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Unter einem Minimalpolynom versteht man im Allgemeinen ein Polynom minimalen Grades, das gerade noch eine Eigenschaft erfüllt, die von Faktoren kleineren Grades nicht mehr erfüllt wird. Genauer: In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik gibt das Minimalpolynom die minimale lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen einer Matrix oder allgemeiner eines Elementes einer Algebra an.

DefinitionBearbeiten

Es seien   ein Körper und   eine unitäre  -Algebra. Dann ist das Minimalpolynom eines Elementes   das normierte Polynom kleinsten Grades, das   als Nullstelle hat.

Das Minimalpolynom kann auch als normierter Erzeuger des Kerns des Homomorphismus

 ,

des Einsetzungshomomorphismus von  , beschrieben werden, wobei   der Ring der Polynome mit Koeffizienten aus   ist.

In einer endlichdimensionalen Algebra besitzt jedes Element ein eindeutiges Minimalpolynom, in einer unendlichdimensionalen muss das nicht zutreffen. Dort nennt man die Elemente, die ein Minimalpolynom haben, algebraische Elemente über dem Grundkörper; Elemente, für die das nicht zutrifft, transzendente Elemente.

Lineare AlgebraBearbeiten

Das Minimalpolynom   einer quadratischen  -Matrix   über einem Körper   ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in  , so dass   (die Nullmatrix) ist.

Folgende Aussagen für   aus   sind äquivalent:

  •   ist Nullstelle von  , d. h.  ,
  •   ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von  ,
  •   ist ein Eigenwert von  .

Die Vielfachheit einer Nullstelle   von   bestimmt die Länge der längsten Hauptvektor-Kette zum Eigenwert  , d. h., beträgt die Vielfachheit z. B. 4, dann existiert eine Kette von vier zueinander linear unabhängigen Hauptvektoren (der Stufen 1 bis 4) zum Eigenwert  . Falls noch weitere Hauptvektorketten zum Eigenwert   existieren, die von dieser Kette der Länge 4 linear unabhängig sind, dann sind sie auf keinen Fall länger. Somit ist die Größe des größten zu   gehörenden Jordanblocks der jordanschen Normalform von   identisch mit der Vielfachheit von   im Minimalpolynom  .

Unter der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts   von   versteht man dagegen die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Anders ausgedrückt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts   der quadratischen Matrix   ist die Dimension des Lösungsraums von  .

Etwas allgemeiner kann man (auch ohne Festlegung auf eine bestimmte Basis) zu einem Endomorphismus   eines Vektorraums   den Kern des Einsetzungshomomorphismus von   aus der Definition untersuchen, dies führt dann auch bei unendlichdimensionalen Vektorräumen zu einem Minimalpolynom, wenn dieser Kern nicht der Nullvektorraum ist. Ein einfaches Beispiel sind die Projektionsabbildungen  , die definitionsgemäß idempotent sind, also die Relation   erfüllen. Jede Projektion hat also eines der Polynome  ,   oder   als Minimalpolynom.

KörpertheorieBearbeiten

In der Körpertheorie ist das Minimalpolynom ein Begriff, der bei einer Körpererweiterung auftritt.

Sei   eine Körpererweiterung,   der Polynomring zu   mit der Unbestimmten   und sei   algebraisch, das heißt, es existiert   mit  . Dann existiert ein Polynom   (genannt das Minimalpolynom) mit den Eigenschaften

  1.   ist normiert
  2.  
  3.   hat minimalen Grad, d. h.   gilt  
  4.   ist eindeutig (durch   bestimmt), d. h. für jedes weitere  , welches die Eigenschaften 1–3 erfüllt, gilt schon  

Betrachtet man den Erweiterungskörper   als Vektorraum über   und ein bestimmtes Element   als Endomorphismus auf   (durch die Abbildung  ), so kommt man bei einem algebraischen Element   zum selben Minimalpolynom (im Sinn der linearen Algebra) wie in der Körpertheorie.

EigenschaftenBearbeiten

  • Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.
  • Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element   als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von  .
  • Der Grad des Minimalpolynoms von   ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung  .

Siehe auch: Zerfällungskörper, Satz von Cayley-Hamilton

BeispieleBearbeiten

  • Betrachte die Körpererweiterung   mit der imaginären Einheit  :
    Das Minimalpolynom von   ist  , denn es hat   als Nullstelle, ist normiert, und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in  .
  • Das Polynom   ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als   darstellen lässt und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.

Beispiele für Minimalpolynome eines algebraischen ElementsBearbeiten

  • Minimalpolynome über   von  , wobei   irgendeine komplexe Quadratwurzel ist :
      ist schon mal eine Nullstelle von  . Dieses Polynom ist aber irreduzibel über  , wenn  .
    Wenn  , dann ist das minimale Polynom  
  • Minimalpolynome über   von  : Es gilt  . Also ist   Nullstelle von  . Dieses Polynom ist aber nicht irreduzibel, denn es hat die Faktorisierung  .
    Offensichtlich ist   keine Nullstelle von  . Also muss   Nullstelle von   sein. Und dieses Polynom ist irreduzibel (z. B durch Reduktion modulo 2)
  • Minimalpolynom über   von  : Hier ist es hilfreich, eine normale Körpererweiterung   zu betrachten, mit  . Dies ist z. B. für   gegeben, dem Zerfällungskörper des Polynoms  . In   zerfällt das Minimalpolynom von   in Linearfaktoren. Die Nullstellen sind Konjugierte von  , also von der Form   für ein   aus der Galoisgruppe von  .
Da  , genügt es, die möglichen Werte   (also die Konjugierten von  ) zu bestimmen. Das Minimalpolynom über   von   ist  , was sich über   zu   faktorisieren lässt. Damit sind die Konjugierten von   genau
 ,
 ,
  und
 .
Das Minimalpolynom von   ist damit
 
 

LiteraturBearbeiten

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.
  • Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.