C0-Funktion

mathematische Funktion

In der Mathematik ist eine -Funktion eine stetige Funktion, die anschaulich betrachtet im Unendlichen verschwindet. Die Menge aller -Funktionen bildet einen normierten Raum.

Normalverteilungen werden durch stetige Dichtefunktionen beschrieben, die zwar nie den Wert 0 annehmen, aber im Unendlichen verschwinden.
Auch die Dichtefunktion einer zweidimensionalen Normalverteilung verschwindet im Unendlichen: Jede feste Höhe wird nur innerhalb eines Kreises mit endlichem Radius überschritten.

Definition Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum (beispielsweise die reellen Zahlen   oder der  ). Eine Funktion   mit   oder   verschwindet im Unendlichen genau dann, wenn für jede Umgebung   der Null eine kompakte Teilmenge (im Falle des   eine beschränkte Teilmenge)   von   existiert, sodass das Bild   Teilmenge von   ist. Ist   zudem stetig, so nennt man   eine  -Funktion. Die Menge aller dieser Funktionen wird mit   oder – falls keine Missverständnisse zu befürchten sind – mit   bezeichnet.

Man betrachtet diesen Begriff dabei nur für lokalkompakte Hausdorffräume, denn für Nicht-Hausdorffräume ist das Konzept der Kompaktheit eher pathologisch und für einen nicht lokalkompakten Hausdorffraum müssten alle Punkte ohne eine kompakte Umgebung Nullstellen einer jeden  -Funktion sein: Keine Umgebung des jeweiligen Punktes ist in einem Kompaktum enthalten, somit werden in jeder Umgebung von der Funktion Werte beliebig nahe der Null angenommen, aufgrund der Stetigkeit ist der Punkt damit Nullstelle. Somit wäre etwa in jedem nicht lokalkompakten, homogenen Hausdorffraum – typisches Beispiel wäre ein unendlichdimensionaler normierter Raum (siehe auch Kompaktheitssatz von Riesz) – jede  -Funktion gleich 0. Daher sei im Folgenden   stets lokalkompakt und Hausdorffsch.

Abstraktere Definition:   (  sei der Raum aller stetigen Funktionen auf  ) ist genau dann eine  -Funktion, wenn   kompakt ist oder der Bildfilter unter   des Filters  , der von den Komplementen kompakter Teilmengen von   erzeugt wird, gegen 0 konvergiert.[1]

Beispiele Bearbeiten

  • Jede reelle Funktion, die außerhalb einer beschränkten Menge 0 ist, verschwindet im Unendlichen. Ist sie stetig, ist sie eine  -Funktion.
  • Allgemeiner ist jede stetige Funktion mit kompaktem Träger eine  -Funktion.
  • Insbesondere ist auch jede stetige Funktion auf einem kompakten Raum eine  -Funktion.
  • Die Dichtefunktion einer Normalverteilung, im Wesentlichen   zuzüglich Skalierungen und Verschiebungen, ist eine  -Funktion.
  • Eine Funktion   ist genau dann eine  -Funktion, wenn sie stetig ist und   gilt.
  • Sei   diskret. Die kompakten Mengen sind dann genau die endlichen Mengen. Das heißt, eine Funktion liegt genau dann in  , wenn sie für jedes   nur endlich viele Male einen Wert annimmt, der betragsmäßig größer als   ist. Die Forderung nach Stetigkeit ist in diesem Fall keine Einschränkung, da jede Funktion auf einem diskreten Raum stetig ist. Man bezeichnet   dann als  , wobei   eine beliebige Menge sei, die topologische Struktur also nicht vorausgesetzt wird. Für   ist dies gerade der Folgenraum   aller Nullfolgen.
  • Ist   nicht kompakt, so ist die konstante Funktion mit Wert 1 stetig, aber nicht  .

Normierter Raum Bearbeiten

Die Summe von zwei  -Funktionen ist wiederum eine  -Funktion, ebenso das punktweise Produkt mit einer reellen bzw. komplexen Zahl. Damit bildet   einen Vektorraum. Zudem ist jede  -Funktion beschränkt: Sei hierfür   ein Kompaktum, dessen Existenz nach Definition garantiert ist, sodass außerhalb dieses Kompaktums die Funktion betragsmäßig kleiner als eine beliebige positive reelle Zahl wird. Somit ist die Funktion außerhalb des Kompaktums beschränkt. Innerhalb des Kompaktums ist sie ebenfalls beschränkt, da eine stetige Funktion auf einem Kompaktum stets beschränkt ist. Somit ist die Funktion auf dem ganzen Raum beschränkt. Daher lässt sich der Raum   mit der Supremumsnorm   ausstatten.   wird damit zu einem normierten Raum. Dieser ist vollständig bezüglich der Norm und somit ein Banachraum. Er kann als abgeschlossener Untervektorraum, d. h. als Unterbanachraum, des Raumes aller beschränkter Funktionen mit der Supremumsnorm aufgefasst werden.

Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger   bilden einen dichten Untervektorraum von  . Man sieht leicht ein, dass jeder gleichmäßige Limes (d. h. bezüglich der Supremumsnorm) von  -Funktionen eine  -Funktion ist. Umgekehrt nutzt man die Tatsache aus, dass in einem lokalkompakten Raum für jede kompakte Teilmenge   eine stetige Funktion   mit kompaktem Träger existiert, die auf   den Wert 1 annimmt (siehe auch Zerlegung der Eins): Sei  ,   und   für  . Wähle eine Funktion   wie oben beschrieben. Dann ist   und  .[2] Beispiel: Im Fall von Folgenräumen bezeichnet man  ,   versehen mit der diskreten Topologie, als  , das ist die Menge aller Folgen, die schlussendlich nur noch den Wert 0 annehmen. Diese ist dicht im Raum der Nullfolgen  .

Algebra Bearbeiten

Das punktweise Produkt von zwei  -Funktionen ist wiederum eine  -Funktion, somit bildet   eine kommutative Algebra. Sogar das Produkt einer  -Funktion mit einer beliebigen beschränkten stetigen Funktion ist wiederum eine  -Funktion, womit sie ein abgeschlossenes Ideal in dem Raum der beschränkten Funktionen bilden. Offenbar gilt für   die Ungleichung  . Daher ist   eine Banach-Algebra. Sei nun   die punktweise komplexe Konjugation von   bzw. einfach nur   im reellen Fall, dann gilt  . Daher bildet   mit dieser Involution sogar eine kommutative C*-Algebra. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark ist jede kommutative, komplexe C*-Algebra isomorph zu einem Raum   für einen lokalkompakten Hausdorffraum  . Es ist   ein Ideal in  .

Alexandroff-Kompaktifizierung Bearbeiten

Sei in diesem Abschnitt   nicht kompakt. Der oben definierte Filter   konvergiert nicht auf  , wohl aber sein Bildfilter. Die Alexandroff-Kompaktifizierung   des Raums   ist nun der Raum ergänzt um einen unendlich fernen Punkt  , gegen den dieser Filter konvergieren möge. Seine Umgebungen seien gerade die Elemente von   vereinigt mit  ,  . Dieser Raum ist kompakt und jede Funktion   lässt sich zu einer Funktion   fortsetzen mit  . Diese Fortsetzung ist stetig, denn das Bild von   konvergiert gegen 0, das Bild von  . Umgekehrt lässt sich zeigen, dass sich eine Funktion auf einem lokalkompakten Hausdorffraum genau dann zu einer stetigen Funktion auf der Alexandroff-Kompaktifizierung fortsetzen lässt, wenn sie die Form   mit   und   hat.

Satz von Stone-Weierstraß und Separabilität Bearbeiten

Durch Fortsetzung auf die Alexandroff-Kompaktifizierung lässt sich der Satz von Stone-Weierstraß von stetigen Funktionen auf einem kompakten Raum auf die  -Funktionen auf einem lokalkompakten Raum übertragen: Es gilt, dass jede abgeschlossene, punktetrennende, involutive (d. h. auch unter der Konjugation abgeschlossene) Unteralgebra von   entweder   selbst oder eine Unteralgebra   für ein   ist. Somit folgt wiederum, dass   dicht in   liegt.

Unter Verwendung des Satzes von Stone-Weierstraß lässt sich zeigen, dass   genau dann separabel ist, wenn der Raum   das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.[3] Erfülle zunächst   das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Man wähle nun eine abzählbare Basis   der Topologie aus relativ kompakten Teilmengen, dies ist möglich, indem man aus einer abzählbaren Basis einfach alle nicht relativ kompakten Elemente streicht. Für   mit   wähle eine stetige Funktion, die den Wert 1 auf   und 0 außerhalb von   annimmt. So erhält man eine abzählbare Menge von  -Funktionen, die sich zu einer abzählbaren  - (bzw.  - im komplexen Fall) Unteralgebra ergänzen lässt. Diese ist punktetrennend und an keinem Punkt stets 0, denn für   gibt es Umgebungen   von   mit  , die   nicht enthalten. Die entsprechende Funktion nimmt dann bei   den Wert 1 und bei   den Wert 0 an. Damit ist diese Unteralgebra nach dem Satz von Stone-Weierstraß dicht in  . Umgekehrt folgt aus der Separabilität von   auch, dass   das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt: Sei eine abzählbare dichte Teilmenge   von   gegeben. Diese trennt Punkte von abgeschlossenen Mengen, denn für jeden Punkt   und jede abgeschlossene Menge   existiert eine  -Funktion, die auf   den Wert 0 und bei   den Wert 1 annimmt, also auch eine Funktion in  , die auf   betragsmäßig kleiner als   und bei   betragsmäßig größer als   ist.   trägt somit die Initialtopologie bezüglich  .[4] Eine abzählbare Subbasis und damit eine abzählbare Basis ergeben sich aus den Urbildern bezüglich der Funktionen in   einer abzählbaren Basis in  .

Dualraum Bearbeiten

Nach einer Variante des Darstellungssatzes von Riesz-Markow entsprechen die positiven (linearen) Funktionale auf dem Raum   der stetigen Funktionen mit kompakten Träger genau dem Raum der regulären Maße, d. h. für jedes positive Funktional existiert ein reguläres Maß  , sodass das Funktional nichts anderes als die Abbildung   ist. Ein solches Funktional lässt sich genau dann zu einem stetigen Funktional auf   fortsetzen, wenn es selbst stetig, das heißt beschränkt ist, denn   ist die Vervollständigung von   und die Fortsetzbarkeit ergibt sich direkt aus der universellen Eigenschaft der Vervollständigung. Diese Fortsetzung ist eindeutig. Umgekehrt lässt sich natürlich jedes positive stetige Funktional auf   zu einem auf   einschränken. Die positiven stetigen Funktionale auf   entsprechen somit genau den regulären, endlichen Maßen auf  . Jedes Element des Dualraums  , d. h. jedes stetige Funktional auf  , lässt sich als Differenz zweier positiver stetiger Funktionale (im komplexen Fall kommen positive und negative komplexe Komponenten hinzu) darstellen. Diese entsprechen endlichen regulären Maßen, die sich mittels der Hahn-Jordan-Zerlegung wiederum zu einem signierten Maß (bzw. im komplexen Fall komplexen Maß) zusammensetzen lassen. Der Dualraum   entspricht damit genau den regulären, endlichen signierten bzw. komplexen Maßen. Genauer: Stattet man diese Maße mit der Variationsnorm aus (für positive Maße ist das gerade das Maß des gesamten Raumes), bilden sie einen Banachraum, der isomorph zu   ist mittels des Isomorphismus, der jedem regulären, endlichen signierten bzw. komplexen Maß   das Funktional   zuordnet.[5]

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Alexander Grothendieck: Topological vector spaces. Gordon & Breach, 1973, ISBN 0-677-30025-5, S. 29.
  2. Gerald B. Folland: Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York 1999, ISBN 0-471-31716-0, S. 132.
  3. Chun-Yen Chou , Notes on the separability of  -algebras, Taiwanese Journal of Mathematics, 2012
  4. Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, 1970, S. 57.
  5. Folland, S. 221 ff.