Satz von Wedderburn

mathematischer Satz

Der Satz von Wedderburn (nach Joseph Wedderburn) gehört zum mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er besagt, dass jeder endliche Schiefkörper ein Körper ist, das heißt: Wenn ein Schiefkörper nur endlich viele Elemente enthält, folgt daraus bereits die Kommutativität der Multiplikation. Mit anderen Worten: Ein Schiefkörper, der kein Körper ist (in dem die Multiplikation also nicht kommutativ ist), enthält unendlich viele Elemente.[Anm 1]

Neben Wedderburn (der mehrere Beweise gab, zuerst 1905)[1] haben auch andere Mathematiker unterschiedliche Beweise für den Satz geliefert, zum Beispiel Leonard Dickson, Emil Artin,[2] Ernst Witt (der Beweis umfasst eine Seite),[3] Hans Zassenhaus und Israel Herstein.

Es gibt noch andere bekannte Sätze, die manchmal auch einfach Satz von Wedderburn genannt werden, wie sein Satz zur Klassifikation halbeinfacher Algebren,[4] verallgemeinert im Satz von Artin-Wedderburn. Im Englischen wird Wedderburns Satz über endliche Schiefkörper deshalb auch Kleiner Satz von Wedderburn genannt.

AnwendungBearbeiten

Dieser Satz hat eine wichtige Anwendung in der synthetischen Geometrie: Für endliche affine oder projektive Ebenen folgt aus dem Satz von Desargues der Satz von Pappos.[5] Man kann jede desarguessche Ebene als affine bzw. projektive Ebene über einem Schiefkörper   betrachten, wobei der Satz von Pappos genau dann gilt, wenn   kommutativ ist. Hier kommt der Satz von Wedderburn zum Einsatz. Für diesen rein geometrischen Sachverhalt kennt man bis heute keinen geometrischen Beweis.[5]

Die umgekehrte Aussage „Jede pappossche Ebene ist desarguessch“ wird (nach Gerhard Hessenberg) als Satz von Hessenberg bezeichnet und gilt für jede affine und jede projektive Ebene.[5]

BeweiseBearbeiten

Ernst Witt (1931)Bearbeiten

Der Beweis von Ernst Witt[3] beruht auf dem Zusammenwirken dreier einfacher Fakten:

Zur Erläuterung: Der Stabilisator (oder die Standgruppe)   eines Elementes   ist definiert durch   und bildet eine Untergruppe in  .[Anm 2] Es besteht eine Bijektion von der Menge der Linksnebenklassen dieser Gruppe zur Bahn:  . Für die Mächtigkeiten bedeutet dies, dass die Länge   der Bahn von   mit dem Index   der Standgruppe von   (in der Gruppe  ) übereinstimmt: Für endliche Gruppen ist dies gerade die Aussage des Bahnensatzes, und die Bahnformel ergibt sich, indem für endliche Mengen   die Anzahlen beider Seiten über ein Repräsentantensystem der Bahnen summiert werden, und liefert  .
Wählt man als Operation die Konjugation der Gruppe   auf sich selbst, so werden die Bahnen Konjugationsklassen genannt: Also erfolgt die Summe über Repräsentanten der Konjugationsklassen und liefert die Gruppenordnung als die Summe der Indizes der zugehörigen Zentralisatoren, denn diese sind unter der Konjugation gerade die Stabilisatoren. Die Bahnengleichung heißt in diesem Falle auch Klassengleichung.

Ferner zwei Fakten für eine natürliche Zahl  :

  • Faktum 2: Das  -te Kreisteilungspolynom   ist dasjenige ganzzahlige normierte Polynom größten Grades, das   teilt, jedoch zu allen   mit   teilerfremd ist. Daher gilt   und   für alle   mit  .[Anm 3]
  • Faktum 3 entspringt unmittelbar der geometrischen Anschauung am Einheitskreis: Für jede ganze Zahl   und jede primitive  -te Einheitswurzel   – etwa   – gilt im Falle   die einfache Abschätzung[Anm 4]  , so dass mit Faktum 2 (oder ebenso gut unmittelbar nach Definition des Kreisteilungpolynoms) folgt:  . Im Falle   egalisiert sich diese Abschätzung zu  , da  .[Anm 5]

Nun zum eigentlichen Beweis: Es sei also   ein endlicher Schiefkörper. Seine multiplikative Gruppe   operiere auf sich selbst durch Konjugation:  .

Für ein beliebiges   ist der Stabilisator   gleich der multiplikativen Gruppe   eines Schiefkörpers   mit  [Anm 6]

Für die Menge der Fixpunkte   gilt insbesondere:   ist das Zentrum   des Schiefkörpers   und selbst ein kommutativer Körper. Somit ist   eine Divisionsalgebra über   der endlichen Dimension  , so dass  , wenn   gesetzt wird.

Für   bezeichne nun  , sodass   und  . (Es gilt ja sogar  .)

Insbesondere ist für ein   der Stabilisator  , also   und  . Die Umkehrung gilt ebenso:  .

Ein Repräsentantensystem für die Bahnen (Konjugationsklassen) gemäß Faktum 1 sei mit   bezeichnet. Dieses enthält notwendig die Menge der Fixpunkte, d. h. der Punkte mit einelementigen Bahnen: Dies ist gerade  .

Faktum 1, also die Aufsummierung der Klassengleichung (d. h. der Bahnformel) über die Konjugationsklassen, liefert nun:

 

Faktum 2 gestattet nun, auf   zu schließen, was jedoch auf den erbitterten Widerspruch des Faktums 3 stößt, solange  . Allein der Fall   löst die Unvereinbarkeit beider Aussagen in Wohlgefallen auf, und genau dies war zu zeigen: Die Divisionsalgebra   stimmt mit ihrem Zentrum   überein, d. h., sie ist kommutativ.

Beweis mit Hilfe des Satzes von Skolem-NoetherBearbeiten

Einen Beweis mit Hilfe des Satzes von Skolem-Noether (basierend auf den Struktursätzen von Wedderburn über einfache und halbeinfache Algebren (1907)) findet man bei Ina Kersten, Brauergruppen, Abschnitt 6.2, Seiten 50 f. oder bei Bartel Leendert van der Waerden, Algebra II, Kapitel XIV (Darstellungstheorie der Gruppen und Algebren), § 112 (Doppelmoduln und Produkte von Algebren), Anwendung in Textziffer 4 (siehe Literatur).

FolgerungenBearbeiten

Aus dem Satz von (Dickson-)Wedderburn folgt, dass die Brauergruppe   eines endlichen Körpers   trivial ist:

 

Die Brauergruppe besitzt eine galoiskohomologische Interpretation.

LiteraturBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. Denn   ist bekanntlich gleichwertig mit  
  2. Dabei gilt   für  . Also ist die Standgruppe   genau dann Normalteiler in  , wenn sie Standgruppe für jedes Element der Bahn von   ist:   .
  3. Diese Teilerbeziehungen gelten in   und – der Normiertheit der beteiligten Polynome wegen – sogar schon über  . – Zur Abrundung des Hintergrunds: Im Übrigen ist die Nullstellenmenge von   in einem Zerfällungskörper   gerade die Menge   aller primitiven  -ten Einheitswurzeln. Daher ist   und  , woraus mit den Möbiusschen Umkehrformeln (in multiplikativem Kontext) folgt:  . In   gilt gerade  , und die Einheitswurzeln liegen sämtlich auf dem Einheitskreis. Ferner ist  , d. h., es hat ganzzahlige Koeffizienten (Beweis mit Lemma von Gauß oder direkt durch euklidische Division normierter (!) Polynome mit (notwendig verschwindendem!) Rest), und es ist irreduzibel über   (und gleichermaßen über  ) vom Grade   (Eulersche  -Funktion); die Kreisteilungserweiterung   ist galoissch mit   als Minimalpolynom und   als Galoisgruppe, und die  -ten primitiven Einheitswurzeln sind sämtlich untereinander konjugiert (unter der Operation der Galoisgruppe, d. h., sie liegen in derselben Bahn), d. h., sie haben dasselbe Minimalpolynom, d. h., ihr gemeinsames Minimalpolynom   ist normal (galoissch) über   (im Sinne von B. L. van der Waerden, Algebra I, § 41, Seite 126). – Über einem endlichen Primkörper   jedoch kann das Kreisteilungspolynom reduzibel sein.
  4. Dies ist geometrisch unmittelbar einsichtig und folgt gleichermaßen aus der Dreiecksungleichung am Einheitskreis.
  5. Dieses Faktum involviert also die archimedische (indiskrete) Bewertung, nämlich den Betrag des lokalen Körpers  . Es versetzt in Erstaunen, auf welch anschauliche Weise dieser Beweis die Notwendigkeit der Kommutativität des Schiefkörpers   in einer einfachen geometrische Abschätzung widerspiegelt.
  6. Beweis durch Nachrechnen. – Mit der auf   definierten, über   bilinearen Kommutatorklammer   gilt für  :   Wenn also  , so gilt (i) gemäß Bilinearität  , (ii) gemäß Produktregel   und (iii)  . – Nebenbei bemerkt gilt die Jacobi-Identität  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wobei der erste fehlerhaft war, so dass die Priorität eigentlich Leonard Dickson zusteht. Die Geschichte der Beweise ist von Karen Parshall untersucht worden.
  2. Siehe Literatur; Emil Artin gibt in seinem Beitrag auch die Quellen für die Beweise von Wedderburn und Dickson.
  3. a b Ernst Witt: Über die Kommutativität endlicher Schiefkörper. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Band 8, 1931, S. 413, doi:10.1007/BF02941019.
  4. Zum Beispiel Bartel L. van der Waerden: Algebra. Band 2, Springer, Heidelberger Taschenbücher, S. 73.
  5. a b c Heinz Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1999, ISBN 3-7643-5685-5, III: Papossche Ebenen (digitalisierte Leseprobe bei Google Books [abgerufen am 30. Juli 2013] – ausführliche Diskussion und Beweis des Satzes von Hessenberg; Erläuterungen, wie der Satz von Pappos die algebraische Struktur des Koordinatenkörpers bestimmt).