Gruppenoperation

Begriff aus der Mathematik
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In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe als „aktiver“ Teil und eine Menge als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements auf der Menge ist eine Transformation (bijektive Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente auf den Elementen der Menge in der Weise, dass die Aktion des Produkts der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht.

Die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge.

Ist bei der Menge zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische, topologische, wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt.

Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, in Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.

Einführendes Beispiel: Würfelgruppe und Raumdiagonalen

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  seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h.,   und   sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken:

    und gleichzeitig
 

Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die vier Raumdiagonalen vertauscht, nämlich

 

Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene   (viertes Bild), lässt die zwei Raumdiagonalen   und   fest und vertauscht die anderen zwei:

    und    

Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht

    und gleichzeitig
    und gleichzeitig
    und gleichzeitig
 

Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale, wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.

Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.

Es gibt nun zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar   und  ), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißt Transposition, und diese Transpositionen erzeugen die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es   dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt

 

Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)

Definition

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Eine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe   auf einer Menge   ist eine äußere zweistellige Verknüpfung

 

mit folgenden Eigenschaften:

  1.   für alle  , wobei   das neutrale Element von   ist     („Identität“),
  2.   für alle       („Verträglichkeit“).

Man sagt dann,   operiert (von links) auf  , und nennt   zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke)  -Menge.

Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes   die Transformation   eine bijektive Abbildung ist (die Umkehrabbildung   ist  ). Deswegen ist die Aktion eines Gruppenelements   nicht nur eine Selbstabbildung, sondern eine Permutation von  . Des Weiteren folgt erneut aus den Operationseigenschaften, dass eine Gruppenoperation von   auf   mit einem Gruppenhomomorphismus   von   in die symmetrische Gruppe   gleichgesetzt werden kann:

 

Rechtsaktion

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Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung

 

mit

  1.   für alle   und das neutrale Element   von  
  2.   für alle  

Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen   auf   operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst   und dann  , während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.

Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt   von links   von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation   gibt es eine Linksoperation

 

denn

 

und

 

Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.

Bei der Betrachtung der Abbildung   ist allerdings Vorsicht geboten: Bei einer Linksoperation ist sie ein Gruppenhomomorphismus, weil Funktionssymbole üblicherweise auch von linksseitig notiert werden: „ “. Bei   operiert daher zuerst   und anschließend  . Das entspricht der Reihenfolge bei einer Linksoperation gemäß der Eigenschaft der Verträglichkeit. Operiert die Gruppe aber von rechts, so handelt es sich um einen Antihomomorphismus von Gruppen, es sei denn, man trifft Vorkehrungen, wie oben geschildert, um dies zu verhindern.

Weitere Begriffe

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Es sei   die (Links-)Operation einer Gruppe   auf einer Menge   Für jedes   nennt man dann

 

die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von  

Die Bahnen bilden eine Partition von   Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes   nennt man die durch

 

gegebene Abbildung   die „Orbitabbildung“.

Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation der Konjugation (unter der Operation der Gruppe  , scil.):

Elemente   heißen (unter der Gruppenoperation) konjugiert, (in Zeichen: „ “) genau dann, falls es ein   gibt, für das   gilt.[Anm 1]

Offenbar sind zwei Elemente einer Bahn stets konjugiert.

Die Menge   der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt und besteht demnach aus den Konjugationsklassen (unter der Gruppenoperation).

Für eine Rechtsoperation   definiert man analog

 

und

 

Fundamentalbereich

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Seien   eine Menge und   eine Transformationsgruppe von  . Für einen Punkt   bezeichne   die Bahn von  . Dann heißt die Menge   ein Fundamentalbereich von  , wenn der Schnitt   für jedes   eine einelementige Menge ist.[1]

Beispiel

Das Quadrat   ist ein Fundamentalbereich von   bezüglich der Transformationsgruppe  . Jeder Punkt   lässt sich schreiben als   mit   und  .

Transitive und scharf transitive Operationen

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Man bezeichnet die Gruppenoperation   von   auf   als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe   operiert (einfach) transitiv auf  “, wenn es zu je zwei Elementen   ein   gibt, so dass   gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn, die ganz   umfasst, mit anderen Worten: Alle (will sagen: je zwei beliebige) Elemente aus   sind zueinander konjugiert.

Ist das Gruppenelement   mit   darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente   eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.

Gibt es sogar zu jedem Paar von Urbildern   mit   und jedem Paar von Bildern   mit   ein Gruppenelement  , für das   und   ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.

Wenn Missverständnisse nicht zu befürchten sind, kann anstelle der Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“ auch die kürzere „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) vorkommen.

Allgemein bestimmt eine Operation   der Gruppe   auf   für   stets eine Operation

 

auf den geordneten Teilmengen von   mit   Elementen (k-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten) durch

 

Ist   (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation   (scharf)  -fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via   genau dann  -fach transitiv auf   wenn   bezüglich   nur eine Bahn (nämlich   selbst) hat, scharf  -fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel)   dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement   mit   gibt. Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.

Beispiele
  • Die (Kleinsche) Vierergruppe   operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge  , da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe  , die isomorph zu   ist – und zur Diedergruppe der Ordnung vier.
  • Die Galoisgruppe eines über einem Körper   irreduziblen Polynoms (etwa eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ( )) operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.[2][3] Dieses Beispiel ist Gegenstand des Abschnittes „Automorphismengruppe eines Körpers und einer Galois-Erweiterung“.

Intransitive Permutationsgruppe

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Hat die Gruppenoperation mehr als eine Bahn, nennt man sie intransitiv. Diejenigen Permutationen einer intransitiven Permutationsgruppe, die nur die Ziffern einer Bahn vertauschen, die übrigen Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Untergruppe, die transitiv wird, wenn man die ungeänderten Ziffern weglässt.

Homogene Operationen

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Eine Verallgemeinerung der  -fach transitiven Operation ist die  -fach homogene Operation. Eine Gruppe   operiert  -fach homogen auf der Menge   mit   wenn es für zwei beliebige Teilmengen   mit je genau   Elementen stets mindestens ein Gruppenelement   gibt, das   auf   abbildet, also mit   Jede  -fach transitive Operation ist auch  -fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die   vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.

Stabilisator

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Für ein   nennt man

 

den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von   ist eine Untergruppe von  , die auf   operiert. Durch die Operation   ist dann eine kanonische Bijektion zwischen der Menge der Linksnebenklassen nach dem Stabilisator des Elements   und dessen Bahn gegeben (siehe unten „Bahnensatz“):

 

Gehören   und   derselben Bahn an ( ) so sind die zugehörigen Fixgruppen   im Sinne der Gruppentheorie zueinander konjugierte Untergruppen,[Anm 2] das heißt, mit einem geeigneten   gilt:  . Dazu wähle nämlich   mit   gemäß Voraussetzung. Kurz: Fixgruppen konjugierter Elemente sind konjugierte Untergruppen.

  operiert (durch Einschränkung von  ) auf   Ist diese Operation  -fach transitiv und   so ist die Operation von   auf   sogar  -fach transitiv.

Ist   eine Teilmenge und   eine Untergruppe, und gilt

  mit  

so sagt man, dass   stabil unter   ist oder dass   von   stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar   Der Stabilisator eines Punktes   ist also die maximale Untergruppe von   die   stabilisiert.

Wenn  , so ist die maximale Untergruppe von  , die   stabilisiert, eine Teilmenge der maximalen Untergruppe von  , die   stabilisiert.

Fixpunktmengen

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Ein Element   heißt Fixpunkt unter der Operation eines  , wenn  . Es heißt Fixpunkt unter der Gruppe(noperation einer Untergruppe)  , wenn es Fixpunkt eines jeden   ist.

Für Fixpunktmengen finden sich in der Literatur folgende Schreibweisen:

  • die Menge aller Fixpunkte unter  :
 
  • die Menge aller Fixpunkte unter einer Untergruppe  :
 

Erzeugt das Element   die Untergruppe  , so gilt  .

Selbstverständlich ist   stabil unter  , doch ist es im Allgemeinen nicht gleich der maximalen unter   stabilen Teilmenge, denn in dieser müssen die Elemente nicht punktweise fix bleiben, sondern dürfen untereinander permutiert werden.

Es gilt  , falls  , wie leicht zu erkennen.

Konjugierte Mengen

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In Verallgemeinerung des obigen Begriffs der Konjugation nennt man zwei Teilmengen   (unter der Gruppenoperation) konjugiert, wenn es ein Element   mit der Eigenschaft   gibt.

Schränkt man die transitive Operation einer Gruppe   auf einen Normalteiler   ein, so sind deren Bahnen     sämtlich zueinander konjugiert unter der Gruppenoperation von  , das heißt: Sind  , so gibt es   mit  . Dazu wähle   mit   und beachte   gemäß Voraussetzung.[4]

Primitive Gruppenoperationen und Imprimitivitätsgebiete

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Für transitive Gruppenoperationen gibt es zwei triviale Partitionierungen   der Menge   in Teilmengen  , so dass die Gruppenoperation diese Teilmengen permutiert. Dabei sei   eine nichtleere Indexmenge, die das neutrale Element   enthalte. Das die Teilmengen permutiert werden, bedeutet, dass es zu jedem   ein   gibt mit  . Daher lässt sich als Indexmenge eine Teilmenge   (oder eine gleichmächtige Menge) wählen, die (ohne Einschränkung)   enthalte. Die beiden erwähnten trivialen Partitionierungen sind:

  • die Partition in einelementige Teilmengen:   (mit   und  )[Anm 3] und
  • die „Partition“   (mit   und  ).

Wenn eine transitiv operierende Gruppe nur diese beiden trivialen Partitionierungen besitzt, so heißt ihre Gruppenoperation primitiv, andernfalls imprimitiv.

Operiert sie imprimitiv, so gibt es demnach Teilmengen  , die sämtlich mehr als nur ein Element enthalten und eine Partition von   darstellen. Es lässt sich folgern, dass sie zueinander paarweise konjugiert und infolgedessen gleichmächtig sind.

Die Teilmengen   einer nicht-trivialen Partitionierung heißen Imprimitivitätsgebiete.[5]

Für transitiv operierende Gruppen gilt folgendes Kriterium für eine imprimitive Gruppenoperation: Bezeichnet   die Fixgruppe eines Elementes  , so sind äquivalent:

  • Es gibt eine echte Zwischengruppe  .
  • G operiert imprimitiv.

Ist die Partition gegeben, so liege dabei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit)  , und es ist offenbar   gerade die maximale   stabilisierende Untergruppe (das heißt:  ). Damit gilt notwendig  . Ist umgekehrt   gegeben so setze man   und folgere  . Die Partition in Imprimitivitätsgebiete ist gegeben durch

 , wobei   die Linksnebenklassen von   durchläuft,   selbst also nur ein geeignetes Repräsentantensystem   dieser Linksnebenklassen.

Insgesamt also:

 .

Freie und treue Operationen

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Die Operation heißt frei, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h.   für alle  , oder – angesichts des Bahnensatzes äquivalent – dass jede Bahn die Länge   hat. Die Bahnengleichung für endlicher Menge   lautet dann vereinfacht:

 , wobei   ein Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen von   bezeichne.

Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus   trivialen Kern hat, also injektiv ist. Für treue Operationen kann   als Untergruppe von   aufgefasst werden. Für treue Operationen mit endlicher Menge   sagt man auch: „  operiert als Permutationsgruppe auf  “ Alternativ (und etwas detaillierter) sagt man, dass   „die Transformationsgruppe als Permutationsgruppe darstellt“, nämlich als die Permutationsgruppe  . Entsprechend heißt   eine „Permutationsgruppendarstellung“ von  .

Allgemein bedeutet nämlich „eine Gruppe als Permutationsgruppe einer Menge   darstellen“ eine zu   isomorphe Untergruppe von   zu bestimmen, also eine Einbettung  . Eine solche Einbettung ist im Allgemeinen keineswegs eindeutig bestimmt.[6]

Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.

Homomorphismen zwischen G-Mengen

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Wenn   eine weitere Menge mit einer  -Linksoperation   ist und   eine Abbildung, so dass für alle   und für alle   gilt:

 

dann wird   als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von  -Mengen bezeichnet.

Eigenschaften

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Die Äquivalenzklassen der oben eingeführten Äquivalenzrelation „ “ sind genau die Bahnen oder Konjugationsklassen (unter der Gruppenoperation). Daraus folgt die

Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von   ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Dabei gilt (mit   als der Fixgruppe von  ) für jede Bahn (das heißt für jede Äquivalenzklasse) der

Bahnensatz: Für jedes   ist die (wohldefinierte!) Abbildung   eine Bijektion von der Menge der Linksnebenklassen nach der Fixgruppe von   in dessen Konjugationsklasse (Bahn).

Für Rechtsoperationen sind stattdessen die Rechtsnebenklassen zu betrachten.

Wenn   endlich ist und   ein Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen in   bezeichne, dann lässt sich die obige Bahnengleichung folgendermaßen schreiben:

 

Aus der Bijektion des Bahnensatzes folgt für eine endliche Gruppe   die Bahnformel

 

Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von  

Beispiele

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Operation einer Gruppe auf sich selbst

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Operation durch Multiplikation

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Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe   auf sich selbst:   ist stets eine Operation auf  , denn   und  

Die Abbildung   ordnet jedem Gruppenelement   die Linkstranslation   mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist   ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung   ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe  

Mit dieser Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist also Darstellung der Gruppe als Permutationsgruppe (als Gruppe von Permutationen auf einer symmetrischen Gruppe) gefunden. Im obigen Falle hat die symmetrische Gruppe den Grad  , denn das ist die Anzahl der vertauschbaren Objekte. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt werden, dass sich diese Anzahl unter günstigen Umständen verringern lässt.

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation  

Betrachtet man eine Untergruppe   von   dann operiert auch   auf   Die Bahn   eines Elements   heißt dann auch Rechtsnebenklasse und   Linksnebenklasse von   Man beachte, dass im Allgemeinen nicht   sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

 

Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt   für jedes   Daraus folgt mit der Bahnengleichung der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe   einer endlichen Gruppe   gilt:
 
Insbesondere ist die Ordnung von   ein Teiler der Ordnung von  

Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

 

Eine Untergruppe   von   heißt Normalteiler, wenn   für alle   gilt. Ist   ein Normalteiler von   dann wird durch

 

eine Verknüpfung auf   definiert, mit der   eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von   modulo  

Operation auf den Nebenklassen durch Multiplikation

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Es sei   eine Untergruppe von   und   bezeichne die Menge der Linksnebenklassen  . Dann operiert   in naheliegender Weise auf   durch  . Diese Operation ist transitiv. Sie liefert also (gemäß obiger Feststellung, dass jede Gruppenoperation als Operation einer Permutationsgruppe auffassen lässt) einen Gruppenhomomorphismus  . Für den Kern des Homomorphismus gilt:

 .

Im Falle von   liefert die Operation auf den Linksnebenklassen von   bereits eine Darstellung von   als Permutationsgruppe, nämlich als  .[7]

Im Trivialfall  , der oben im Abschnitt „Operation durch Multiplikation“ betrachtet wurde, besitzt   trivialen Kern: Die treue Operation liefert eine Darstellung von   als Permutationsgruppe vom Grad  , wie oben im Satz von Cayley erkannt wurde.

Doch eine „größere“ Untergruppe   könnte günstigenfalls (nämlich bei  ) den Grad der Permutationsgruppe   – das ist die Anzahl der zu permutierenden Objekte – von   auf   reduzieren und trotzdem noch eine Darstellung der Gruppe   als Permutationsgruppe liefern.

Tatsächlich empfiehlt sich hierfür die Fixgruppe   eines Elements  : Der Transitivität wegen sind alle Gruppenelemente zueinander konjugiert, mithin sind ihre Fixgruppen die zu   konjugierten Untergruppen; der Treue wegen ist der Durchschnitt all dieser Fixgruppen trivial, so dass   eine Permutationsgruppendarstellung vom Grade   ist.

Für konjugierte Untergruppen   und   (mit einem  ) erhält man freilich zwei verschiedene Permutationsgruppendarstellungen, da die Mengen der Linksnebenklassen   und   unterschiedlich sein können. Doch dürfen sie in jedem Falle als äquivalent gelten, denn der innere Automorphismus   auf   (mit  ) induziert die folgende Bijektion zwischen den beiden Mengen:

 

Diese Bijektion vermittelt zwischen beiden Permutationsdarstellungen   und   und zeigt, dass sie äquivalent sind, also im Wesentlichen gleich, bis auf das Aussehen der zu permutierenden Objekte und einen inneren Automorpmismus der Gruppe   der nichts ins Gewicht fällt.

Für Rechtsnebenklassen bei Rechtsoperation gelten selbstverständlich analoge Überlegungen.[8]

Operation durch Konjugation

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Eine Gruppe   operiert auf sich selbst durch die inneren Automorphismen

 , wobei  .

Man erhält den Gruppenhomomorphismus

 .

Die Menge aller inneren Automorphismen wird mit   bezeichnet.

Die zugrunde liegende Gruppenoperation[Anm 4] ist also:  

Tatsächlich wurde diese Operation einer Gruppe auf sich selbst in der klassischen Gruppentheorie als die Konjugation (von Gruppenelementen) bezeichnet. Daher spricht man in der Gruppentheorie üblicherweise von´den Konjugationsklassen (anstelle von Bahnen) und des Weiteren vom Zentralisator   anstelle des Stabilisators  . Die Bahnformel lautet

 , falls beide Seiten endlich sind,

und die Bahnengleichung heißt in diesem Kontext üblicherweise Klassengleichung, setzt eine endliche Operatorgruppe voraus und lautet:

 , wobei   ein Repräsentantensysteme der Konjugationsklassen bezeichne.

Eine elegante Anwendung der Klassengleichung lieferte Ernst Witt mit seinem kurzen Beweis (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Endliche Schiefkörper sind kommutativ.“

Automorphismengruppe eines Körpers und einer Galois-Erweiterung

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Die Gruppe der Automorphismen   eines Körpers   operiert in offensichtlicher Weise auf  , denn damit ist ja der erforderliche Gruppenhomomorphismus   unmittelbar gegeben. Die Operation ist durch   geben, wobei   und  .

Es sei nun   eine Untergruppe (bspw.  ) und   der Fixkörper in   unter der Operation von  . Dann ist   eine Galois-Erweiterung mit der Galois-Gruppe  , und diese Erweiterung ist endlich, sobald   oder   endlich sind. In diesem Falle gilt  .

Die Galois-Gruppe   einer Galois-Erweiterung   operiert, wie oben gezeigt, auf dem Erweiterungskörper  . Dabei sind die Elemente, die unter der Operation der Galoios-Gruppe konjugiert sind, genau diejenigen, die man kurz als über   konjugiert bezeichnet: Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass sie dasselbe Minimalpolynom über   besitzen. Dessen Nullstellenmenge ist also eine Bahn unter der Operation der Galois-Gruppe und stellt eine Konjugationsklasse über   bzw. unter der Operation der Galois-Gruppe dar. Gerade weil es eine Galois-Erweiterung ist, liegen nämlich alle seine Nullstellen in   (Eigenschaft der Normalität).[Anm 5][9]

Ist umgekehrt   eine endliche, unter   stabile Teilmenge von Körperelementen aus  , die also unter der Operation   permutiert werden, so liegen die Koeffizienten   des Polynoms   notwendig in  , und es ist genau dann über   irreduzibel, wenn sämtliche   untereinander konjugiert sind, das heißt, wenn   transitiv auf   operiert. Andernfalls besteht   aus mehr als nur einer Bahn (Konjugationsklasse), zerfällt also in eine Partition   disjunkter Bahnen   und das Polynom   zerfällt in   irreduziblen Faktoren  .

All dies gilt insbesondere für ein – nach dem Satz vom primitiven Element (Niels Henrik Abel, 1829) existierendes – erzeugendes Element   einer endlichen Galois-Erweiterung mit  : Seine sämtlichen Konjugierten   (wobei  ) sind genau die Nullstellen desselben Minimalpolynoms über  , welches den Grad   besitzt (und das in historischer Sprechweise eine Galois-Resolvente ist), und bilden die Bahn unter der Operation der Galois-Gruppe:  . Ein Automorphismus   ist daher bereits durch sein Bild   festgelegt. Dies heißt wiederum, dass die Gruppe   auf   (also auf der Nullstellenmenge der Galois-Resolvente) scharf einfach transitiv operiert. Die Operation ist also frei, mithin erst recht treu.[Anm 6]

Für einen Zwischenkörper   definiert man (analog zu obiger Definition):

 .

Für die Galoiserweiterung   und den Verband   ihrer Zwischenkörper einerseits sowie für die Galoisgruppe   und den Verband   ihrer Untergruppen andererseits lässt sich unter Verwendung der oben genannten Begrifflichkeiten der Hauptsatz der Galoistheorie formulieren:

Die Abbildungen   und   sind zueinander inverse Anti-Isomorphismen der beiden Verbände   und  , das heißt, sie sind zueinander inverse Bijektionen, welche die jeweiligen Inklusionen umkehren:
 

Dass hierbei konjugierte Untergruppen auf konjugierte Fixpunktmengen (konjugierte Zwischenkörper) abgebildet werden, folgt mühelos aus den obigen allgemeinen Überlegungen. Also korrespondieren die in   normalen (das heißt „unter der Konjugation invarianten“) Untergruppen (sprich: die Normalteiler) mit den über   normalen Zwischenkörpern.

Moduln und Vektorräume

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Ein  -(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe   auf der eine Gruppe   (von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation   linksverträglich mit   ist, d. h., es gelten

  für alle   und alle  

Die Transformationen   mit   bilden dann in der Gruppe   der Automorphismen auf   eine Untergruppe, und diese ist gerade das Bild des Gruppenhomomorphismus  .

Die Eigenschaft der „Verträglichkeit“ einer Gruppenoperation von links fließt beim Nachweis ein, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt.

Im Falle einer Operation von rechts (also einem  -Rechts-Modul) wäre   ein „Gruppenantihomomorphismus“ oder aber – was auf dasselbe hinausläuft – erst dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn anstelle der Gruppe   ihre Gegengruppe als Definitionsbereich gewählt wird.

Ist insbesondere   die skalare Multiplikation eines Vektorraums   über dem Körper   dann operiert die multiplikative Gruppe   auf  .

Dies gilt auch für einen Schiefkörper. Doch dabei ist auf die Seitigkeit zu achten: Bei Operation von links erhält man einen Links-Vektorraum, bei Operation von rechts einen Rechts-Vektorraum. Die wichtige Rolle der Seitigkeit wird auch beim Übergang zum Dualraum eines Vektorraums deutlich, denn dabei wechselt die Seitigkeit: Der Dualraum eines Links-Vektorraumes ist ein Rechts-Vektorraum und umgekehrt. Erst der Bidualraum hat die ursprüngliche Seitigkeit – und ist im endlichdimensionalen Falle kanonisch isomorph mit dem Ausgangsvektorraum („Dualitätssatz für Vektorrräume“).[10]

Kategorien

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Ist allgemeiner   ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe   auf   definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

 

dabei ist   die Gruppe der Automorphismen von   im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.

Siehe auch

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Commons: Group actions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Anmerkungen

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  1. Von Lateinisch coniugare: „(zu einem Paar) verbinden, verknüpfen; verheiraten“: Konjugierte Elemente sind mit Hilfe der Gruppenoperation miteinander verknüpft, nämlich durch die Operation des geeigneten   bzw.  .
  2. Beachte hierzu unter den Beispielen den Abschnitt Operation durch Konjugation.
  3. Beachte, dass es der Transitivität wegen eine Bijektion zwischen einer Teilmenge   und   gibt: Zu jedem   gibt es ein   mit  .
  4. Man beachte die obige Feststellung, dass eine Gruppenoperation „ “ von der Gruppe   auf der Menge   mit einem Gruppenhomomorphismus   von dieser Gruppe in die symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe)   von   gleichgesetzt werden kann:  . Genau dieser Fall liegt hier vor, indem man   und   setzt. Dabei handelt es sich bei den Permutationen von   sogar um Automorphismen.
  5. Die Separabilität der Erweiterung   ergibt sich daraus, dass der Grundkörper als ein Fixkörper gewählt wurde.
  6. Diese Formulierung kommt der historischen Perspektive auf die Theorie höherer Gleichungen – auf die ursprüngliche historische Fragstellung der Algebra – nahe, welche schließlich im Satz von Abel-Ruffini (1799, 1824) und in der Galois-Theorie gipfelte: Man betrachtete die Permutationsgruppe der Nullstellenmenge eines Polynoms und nutzte Symmetrien (Stichworte: Lagrange-Resolvente und Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen). Der moderne Ansatz hingegen stellt die Automorphismengruppe   als Transformationsgruppe auf dem Erweiterungskörper   in den Mittelpunkt der Betrachtungen.

Einzelnachweise

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  1. Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)).
  3. Vgl. auch Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Körpertheorie, § 39 Einfache Körpererweiterungen, Satz oben (vierter Absatz) auf Seite 117 (in Verbindung mit dem Satz vom primitiven Element für den Zerfällungskörper des gegebenen Polynoms).
  4. Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Kapitel I. Gruppentheorie, § 7 Permutationsgruppen, Satz 3, S. 20 oben (132 S.).
  5. Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Fortsetzung der Gruppentheorie, § 56 Transitivität und Primitivität, Seite 165ff.
  6. Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 26 (132 S.).
  7. Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen Satz 4, Seite 26. (132 S.).
  8. Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 24 ff. (132 S.).
  9. Siegfried Bosch: Algebra. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4 Galois-Theorie, 4.1 Galois-Erweiterungen, Satz 4, S. 190, doi:10.1007/978-3-662-67464-2 (508 S.).
  10. Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel IVI Vektorräume und Tensorräume, § 21 Der duale Vektorraum., S. 68 f. (272 S.).

Literatur

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