Beschränkte Abbildung

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Als eine beschränkte Abbildung oder eine beschränkte Funktion bezeichnet man in der Analysis und der Funktionalanalysis eine Abbildung, deren Bildmenge beschränkt ist. Beschränkte Abbildungen bilden einen normierten Vektorraum und enthalten viele weitere wichtige Mengen von Abbildungen wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger oder die beschränkten stetigen Funktionen.

Der Begriff der beschränkten Abbildung ist abzugrenzen von dem der beschränkten linearen Abbildung. Für diese Klasse von Abbildungen ist lediglich das Bild beschränkter Teilmengen wiederum beschränkt.

DefinitionBearbeiten

 
Schematische Darstellung einer beschränkten (rot) und einer unbeschränkten Funktion (blau). Die Werte der beschränkten Funktion bleiben auf ihrem gesamten Definitionsbereich innerhalb der gestrichelten Linien. Die Werte der unbeschränkten Funktion gehen gegen unendlich.

Allgemein heißt eine Abbildung

 

beschränkt, wenn ihre Bildmenge   beschränkt ist. Konkreter bedeutet dies:

 .
Anschaulich ist dann die Bildmenge der Funktion im reellwertigen Fall in einem endlichen Intervall oder im komplexwertigen Fall in einem in der komplexen Ebene liegenden Kreis enthalten.
  • Ist   ein normierter Raum mit Norm   so entspricht dies
 .
 .

Insbesondere werden keine Anforderungen an die Struktur der Definitionsmenge gestellt.

Die Menge aller beschränkten Abbildungen von   nach   wird mit   bezeichnet oder mit  , falls   oder   oder falls   aus dem Kontext ersichtlich ist.

BeispieleBearbeiten

Beschränkte Folgen sind beschränkte Funktionen von   nach beispielsweise   oder einen allgemeinen metrischen Raum.

Die Sinusfunktion   ist beschränkt, da   für alle   gilt.

Ist   eine stetige Funktion, so ist sie auch beschränkt. Denn als stetige Funktion auf dem Kompaktum   nimmt   ein Maximum und ein Minimum an und es gilt  .

Das vorangehende Beispiel ist ein Spezialfall der folgenden Tatsache: Ist   ein kompakter topologischer Raum und   ein metrischer Raum, so ist jede stetige Abbildung beschränkt. Aufgrund der Stetigkeit existiert zu jedem Punkt   ein  , so dass die Inklusion

 

gilt. Die so definierte offene Überdeckung   besitzt aufgrund der Kompaktheit von   aber eine endliche Teilüberdeckung mit   und damit folgt

 .

Also ist   beschränkt.

Ein Beispiel für eine unstetige beschränkte Funktion bildet die Dirichlet-Funktion.

StrukturBearbeiten

Trägt   die Struktur eines Vektorraumes, so kann man die Addition und die Skalarmultiplikation in   punktweise definieren,

  sowie  ,

wodurch die Menge der beschränkten Abbildungen auf natürliche Weise zu einem Vektorraum wird.

Ist   ein normierter Raum, so lässt sich eine Norm auf   erklären durch

 ,

wobei   die Norm auf   bezeichnet. Dies ist genau die Supremumsnorm, sie wird dementsprechend auch mit   oder   bezeichnet, wenn alle beteiligten Räume klar sind.

Ist außerdem   ein Banachraum, also vollständig, so ist auch   ein Banachraum.

Ist   ein kompakter Raum, so ist jede stetige Abbildung beschränkt. Es gilt dann die Inklusion

 .

Ist   kompakt und   ein Banachraum, so bilden die stetigen Funktionen einen abgeschlossenen Unterraum der beschränkten Funktionen.

Wichtige Unterräume der beschränkten Abbildungen mit Werten in   sind

Es gelten dann die Inklusionen

 .

LiteraturBearbeiten