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Formen der DreiecksungleichungBearbeiten

Dreiecksungleichung für DreieckeBearbeiten

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten   und   stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite  . Das heißt formal:

 

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“

Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn   und   Teilstrecken von   sind – man spricht dann auch davon, dass das Dreieck „entartet“ ist.

Da aus Symmetriegründen auch   gilt, folgt  , analog erhält man  , insgesamt also

 .

Die linke Ungleichung   wird gelegentlich auch als umgekehrte Dreiecksungleichung bezeichnet.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.

Dreiecksungleichung für reelle ZahlenBearbeiten

Für reelle Zahlen gilt:  

Beweis

Weil beide Seiten der Ungleichung nicht negativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:
 
Durch Streichen identischer Terme gelangen wir zur äquivalenten Ungleichung
 
Diese Ungleichung gilt, weil   für beliebige  

Umgekehrte DreiecksungleichungBearbeiten

Wie beim Dreieck lässt sich auch eine umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten:

Es gilt   Einsetzen von   gibt

 

setzt man stattdessen   so ergibt sich

 

zusammen also (denn für beliebige reelle Zahlen   und   mit   und   gilt auch  )

 

Ersetzt man   durch   so erhält man auch

 

Insgesamt also

  für alle  

Dreiecksungleichung für komplexe ZahlenBearbeiten

Für komplexe Zahlen gilt:

 

Beweis

Da alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält
 
wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt   so bleibt
 
zu zeigen. Mit   erhält man
 
bzw.
 
was wegen   und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist.

Analog wie im reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch

  für alle  

Dreiecksungleichung von Betragsfunktionen für Körper Bearbeiten

Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion für einen Körper   auch durch die

Dreiecksungleichung  

etabliert. Sie hat zu gelten für alle   Sind alle Forderungen (s. Artikel Betragsfunktion) erfüllt, dann ist   eine Betragsfunktion für den Körper  

Ist   für alle ganzen  , dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch, andernfalls archimedisch.

Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die

verschärfte Dreiecksungleichung  

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

Dreiecksungleichung für Summen und IntegraleBearbeiten

Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt

 

für reelle oder komplexe Zahlen  . Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden:

Ist  , wobei   ein Intervall ist, Riemann-integrierbar, dann gilt

 .[1]

Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen  , vgl.[2] Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl   so, dass

  und  .

Da

 

reell ist, muss   gleich Null sein. Außerdem gilt

 ,

insgesamt also

 .

Dreiecksungleichung für VektorenBearbeiten

Für Vektoren gilt:

 .

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren

 ,

unter Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

 .

Auch hier folgt wie im reellen Fall

 

sowie

 

Dreiecksungleichung für sphärische DreieckeBearbeiten

 
Zwei sphärische Dreiecke

In sphärischen Dreiecken gilt die Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht.

Sie gilt jedoch, wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschränkt, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist.

In nebenstehender Abbildung gilt zwar

 

jedoch ist  .

Dreiecksungleichung für normierte RäumeBearbeiten

In einem normierten Raum   wird die Dreiecksungleichung in der Form

 

als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle   erfüllen muss. Insbesondere folgt auch hier

 

sowie

  für alle  .

Im Spezialfall der Lp-Räume wird die Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Dreiecksungleichung für metrische RäumeBearbeiten

In einem metrischen Raum   wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form

 

für alle   erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung

 

für alle   gilt. Außerdem gilt für beliebige   die Ungleichung

 .

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
  2. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill, 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33