In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe als „aktiver“ Teil und eine Menge als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements auf der Menge ist eine Transformation (bijektive Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente auf den Elementen der Menge in der Weise, dass die Aktion des Produkts der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht.
Die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge.
Ist bei der Menge zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische, topologische, wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt.
Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, in Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.
Einführendes Beispiel: Würfelgruppe und Raumdiagonalen
Bearbeitenseien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h., und sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken:
- und gleichzeitig
Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die vier Raumdiagonalen vertauscht, nämlich
Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene (viertes Bild), lässt die zwei Raumdiagonalen und fest und vertauscht die anderen zwei:
- und
Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht
- und gleichzeitig
- und gleichzeitig
- und gleichzeitig
Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale, wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.
Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.
Es gibt nun zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar und ), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißt Transposition, und diese Transpositionen erzeugen die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt
Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)
Definition
Bearbeiten(Links-)Aktion
BearbeitenEine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe auf einer Menge ist eine äußere zweistellige Verknüpfung
mit folgenden Eigenschaften:
- für alle , wobei das neutrale Element von ist („Identität“),
- für alle („Verträglichkeit“).
Man sagt dann, operiert (von links) auf , und nennt zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke) -Menge.
Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes die Transformation eine bijektive Abbildung ist (die Umkehrabbildung ist ). Deswegen ist die Aktion eines Gruppenelements nicht nur eine Selbstabbildung, sondern eine Permutation von . Des Weiteren folgt erneut aus den Operationseigenschaften, dass eine Gruppenoperation von auf mit einem Gruppenhomomorphismus von in die symmetrische Gruppe gleichgesetzt werden kann:
Rechtsaktion
BearbeitenAnalog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung
mit
- für alle und das neutrale Element von
- für alle
Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen auf operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst und dann , während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.
Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt von links von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation gibt es eine Linksoperation
denn
und
Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.
Bei der Betrachtung der Abbildung ist allerdings Vorsicht geboten: Bei einer Linksoperation ist sie ein Gruppenhomomorphismus, weil Funktionssymbole üblicherweise auch von linksseitig notiert werden: „ “. Bei operiert daher zuerst und anschließend . Das entspricht der Reihenfolge bei einer Linksoperation gemäß der Eigenschaft der Verträglichkeit. Operiert die Gruppe aber von rechts, so handelt es sich um einen Antihomomorphismus von Gruppen, es sei denn, man trifft Vorkehrungen, wie oben geschildert, um dies zu verhindern.
Weitere Begriffe
BearbeitenBahn
BearbeitenEs sei die (Links-)Operation einer Gruppe auf einer Menge Für jedes nennt man dann
die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von
Die Bahnen bilden eine Partition von Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes nennt man die durch
gegebene Abbildung die „Orbitabbildung“.
Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation der Konjugation (unter der Operation der Gruppe , scil.):
- Elemente heißen (unter der Gruppenoperation) konjugiert, (in Zeichen: „ “) genau dann, falls es ein gibt, für das gilt.[Anm 1]
Offenbar sind zwei Elemente einer Bahn stets konjugiert.
Die Menge der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt und besteht demnach aus den Konjugationsklassen (unter der Gruppenoperation).
Für eine Rechtsoperation definiert man analog
und
Fundamentalbereich
BearbeitenSeien eine Menge und eine Transformationsgruppe von . Für einen Punkt bezeichne die Bahn von . Dann heißt die Menge ein Fundamentalbereich von , wenn der Schnitt für jedes eine einelementige Menge ist.[1]
- Beispiel
Das Quadrat ist ein Fundamentalbereich von bezüglich der Transformationsgruppe . Jeder Punkt lässt sich schreiben als mit und .
Transitive und scharf transitive Operationen
BearbeitenMan bezeichnet die Gruppenoperation von auf als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe operiert (einfach) transitiv auf “, wenn es zu je zwei Elementen ein gibt, so dass gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn, die ganz umfasst, mit anderen Worten: Alle (will sagen: je zwei beliebige) Elemente aus sind zueinander konjugiert.
Ist das Gruppenelement mit darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.
Gibt es sogar zu jedem Paar von Urbildern mit und jedem Paar von Bildern mit ein Gruppenelement , für das und ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.
Wenn Missverständnisse nicht zu befürchten sind, kann anstelle der Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“ auch die kürzere „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) vorkommen.
Allgemein bestimmt eine Operation der Gruppe auf für stets eine Operation
auf den geordneten Teilmengen von mit Elementen (k-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten) durch
Ist (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation (scharf) -fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via genau dann -fach transitiv auf wenn bezüglich nur eine Bahn (nämlich selbst) hat, scharf -fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel) dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement mit gibt. Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.
- Beispiele
- Die (Kleinsche) Vierergruppe operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge , da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe , die isomorph zu ist – und zur Diedergruppe der Ordnung vier.
- Die Galoisgruppe eines über einem Körper irreduziblen Polynoms (etwa eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ( )) operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.[2][3] Dieses Beispiel ist Gegenstand des Abschnittes „Automorphismengruppe eines Körpers und einer Galois-Erweiterung“.
Intransitive Permutationsgruppe
BearbeitenHat die Gruppenoperation mehr als eine Bahn, nennt man sie intransitiv. Diejenigen Permutationen einer intransitiven Permutationsgruppe, die nur die Ziffern einer Bahn vertauschen, die übrigen Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Untergruppe, die transitiv wird, wenn man die ungeänderten Ziffern weglässt.
Homogene Operationen
BearbeitenEine Verallgemeinerung der -fach transitiven Operation ist die -fach homogene Operation. Eine Gruppe operiert -fach homogen auf der Menge mit wenn es für zwei beliebige Teilmengen mit je genau Elementen stets mindestens ein Gruppenelement gibt, das auf abbildet, also mit Jede -fach transitive Operation ist auch -fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.
Stabilisator
BearbeitenFür ein nennt man
den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von ist eine Untergruppe von , die auf operiert. Durch die Operation ist dann eine kanonische Bijektion zwischen der Menge der Linksnebenklassen nach dem Stabilisator des Elements und dessen Bahn gegeben (siehe unten „Bahnensatz“):
Gehören und derselben Bahn an ( ) so sind die zugehörigen Fixgruppen im Sinne der Gruppentheorie zueinander konjugierte Untergruppen,[Anm 2] das heißt, mit einem geeigneten gilt: . Dazu wähle nämlich mit gemäß Voraussetzung. Kurz: Fixgruppen konjugierter Elemente sind konjugierte Untergruppen.
operiert (durch Einschränkung von ) auf Ist diese Operation -fach transitiv und so ist die Operation von auf sogar -fach transitiv.
Ist eine Teilmenge und eine Untergruppe, und gilt
- mit
so sagt man, dass stabil unter ist oder dass von stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar Der Stabilisator eines Punktes ist also die maximale Untergruppe von die stabilisiert.
Wenn , so ist die maximale Untergruppe von , die stabilisiert, eine Teilmenge der maximalen Untergruppe von , die stabilisiert.
Fixpunktmengen
BearbeitenEin Element heißt Fixpunkt unter der Operation eines , wenn . Es heißt Fixpunkt unter der Gruppe(noperation einer Untergruppe) , wenn es Fixpunkt eines jeden ist.
Für Fixpunktmengen finden sich in der Literatur folgende Schreibweisen:
- die Menge aller Fixpunkte unter :
- die Menge aller Fixpunkte unter einer Untergruppe :
Erzeugt das Element die Untergruppe , so gilt .
Selbstverständlich ist stabil unter , doch ist es im Allgemeinen nicht gleich der maximalen unter stabilen Teilmenge, denn in dieser müssen die Elemente nicht punktweise fix bleiben, sondern dürfen untereinander permutiert werden.
Es gilt , falls , wie leicht zu erkennen.
Konjugierte Mengen
BearbeitenIn Verallgemeinerung des obigen Begriffs der Konjugation nennt man zwei Teilmengen (unter der Gruppenoperation) konjugiert, wenn es ein Element mit der Eigenschaft gibt.
Schränkt man die transitive Operation einer Gruppe auf einen Normalteiler ein, so sind deren Bahnen sämtlich zueinander konjugiert unter der Gruppenoperation von , das heißt: Sind , so gibt es mit . Dazu wähle mit und beachte gemäß Voraussetzung.[4]
Primitive Gruppenoperationen und Imprimitivitätsgebiete
BearbeitenFür transitive Gruppenoperationen gibt es zwei triviale Partitionierungen der Menge in Teilmengen , so dass die Gruppenoperation diese Teilmengen permutiert. Dabei sei eine nichtleere Indexmenge, die das neutrale Element enthalte. Das die Teilmengen permutiert werden, bedeutet, dass es zu jedem ein gibt mit . Daher lässt sich als Indexmenge eine Teilmenge (oder eine gleichmächtige Menge) wählen, die (ohne Einschränkung) enthalte. Die beiden erwähnten trivialen Partitionierungen sind:
- die Partition in einelementige Teilmengen: (mit und )[Anm 3] und
- die „Partition“ (mit und ).
Wenn eine transitiv operierende Gruppe nur diese beiden trivialen Partitionierungen besitzt, so heißt ihre Gruppenoperation primitiv, andernfalls imprimitiv.
Operiert sie imprimitiv, so gibt es demnach Teilmengen , die sämtlich mehr als nur ein Element enthalten und eine Partition von darstellen. Es lässt sich folgern, dass sie zueinander paarweise konjugiert und infolgedessen gleichmächtig sind.
Die Teilmengen einer nicht-trivialen Partitionierung heißen Imprimitivitätsgebiete.[5]
Für transitiv operierende Gruppen gilt folgendes Kriterium für eine imprimitive Gruppenoperation: Bezeichnet die Fixgruppe eines Elementes , so sind äquivalent:
- Es gibt eine echte Zwischengruppe .
- G operiert imprimitiv.
Ist die Partition gegeben, so liege dabei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) , und es ist offenbar gerade die maximale stabilisierende Untergruppe (das heißt: ). Damit gilt notwendig . Ist umgekehrt gegeben so setze man und folgere . Die Partition in Imprimitivitätsgebiete ist gegeben durch
- , wobei die Linksnebenklassen von durchläuft, selbst also nur ein geeignetes Repräsentantensystem dieser Linksnebenklassen.
Insgesamt also:
- .
Freie und treue Operationen
BearbeitenDie Operation heißt frei, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h. für alle , oder – angesichts des Bahnensatzes äquivalent – dass jede Bahn die Länge hat. Die Bahnengleichung für endlicher Menge lautet dann vereinfacht:
- , wobei ein Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen von bezeichne.
Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus trivialen Kern hat, also injektiv ist. Für treue Operationen kann als Untergruppe von aufgefasst werden. Für treue Operationen mit endlicher Menge sagt man auch: „ operiert als Permutationsgruppe auf “ Alternativ (und etwas detaillierter) sagt man, dass „die Transformationsgruppe als Permutationsgruppe darstellt“, nämlich als die Permutationsgruppe . Entsprechend heißt eine „Permutationsgruppendarstellung“ von .
Allgemein bedeutet nämlich „eine Gruppe als Permutationsgruppe einer Menge darstellen“ eine zu isomorphe Untergruppe von zu bestimmen, also eine Einbettung . Eine solche Einbettung ist im Allgemeinen keineswegs eindeutig bestimmt.[6]
Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.
Homomorphismen zwischen G-Mengen
BearbeitenWenn eine weitere Menge mit einer -Linksoperation ist und eine Abbildung, so dass für alle und für alle gilt:
dann wird als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von -Mengen bezeichnet.
Eigenschaften
BearbeitenDie Äquivalenzklassen der oben eingeführten Äquivalenzrelation „ “ sind genau die Bahnen oder Konjugationsklassen (unter der Gruppenoperation). Daraus folgt die
- Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.
Dabei gilt (mit als der Fixgruppe von ) für jede Bahn (das heißt für jede Äquivalenzklasse) der
- Bahnensatz: Für jedes ist die (wohldefinierte!) Abbildung eine Bijektion von der Menge der Linksnebenklassen nach der Fixgruppe von in dessen Konjugationsklasse (Bahn).
Für Rechtsoperationen sind stattdessen die Rechtsnebenklassen zu betrachten.
Wenn endlich ist und ein Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen in bezeichne, dann lässt sich die obige Bahnengleichung folgendermaßen schreiben:
Aus der Bijektion des Bahnensatzes folgt für eine endliche Gruppe die Bahnformel
Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von
Beispiele
BearbeitenOperation einer Gruppe auf sich selbst
BearbeitenOperation durch Multiplikation
BearbeitenDas einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe auf sich selbst: ist stets eine Operation auf , denn und
Die Abbildung ordnet jedem Gruppenelement die Linkstranslation mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den
- Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe
Mit dieser Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist also Darstellung der Gruppe als Permutationsgruppe (als Gruppe von Permutationen auf einer symmetrischen Gruppe) gefunden. Im obigen Falle hat die symmetrische Gruppe den Grad , denn das ist die Anzahl der vertauschbaren Objekte. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt werden, dass sich diese Anzahl unter günstigen Umständen verringern lässt.
Analoges gilt auch für die Rechtstranslation
Betrachtet man eine Untergruppe von dann operiert auch auf Die Bahn eines Elements heißt dann auch Rechtsnebenklasse und Linksnebenklasse von Man beachte, dass im Allgemeinen nicht sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit
Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt für jedes Daraus folgt mit der Bahnengleichung der
- Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe einer endlichen Gruppe gilt:
- Insbesondere ist die Ordnung von ein Teiler der Ordnung von
Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also
Eine Untergruppe von heißt Normalteiler, wenn für alle gilt. Ist ein Normalteiler von dann wird durch
eine Verknüpfung auf definiert, mit der eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von modulo
Operation auf den Nebenklassen durch Multiplikation
BearbeitenEs sei eine Untergruppe von und bezeichne die Menge der Linksnebenklassen . Dann operiert in naheliegender Weise auf durch . Diese Operation ist transitiv. Sie liefert also (gemäß obiger Feststellung, dass jede Gruppenoperation als Operation einer Permutationsgruppe auffassen lässt) einen Gruppenhomomorphismus . Für den Kern des Homomorphismus gilt:
- .
Im Falle von liefert die Operation auf den Linksnebenklassen von bereits eine Darstellung von als Permutationsgruppe, nämlich als .[7]
Im Trivialfall , der oben im Abschnitt „Operation durch Multiplikation“ betrachtet wurde, besitzt trivialen Kern: Die treue Operation liefert eine Darstellung von als Permutationsgruppe vom Grad , wie oben im Satz von Cayley erkannt wurde.
Doch eine „größere“ Untergruppe könnte günstigenfalls (nämlich bei ) den Grad der Permutationsgruppe – das ist die Anzahl der zu permutierenden Objekte – von auf reduzieren und trotzdem noch eine Darstellung der Gruppe als Permutationsgruppe liefern.
Tatsächlich empfiehlt sich hierfür die Fixgruppe eines Elements : Der Transitivität wegen sind alle Gruppenelemente zueinander konjugiert, mithin sind ihre Fixgruppen die zu konjugierten Untergruppen; der Treue wegen ist der Durchschnitt all dieser Fixgruppen trivial, so dass eine Permutationsgruppendarstellung vom Grade ist.
Für konjugierte Untergruppen und (mit einem ) erhält man freilich zwei verschiedene Permutationsgruppendarstellungen, da die Mengen der Linksnebenklassen und unterschiedlich sein können. Doch dürfen sie in jedem Falle als äquivalent gelten, denn der innere Automorphismus auf (mit ) induziert die folgende Bijektion zwischen den beiden Mengen:
Diese Bijektion vermittelt zwischen beiden Permutationsdarstellungen und und zeigt, dass sie äquivalent sind, also im Wesentlichen gleich, bis auf das Aussehen der zu permutierenden Objekte und einen inneren Automorpmismus der Gruppe der nichts ins Gewicht fällt.
Für Rechtsnebenklassen bei Rechtsoperation gelten selbstverständlich analoge Überlegungen.[8]
Operation durch Konjugation
BearbeitenEine Gruppe operiert auf sich selbst durch die inneren Automorphismen
- , wobei .
Man erhält den Gruppenhomomorphismus
- .
Die Menge aller inneren Automorphismen wird mit bezeichnet.
Die zugrunde liegende Gruppenoperation[Anm 4] ist also:
Tatsächlich wurde diese Operation einer Gruppe auf sich selbst in der klassischen Gruppentheorie als die Konjugation (von Gruppenelementen) bezeichnet. Daher spricht man in der Gruppentheorie üblicherweise von´den Konjugationsklassen (anstelle von Bahnen) und des Weiteren vom Zentralisator anstelle des Stabilisators . Die Bahnformel lautet
- , falls beide Seiten endlich sind,
und die Bahnengleichung heißt in diesem Kontext üblicherweise Klassengleichung, setzt eine endliche Operatorgruppe voraus und lautet:
- , wobei ein Repräsentantensysteme der Konjugationsklassen bezeichne.
Eine elegante Anwendung der Klassengleichung lieferte Ernst Witt mit seinem kurzen Beweis (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Endliche Schiefkörper sind kommutativ.“
Automorphismengruppe eines Körpers und einer Galois-Erweiterung
BearbeitenDie Gruppe der Automorphismen eines Körpers operiert in offensichtlicher Weise auf , denn damit ist ja der erforderliche Gruppenhomomorphismus unmittelbar gegeben. Die Operation ist durch geben, wobei und .
Es sei nun eine Untergruppe (bspw. ) und der Fixkörper in unter der Operation von . Dann ist eine Galois-Erweiterung mit der Galois-Gruppe , und diese Erweiterung ist endlich, sobald oder endlich sind. In diesem Falle gilt .
Die Galois-Gruppe einer Galois-Erweiterung operiert, wie oben gezeigt, auf dem Erweiterungskörper . Dabei sind die Elemente, die unter der Operation der Galoios-Gruppe konjugiert sind, genau diejenigen, die man kurz als über konjugiert bezeichnet: Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass sie dasselbe Minimalpolynom über besitzen. Dessen Nullstellenmenge ist also eine Bahn unter der Operation der Galois-Gruppe und stellt eine Konjugationsklasse über bzw. unter der Operation der Galois-Gruppe dar. Gerade weil es eine Galois-Erweiterung ist, liegen nämlich alle seine Nullstellen in (Eigenschaft der Normalität).[Anm 5][9]
Ist umgekehrt eine endliche, unter stabile Teilmenge von Körperelementen aus , die also unter der Operation permutiert werden, so liegen die Koeffizienten des Polynoms notwendig in , und es ist genau dann über irreduzibel, wenn sämtliche untereinander konjugiert sind, das heißt, wenn transitiv auf operiert. Andernfalls besteht aus mehr als nur einer Bahn (Konjugationsklasse), zerfällt also in eine Partition disjunkter Bahnen und das Polynom zerfällt in irreduziblen Faktoren .
All dies gilt insbesondere für ein – nach dem Satz vom primitiven Element (Niels Henrik Abel, 1829) existierendes – erzeugendes Element einer endlichen Galois-Erweiterung mit : Seine sämtlichen Konjugierten (wobei ) sind genau die Nullstellen desselben Minimalpolynoms über , welches den Grad besitzt (und das in historischer Sprechweise eine Galois-Resolvente ist), und bilden die Bahn unter der Operation der Galois-Gruppe: . Ein Automorphismus ist daher bereits durch sein Bild festgelegt. Dies heißt wiederum, dass die Gruppe auf (also auf der Nullstellenmenge der Galois-Resolvente) scharf einfach transitiv operiert. Die Operation ist also frei, mithin erst recht treu.[Anm 6]
Für einen Zwischenkörper definiert man (analog zu obiger Definition):
- .
Für die Galoiserweiterung und den Verband ihrer Zwischenkörper einerseits sowie für die Galoisgruppe und den Verband ihrer Untergruppen andererseits lässt sich unter Verwendung der oben genannten Begrifflichkeiten der Hauptsatz der Galoistheorie formulieren:
- Die Abbildungen und sind zueinander inverse Anti-Isomorphismen der beiden Verbände und , das heißt, sie sind zueinander inverse Bijektionen, welche die jeweiligen Inklusionen umkehren:
Dass hierbei konjugierte Untergruppen auf konjugierte Fixpunktmengen (konjugierte Zwischenkörper) abgebildet werden, folgt mühelos aus den obigen allgemeinen Überlegungen. Also korrespondieren die in normalen (das heißt „unter der Konjugation invarianten“) Untergruppen (sprich: die Normalteiler) mit den über normalen Zwischenkörpern.
Moduln und Vektorräume
BearbeitenEin -(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe auf der eine Gruppe (von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation linksverträglich mit ist, d. h., es gelten
- für alle und alle
Die Transformationen mit bilden dann in der Gruppe der Automorphismen auf eine Untergruppe, und diese ist gerade das Bild des Gruppenhomomorphismus .
Die Eigenschaft der „Verträglichkeit“ einer Gruppenoperation von links fließt beim Nachweis ein, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt.
Im Falle einer Operation von rechts (also einem -Rechts-Modul) wäre ein „Gruppenantihomomorphismus“ oder aber – was auf dasselbe hinausläuft – erst dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn anstelle der Gruppe ihre Gegengruppe als Definitionsbereich gewählt wird.
Ist insbesondere die skalare Multiplikation eines Vektorraums über dem Körper dann operiert die multiplikative Gruppe auf .
Dies gilt auch für einen Schiefkörper. Doch dabei ist auf die Seitigkeit zu achten: Bei Operation von links erhält man einen Links-Vektorraum, bei Operation von rechts einen Rechts-Vektorraum. Die wichtige Rolle der Seitigkeit wird auch beim Übergang zum Dualraum eines Vektorraums deutlich, denn dabei wechselt die Seitigkeit: Der Dualraum eines Links-Vektorraumes ist ein Rechts-Vektorraum und umgekehrt. Erst der Bidualraum hat die ursprüngliche Seitigkeit – und ist im endlichdimensionalen Falle kanonisch isomorph mit dem Ausgangsvektorraum („Dualitätssatz für Vektorrräume“).[10]
Kategorien
BearbeitenIst allgemeiner ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe auf definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus
dabei ist die Gruppe der Automorphismen von im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.
Siehe auch
Bearbeiten- G-Raum für stetige Gruppenwirkungen
- Lemma von Burnside
Weblinks
Bearbeiten- Gruppenoperation bei MathWorld (englisch)
Anmerkungen
Bearbeiten- ↑ Von Lateinisch coniugare: „(zu einem Paar) verbinden, verknüpfen; verheiraten“: Konjugierte Elemente sind mit Hilfe der Gruppenoperation miteinander verknüpft, nämlich durch die Operation des geeigneten bzw. .
- ↑ Beachte hierzu unter den Beispielen den Abschnitt Operation durch Konjugation.
- ↑ Beachte, dass es der Transitivität wegen eine Bijektion zwischen einer Teilmenge und gibt: Zu jedem gibt es ein mit .
- ↑ Man beachte die obige Feststellung, dass eine Gruppenoperation „ “ von der Gruppe auf der Menge mit einem Gruppenhomomorphismus von dieser Gruppe in die symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe) von gleichgesetzt werden kann: . Genau dieser Fall liegt hier vor, indem man und setzt. Dabei handelt es sich bei den Permutationen von sogar um Automorphismen.
- ↑ Die Separabilität der Erweiterung ergibt sich daraus, dass der Grundkörper als ein Fixkörper gewählt wurde.
- ↑ Diese Formulierung kommt der historischen Perspektive auf die Theorie höherer Gleichungen – auf die ursprüngliche historische Fragstellung der Algebra – nahe, welche schließlich im Satz von Abel-Ruffini (1799, 1824) und in der Galois-Theorie gipfelte: Man betrachtete die Permutationsgruppe der Nullstellenmenge eines Polynoms und nutzte Symmetrien (Stichworte: Lagrange-Resolvente und Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen). Der moderne Ansatz hingegen stellt die Automorphismengruppe als Transformationsgruppe auf dem Erweiterungskörper in den Mittelpunkt der Betrachtungen.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online ( vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)).
- ↑ Vgl. auch Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Körpertheorie, § 39 Einfache Körpererweiterungen, Satz oben (vierter Absatz) auf Seite 117 (in Verbindung mit dem Satz vom primitiven Element für den Zerfällungskörper des gegebenen Polynoms).
- ↑ Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Kapitel I. Gruppentheorie, § 7 Permutationsgruppen, Satz 3, S. 20 oben (132 S.).
- ↑ Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Fortsetzung der Gruppentheorie, § 56 Transitivität und Primitivität, Seite 165ff.
- ↑ Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 26 (132 S.).
- ↑ Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen Satz 4, Seite 26. (132 S.).
- ↑ Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 24 ff. (132 S.).
- ↑ Siegfried Bosch: Algebra. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4 Galois-Theorie, 4.1 Galois-Erweiterungen, Satz 4, S. 190, doi:10.1007/978-3-662-67464-2 (508 S.).
- ↑ Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel IVI Vektorräume und Tensorräume, § 21 Der duale Vektorraum., S. 68 f. (272 S.).
Literatur
Bearbeiten- Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online ( vom 15. Juli 2019 im Internet Archive))
- Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959 (132 S.).
- Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3.
- Siegfried Bosch: Algebra. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4. Galois-Theorie, 4.1 Galois-Erweiterungen, Satz 4, S. 190, doi:10.1007/978-3-662-67464-2 (508 S.).