Hauptmenü öffnen

In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe als „aktiver“ Teil und eine Menge als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements auf der Menge ist eine Transformation (Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente auf den Elementen der Menge in der Weise, dass die Aktion des Produkts der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht.

Die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge.

Ist bei der Menge zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische, topologische, wird man eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachten, wenn sie diese Struktur bewahrt.

Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, in Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.

Einführendes Beispiel: Würfelgruppe und RaumdiagonalenBearbeiten

 

  seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h.,   und   sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken:

    und gleichzeitig
 

Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die 4 Raumdiagonalen vertauscht, nämlich

 

Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene   (viertes Bild), lässt die 2 Raumdiagonalen   und   fest und vertauscht die anderen 2

    und    

Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht

    und gleichzeitig
    und gleichzeitig
    und gleichzeitig
 

Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.

Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.

Es gibt nun zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar   und  ), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißt Transposition, und diese Transpositionen erzeugen die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es   dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt

 

Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)

DefinitionBearbeiten

(Links-) AktionBearbeiten

Eine (Links-) Operation, (Links-) Aktion oder (Links-) Wirkung einer Gruppe   auf einer Menge   ist eine äußere zweistellige Verknüpfung

 

mit folgenden Eigenschaften:

  1.   für alle  , wobei   das neutrale Element von   ist     („Identität“),
  2.   für alle       („Verträglichkeit“).

Man sagt dann,   operiert (von links) auf   und nennt   zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke)  -Menge.

Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes   die Transformation   eine bijektive Abbildung ist (die Umkehrabbildung   ist  ). Deswegen ist die Aktion eines Gruppenelements   nicht nur eine Selbstabbildung, sondern eine Permutation von  , und eine Gruppenoperation von   auf   kann mit einem Gruppenhomomorphismus von   in die symmetrische Gruppe   gleichgesetzt werden.

RechtsaktionBearbeiten

Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung

 

mit

  1.   für alle   und das neutrale Element   von  
  2.   für alle  

Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen   auf   operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst   und dann  , während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.

Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt   von links   von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation   gibt es eine Linksoperation

 

denn

 

und

 

Auf ähnliche Weise lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.

Weitere BegriffeBearbeiten

BahnBearbeiten

Es sei   die (Links-) Operation einer Gruppe   auf einer Menge   Für jedes   nennt man dann

 

die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von   Die Bahnen bilden eine Partition von   Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes   nennt man die durch

 

gegebene Abbildung   die „Orbitabbildung“.

Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation:

 

falls es ein   gibt, für das   gilt.

Die Menge   der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt.

Für eine Rechtsoperation   definiert man analog

 

und

 

FundamentalbereichBearbeiten

Seien   ein topologischer Raum und   eine Transformationsgruppe von  . Für einen Punkt   bezeichne   die Bahn von  . Dann heißt die Menge   ein Fundamentalbereich von  , wenn der Schnitt   für jedes   eine einelementige Menge ist.[1]

Beispiel

Das Quadrat   ist ein Fundamentalbereich von   bezüglich der Transformationsgruppe  . Jeder Punkt   lässt sich schreiben als   mit   und  .

Transitive und scharf transitive Operationen Bearbeiten

Man bezeichnet die Gruppenoperation   von   auf   als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe   operiert (einfach) transitiv auf  “, wenn es zu je zwei Elementen   ein   gibt, so dass   gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn, die ganz   umfasst. Ist das Gruppenelement   mit   darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente   eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.

Gibt es sogar zu jedem Paar von Urbildern   mit   und jedem Paar von Bildern   mit   ein Gruppenelement  , für das   und   ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.

Wenn Missverständnisse nicht zu befürchten sind, kann anstelle der Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“ auch die kürzere „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) vorkommen.

Allgemein bestimmt eine Operation   der Gruppe   auf   für   stets eine Operation

 

auf den geordneten Teilmengen von   mit   Elementen (k-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten) durch

 

Ist   (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation   (scharf)  -fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via   genau dann  -fach transitiv auf   wenn   bezüglich   nur eine Bahn (nämlich   selbst) hat, scharf  -fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel)   dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement   mit   gibt. Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.

Beispiel

Die Vierergruppe   operiert transitiv auf der Menge  , da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe  , die isomorph zu   ist.

Intransitive PermutationsgruppeBearbeiten

Hat die Gruppenoperation mehr als eine Bahn, nennt man sie intransitiv. Diejenigen Permutationen einer intransitiven Permutationsgruppe, die nur die Ziffern einer Bahn vertauschen, die übrigen Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Untergruppe, die transitiv wird, wenn man die ungeänderten Ziffern weglässt.

Homogene OperationenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der  -fach transitiven Operation ist die  -fach homogene Operation. Eine Gruppe   operiert  -fach homogen auf der Menge   mit   wenn es für zwei beliebige Teilmengen   mit je genau   Elementen stets mindestens ein Gruppenelement   gibt, das   auf   abbildet, also mit   Jede  -fach transitive Operation ist auch  -fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die   vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.

StabilisatorBearbeiten

Für ein   nennt man

 

den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von   ist eine Untergruppe von  , die auf   operiert. Durch die Operation   ist dann eine kanonische Bijektion zwischen dem Bahnenraum (Nebenklassen, siehe unten) des Stabilisators und der Bahn von   gegeben:

 

  operiert (durch Einschränkung von  ) auf   Ist diese Operation  -fach transitiv und   so ist die Operation von   auf   sogar  -fach transitiv.

Ist   eine Teilmenge und   eine Untergruppe, und gilt

  mit  

so sagt man, dass   stabil unter   ist oder dass   von   stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar   Der Stabilisator eines Punktes   ist also die maximale Untergruppe von   die   stabilisiert.

Freie und treue OperationenBearbeiten

Die Operation heißt frei, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h.   für alle  

Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus   trivialen Kern hat, also injektiv ist. Für treue Operationen kann   als Untergruppe von   aufgefasst werden. Für treue Operationen mit endlicher Menge   sagt man auch: „  operiert als Permutationsgruppe auf  

Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.

Homomorphismen zwischen G-MengenBearbeiten

Wenn   eine weitere Menge mit einer  -Linksoperation   ist und   eine Abbildung, so dass für alle   und für alle   gilt:

 

dann wird   als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von  -Mengen bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

Die Äquivalenzklassen der oben eingeführten Äquivalenzrelation   sind genau die Bahnen. Daraus folgt die

Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von   ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Genauer gilt (mit   als der Fixgruppe von  ) der

Bahnensatz: Ist   dann ist die Abbildung   eine Bijektion.

Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe   die Bahnformel

 

Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von  

BeispieleBearbeiten

Operation einer Gruppe auf sich selbstBearbeiten

Operation durch MultiplikationBearbeiten

Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe   auf sich selbst:   ist stets eine Operation auf  , denn   und  

Die Abbildung   ordnet jedem Gruppenelement   die Linkstranslation   mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist   ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung   ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe  

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation  

Betrachtet man eine Untergruppe   von   dann operiert auch   auf   Die Bahn   eines Elements   heißt dann auch Rechtsnebenklasse und   Linksnebenklasse von   Man beachte, dass im Allgemeinen nicht   sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

 

Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt   für jedes   Daraus folgt mit der Bahnengleichung der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe   einer endlichen Gruppe   gilt:
 
Insbesondere ist die Ordnung von   ein Teiler der Ordnung von  

Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

 

Eine Untergruppe   von   heißt Normalteiler, wenn   für alle   gilt. Ist   ein Normalteiler von   dann wird durch

 

eine Verknüpfung auf   definiert, mit der   eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von   modulo  

Operation durch KonjugationBearbeiten

Eine Gruppe   operiert auf sich durch die Konjugation, also  

Die Bahnen werden in diesem Zusammenhang als Konjugationsklassen, die Stabilisatoren als Zentralisatoren bezeichnet. Aus der Bahnformel erhält man in diesem Fall die Klassengleichung.

Die Automorphismen   heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen wird mit   bezeichnet.

Automorphismengruppe einer KörpererweiterungBearbeiten

Ist   eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit   die Gruppe aller Automorphismen von   die   punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf   durch   Jede Bahn besteht aus den in   liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in   das über   irreduzibel ist. Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über   sie haben dasselbe Minimalpolynom über  

Moduln und VektorräumeBearbeiten

Ein  -(Links-) Modul ist eine abelsche Gruppe   auf der eine Gruppe   (von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-) Operation   linksverträglich mit   ist, d. h., es gilt

  für alle   und alle  

Die Transformationen   mit   bilden dann die Gruppe   der Automorphismen auf   und die Abbildung   ist ein Gruppenisomorphismus.

Ist insbesondere   die skalare Multiplikation eines Vektorraums   über dem Körper   dann operiert die multiplikative Gruppe   auf  

KategorienBearbeiten

Ist allgemeiner   ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe   auf   definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

 

dabei ist   die Gruppe der Automorphismen von   im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Group actions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.