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Eine komplexwertige Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte komplexe Zahlen sind. Eng damit verwandt ist der Begriff der komplexen Funktion, der in der Literatur aber nicht eindeutig verwendet wird. Komplexwertige Funktionen werden in der Analysis und in der Funktionentheorie untersucht und haben vielfältige Anwendungen wie zum Beispiel in der Physik und der Elektrotechnik, wo sie beispielsweise zur Beschreibung von Schwingungen dienen.

DefinitionBearbeiten

Komplexwertige FunktionBearbeiten

Eine komplexwertige Funktion ist eine Funktion

 ,

bei der die Zielmenge die Menge der komplexen Zahlen ist. An die Definitionsmenge   sind keine Anforderungen gestellt.

Komplexe FunktionBearbeiten

Wie auch bei reellwertigen und reellen Funktionen ist die Verwendung des Begriffes einer komplexen Funktion in der Literatur nicht eindeutig. Teilweise wird er synonym mit einer komplexwertigen Funktion verwendet, teilweise wird er auch nur für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen verwendet, also Funktionen

 ,

bei denen   ist.

SpezialfälleBearbeiten

Manchmal wird der komplexwertigen Funktion ein Zusatz angehängt, um zu präzisieren, welche Struktur die Definitionsmenge hat. So heißt beispielsweise eine Funktion  

  • komplexwertige Funktion einer reellen Variablen, wenn   ist,
  • komplexwertige Funktion mehrerer reeller Variablen, wenn   mit   ist,
  • komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen, wenn   ist,
  • komplexwertige Funktion mehrerer komplexer Variablen, wenn   mit   ist.

Wenn   Teilmenge eines komplexen Vektorraums ist, dann wird eine Funktion   auch (komplexwertiges) Funktional genannt.

BeispieleBearbeiten

  • Die Funktion   definiert durch
 
ist eine komplexwertige Funktion einer reellen Variable. Sie ist genau die Eulersche Formel.
 
eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variable.
  • Die Funktion   definiert durch
 
ist eine komplexwertige Funktion von zwei reellen Variablen.
  • Aufgrund der Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen lassen sich alle reellwertigen Funktionen auch als komplexwertige Funktionen auffassen.

EigenschaftenBearbeiten

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Die Menge aller komplexwertigen Funktionen über einer gegebenen Menge   bildet einen komplexen Vektorraum, der mit  ,   oder   bezeichnet wird. Die Summe zweier komplexwertiger Funktionen   und   ist dabei definiert durch

 

für alle   und das Produkt einer komplexwertigen Funktion   mit einer komplexen Zahl   durch

 

für alle  . Diese Vektorräume werden als komplexe Funktionenräume bezeichnet. Sie spielen eine wichtige Rolle in der linearen Algebra und der Analysis. Mit der Addition und der punktweisen Multiplikation definiert durch

 

für alle   bilden die komplexwertigen Funktionen über der Menge   einen kommutativen Ring. Mit allen drei Verknüpfungen bilden die komplexwertigen Funktionen eine komplexe Algebra.

Analytische EigenschaftenBearbeiten

Eine komplexwertige Funktion   heißt beschränkt, falls eine Schranke   existiert, sodass

 

für alle   ist. Die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen   bildet mit der Supremumsnorm

 

einen normierten Raum. Da die komplexen Zahlen vollständig sind, handelt es sich hierbei sogar um einen Banachraum. Eine Folge komplexwertiger Funktionen   mit   für   heißt gleichmäßig beschränkt, wenn jedes Folgenglied eine beschränkte Funktion ist und die Folge

 

eine beschränkte Folge komplexer Zahlen ist. Eine Folge komplexwertiger Funktionen heißt punktweise beschränkt, wenn für alle   die komplexe Zahlenfolge

 

beschränkt ist. Eine gleichmäßig beschränkte Folge komplexwertiger Funktionen ist stets auch punktweise beschränkt, die Umkehrung muss jedoch nicht gelten. Eine Folge komplexwertiger Funktionen heißt gleichmäßig konvergent gegen eine komplexwertige Funktion  , wenn

 

gilt. Entsprechend heißt eine Folge komplexwertiger Funktionen punktweise konvergent gegen eine komplexwertige Funktion  , wenn für alle  

 

gilt. Auch hier folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz die punktweise Konvergenz, jedoch nicht die Umkehrung. Weitergehende analytische Eigenschaften, wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit oder Integrierbarkeit, erfordern auf der Definitionsmenge zumindest eine topologische, metrische oder maßtheoretische Struktur.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung bilden die komplex-vektorwertigen Funktionen, diese bilden in den   ab. Noch allgemeiner sind vektorwertige Funktionen, deren Bildraum ein beliebiger Vektorraum ist.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten