogonal zum gesamten Raum   sind. Entsprechend heißt

 

Rechtskern oder Rechtsradikal. Ist eine Bilinearform   symmetrisch, so stimmen Rechtskern und Linkskern überein und man nennt diesen Raum den Ausartungsraum von  .

Die Schreibweisen   und   werden mit analoger Definition auch für Teilmengen   beziehungsweise   benutzt.

Nicht ausgeartete BilinearformBearbeiten

Jede Bilinearform   definiert zwei lineare Abbildungen

 

und

 

Rechts- und Linkskern sind die Kerne dieser Abbildungen:

 
 

Sind beide Kerne trivial (die beiden Abbildungen   und   also injektiv), so heißt die Bilinearform nicht ausgeartet oder nicht entartet. Andernfalls heißt die Bilinearform ausgeartet oder entartet. Sind die Abbildungen   und   sogar bijektiv, also Isomorphismen, so heißt die Bilinearform perfekte Paarung. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen gilt dies immer, die Begriffe nicht ausgeartet und perfekt sind in diesem Fall also synonym verwendbar.

Die Bilinearform ist somit genau dann nicht ausgeartet, wenn Folgendes gilt:

  • Zu jedem Vektor   existiert ein Vektor   mit   und
  • zu jedem Vektor   existiert ein Vektor   mit  

Ist die Bilinearform symmetrisch, so ist sie genau dann nicht ausgeartet, wenn ihr Ausartungsraum der Nullvektorraum ist.

KoordinatendarstellungBearbeiten

Für endlichdimensionale   und   kann man Basen   und   wählen.

Die darstellende Matrix einer Bilinearform   ist   mit

 .

Sind   und   die Koordinatenvektoren von   und  , so gilt

 ,

wobei das Matrixprodukt eine  -Matrix liefert, also ein Körperelement.

Ist umgekehrt   eine beliebige  -Matrix, so definiert

 

eine Bilinearform  .

BasiswechselBearbeiten

Sind   und   weitere Basen von   und  , weiterhin   die Basiswechselmatrix von   nach  . Dann ergibt sich die Matrix von   in der neuen Basis als

 

Ist  ,   und  , dann heißen die Matrizen   und   zueinander kongruent.

Beispiele/EigenschaftenBearbeiten

  • Das Standardskalarprodukt in   hat bezüglich der Standardbasis als Matrix die Einheitsmatrix.
  • Wenn   und dieselbe Basis für   und   verwendet wird, so gilt: Die Bilinearform ist genau dann symmetrisch, wenn die Matrix symmetrisch ist, genau dann antisymmetrisch, wenn die Matrix antisymmetrisch ist und genau dann alternierend, wenn die Matrix alternierend ist.
  • Die Abbildung   ist eine Bijektion des Raumes der Bilinearformen   auf die  - -Matrizen. Definiert man die Summe und Skalarmultiplikation von Bilinearformen auf kanonische Weise ( ), so ist diese Bijektion auch ein Vektorraumisomorphismus.
  • Für symmetrische Bilinearformen über Vektorräumen endlicher Dimension existiert eine Basis, in der die darstellende Matrix Diagonalgestalt hat (falls  ). (siehe Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren für den Spezialfall positiv definiter Bilinearformen)
  • Falls weiterhin  , kann man eine Basis finden, in der zusätzlich auf der Diagonalen nur die Einträge 1, −1 und 0 vorkommen (Trägheitssatz von Sylvester)

Weiterführende BemerkungenBearbeiten

  • Bilinearformen   entsprechen linearen Abbildungen  ; siehe Tensorprodukt.
  • Wenn die Abbildung nicht notwendig in den Skalarkörper  , sondern in einen beliebigen Vektorraum erfolgt, spricht man von einer bilinearen Abbildung.
  • Die Verallgemeinerung des Begriffes der Bilinearform auf mehr als zwei Argumente heißt Multilinearform.
  • Über dem Körper der komplexen Zahlen fordert man oft Linearität im einen und Semilinearität im anderen Argument; statt einer Bilinearform erhält man dann eine Sesquilinearform. Insbesondere ist ein inneres Produkt über einem reellen Vektorraum eine Bilinearform, über einem komplexen Vektorraum aber nur eine Sesquilinearform.

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 38 – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

LiteraturBearbeiten