Supremumsnorm

Die Supremumsnorm (auch Unendlich-Norm genannt) ist in der Mathematik eine Norm auf dem Funktionenraum der beschränkten Funktionen. Im einfachsten Fall einer reell- oder komplexwertigen beschränkten Funktion ist die Supremumsnorm das Supremum der Beträge der Funktionswerte. Allgemeiner betrachtet man Funktionen, deren Zielmenge ein normierter Raum ist, und die Supremumsnorm ist dann das Supremum der Normen der Funktionswerte. Für stetige Funktionen auf einer kompakten Menge ist die Maximumsnorm ein wichtiger Spezialfall der Supremumsnorm.

Die Supremumsnorm der reellen Arkustangens-Funktion ist . Auch wenn die Funktion diesen Wert betragsmäßig nirgendwo annimmt, so bildet er dennoch die kleinste obere Schranke.

Die Supremumsnorm spielt insbesondere in der Funktionalanalysis beim Studium normierter Räume eine zentrale Rolle.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine nichtleere Menge und   ein normierter Raum, dann bezeichnet   den Funktionenraum der beschränkten Funktionen von   nach  . Die Supremumsnorm auf diesem Funktionenraum ist dann die Abbildung

 

mit

 .

Die Supremumsnorm einer Funktion ist also das Supremum der Normen aller Funktionswerte und damit eine nichtnegative reelle Zahl. Hierbei ist es wichtig, dass die Funktion beschränkt ist, weil sonst das Supremum unendlich werden kann. Der Raum   wird auch als   bezeichnet.

BeispielBearbeiten

Wählt man als Menge   das offene Einheitsintervall und als Zielraum   die Menge der reellen Zahlen mit der Betragsnorm  , dann ist   der Raum der beschränkten reellwertigen Funktionen auf dem Einheitsintervall und die Supremumsnorm ist durch

 

gegeben. So ist etwa die Supremumsnorm der linearen Funktion   in diesem Intervall gleich  . Die Funktion nimmt diesen Wert zwar innerhalb des Intervalls nicht an, kommt ihm jedoch beliebig nahe. Wählt man stattdessen das abgeschlossene Einheitsintervall  , dann wird der Wert   angenommen und die Supremumsnorm entspricht der Maximumsnorm.

EigenschaftenBearbeiten

NormaxiomeBearbeiten

Die Supremumsnorm erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität. Die Definitheit folgt für   aus der Definitheit der Norm   über

 ,

da, wenn das Supremum einer Menge nichtnegativer reeller oder komplexer Zahlen null ist, alle diese Zahlen null sein müssen. Die absolute Homogenität folgt für reelles oder komplexes   aus der absoluten Homogenität der Norm   über

 .

Die Subadditivität (oder Dreiecksungleichung) folgt für   aus der Subadditivität der Norm   über

 ,

wobei zudem genutzt wurde, dass das Supremum der Summe zweier Funktionen durch die Summe der Suprema beschränkt ist, was durch punktweise Betrachtung der Funktionswerte ersichtlich ist.[1]

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Ist der Bildraum vollständig, also ein Banachraum, so ist es auch der gesamte Funktionenraum  .
  • Ist   endlich, so ist jede Funktion von   nach   beschränkt, es gilt also  . Wählt man insbesondere  , für ein  , so erhält man durch die natürliche Identifizierung von   mit   eine Definition der Supremumsnorm auf diesem kartesischen Produkt.
  • Insbesondere kann man die Supremumsnorm also auf dem Euklidischen Raum   betrachten. Sie wird in diesem Fall auch als Maximumsnorm bezeichnet.
  • Ist   nicht endlich oder   unendlichdimensional, so ist nicht jede abgeschlossene, beschränkte Teilmenge von   automatisch kompakt.
  • Ist   nicht endlich oder   unendlichdimensional, so ist   nicht zu allen Normen auf   äquivalent.
  • Die Supremumsnorm induziert auf einem Raum beschränkter Funktionen gerade die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz.
  • Ist der Zielraum   oder  , dann lassen sich Funktionen in   nicht nur punktweise addieren, sondern auch multiplizieren. Die Supremumsnorm ist dann submultiplikativ, das heißt  . Der Raum   wird mit der punktweisen Multiplikation zu einer kommutativen Banachalgebra. Im Falle   ist diese sogar eine C*-Algebra.
  • Man kann den Begriff der beschränkten Funktion und der Supremumsnorm in natürlicher Weise verallgemeinern auf Vektorbündel, bei denen jede Faser ein normierter Raum ist. Die Supremumsnorm ist dann eine Norm auf dem Raum der beschränkten Schnitte dieses Vektorbündels.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 3.