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Eine beschränkte Menge mit oberen und unteren Schranken.
Eine nach oben beschränkte Menge mit Supremum.

Die Eigenschaft der Beschränktheit wird in verschiedenen Bereichen der Mathematik einer Menge zugeordnet. Die Menge wird dann als (nach unten oder oben) beschränkte Menge bezeichnet. Damit ist zunächst gemeint, dass alle Elemente der Menge bezüglich einer Ordnungsrelation nicht unterhalb bzw. nicht oberhalb einer bestimmten Schranke liegen. Genauer spricht man dann davon, dass die Menge bezüglich der Relation (nach unten oder oben) beschränkt ist. Die Begriffe obere und untere Schranke werden im Artikel Supremum ausführlich beschrieben.

Viel häufiger wird der Begriff in einem übertragenen Sinn gebraucht. Dann heißt eine Menge (nach oben) beschränkt, wenn eine Abstandsfunktion zwischen ihren Elementen, die als Wertevorrat meist die nichtnegativen reellen Zahlen hat, nur Werte nicht oberhalb einer bestimmten reellen Zahl annimmt. Hier versteht sich die Beschränktheit nach unten (nämlich durch 0) meist von selbst, daher wird hier einfach nur von einer beschränkten Menge gesprochen. Genauer müsste man sagen: Die Menge ist bezüglich der Abstandsfunktion (und der natürlichen Anordnung von deren Wertevorrat) beschränkt.

Daneben gibt es den Begriff einer (nach oben oder unten) beschränkten Funktion. Darunter ist eine Funktion zu verstehen, deren Bildmenge (als Teilmenge einer halbgeordneten Menge) die entsprechende Eigenschaft hat oder im übertragenen Sinn: Die Menge der Bilder der Funktion hat bezüglich einer Abstandsfunktion die entsprechende Beschränktheitseigenschaft.

DefinitionenBearbeiten

Beschränktheit bezüglich einer OrdnungsrelationBearbeiten

Sei   eine durch die Relation   halbgeordnete Menge und   eine Teilmenge von  .

  • Ein Element   heißt obere Schranke von  , wenn gilt:  . Das bedeutet: Alle Elemente von   sind kleiner oder gleich der oberen Schranke  . Falls eine solche obere Schranke   existiert, heißt   nach oben beschränkt (bezüglich der Relation  ).
  • Ein Element   heißt untere Schranke von  , wenn gilt:  . Das bedeutet: Alle Elemente von   sind größer oder gleich der unteren Schranke  . Falls eine solche untere Schranke   existiert, heißt   nach unten beschränkt (bezüglich der Relation  ).
  • Eine Menge  , die in diesem Sinn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, wird als beschränkte Menge (bezüglich der Relation  ) bezeichnet.
  • Eine Menge, die nicht beschränkt ist, heißt unbeschränkt.
  • Eine Funktion   in eine halbgeordnete Menge   heißt nach oben bzw. unten beschränkt, wenn in   eine obere bzw. untere Schranke für die Bildmenge   existiert. Ist   sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, nennt man   beschränkt, sonst unbeschränkt.

Übertragung auf Mengen, auf denen eine Abstandsfunktion definiert istBearbeiten

Die Begriffe beschränkt und unbeschränkt, die so für eine halbgeordnete Menge definiert sind, werden nun im übertragenen Sinn auch für Mengen mit einer Abstandsfunktion verwendet, wenn die Werte, die diese Funktion annimmt, in der geordneten Bildmenge (meistens nichtnegative reelle Zahlen) die entsprechenden Schranken hat (bzw. nicht hat).

Übertragung auf Funktionen, auf deren Wertevorrat eine Abstandsfunktion definiert istBearbeiten

Sei   eine Menge und   eine Abstandsfunktion auf  ,   eine beliebige Menge. Eine Funktion   heißt beschränkt (bezüglich der Abstandsfunktion  ), wenn die Menge   in   beschränkt ist, sonst unbeschränkt.

AnalysisBearbeiten

 
Die Bildmenge der abgebildeten Funktion ist beschränkt, damit ist auch die Funktion beschränkt.

In der Analysis heißt eine Teilmenge   der reellen Zahlen genau dann nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl   mit   für alle   aus   gibt. Jede solche Zahl   heißt obere Schranke von  . Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind analog definiert.

Die Menge   heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt.

Daraus ergibt sich der Zusammenhang: Eine Teilmenge   der reellen Zahlen ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl   gibt, so dass   für alle   aus   gilt. Man sagt dann,   läge in der offenen Kugel (d. h. einem offenen Intervall) um 0 mit Radius  .

Im Falle ihrer Existenz nennt man die kleinste obere Schranke das Supremum von  , die größte untere Schranke das Infimum.

Eine Funktion   heißt beschränkt auf  , wenn ihre Bildmenge   eine beschränkte Teilmenge von   ist.

Eine Teilmenge   der komplexen Zahlen heißt beschränkt, wenn die Beträge jedes Elementes von   eine bestimmte Schranke   nicht überschreiten. Das heißt, die Menge   ist in der abgeschlossenen Kreisscheibe   enthalten. Eine komplexwertige Funktion heißt beschränkt, wenn ihre Bildmenge beschränkt ist.

Ganz entsprechend wird der Begriff in den  -dimensionalen Vektorräumen   bzw.   definiert: Eine Teilmenge dieser Räume heißt beschränkt, wenn die Norm ihrer Elemente eine gemeinsame Schranke nicht überschreitet. Diese Definition ist unabhängig von der speziellen Norm, da alle Normen in endlichdimensionalen normierten Räumen zum gleichen Beschränktheitsbegriff führen.

Metrische RäumeBearbeiten

 
Beschränkte Menge (oben) und unbeschränkte Menge (unten)

Eine Menge   aus einem metrischen Raum   heißt beschränkt, wenn sie in einer abgeschlossenen Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d. h. wenn ein   und   existieren, so dass für alle   aus   gilt:  .

FunktionalanalysisBearbeiten

Beschränkte Mengen in topologischen VektorräumenBearbeiten

Eine Teilmenge   eines topologischen Vektorraums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Umgebung   von 0 ein   gibt, so dass   gilt.

Ist   ein lokalkonvexer Raum, so ist dessen Topologie durch eine Menge   von Halbnormen gegeben. Die Beschränktheit lässt sich dann wie folgt durch Halbnormen charakterisieren:   ist genau dann beschränkt, wenn   für alle Halbnormen  .

Beispiele beschränkter MengenBearbeiten

  • Kompakte Mengen sind beschränkt.
  • Die Einheitskugel in einem unendlich-dimensionalen normierten Raum ist beschränkt aber nicht kompakt.
  • Sei   der Vektorraum aller endlichen Folgen, d. h. aller Folgen  , so dass   für fast alle  . Sei weiter  . Dann ist   bzgl. der durch   definierten Norm beschränkt, nicht aber bzgl. der durch   definierten Norm.
  • Betrachtet man auf dem Raum   der endlichen Folgen des vorangegangenen Beispiels die durch die Halbnormen   definierte lokalkonvexe Topologie, so ist   beschränkt. Diese Menge ist für keine der beiden genannten Normen beschränkt.

PermanenzeigenschaftenBearbeiten

  • Teilmengen beschränkter Mengen sind beschränkt.
  • Endliche Vereinigungen beschränkter Mengen sind beschränkt.
  • Der topologische Abschluss einer beschränkten Menge ist beschränkt.
  • Sind   und   beschränkt, so auch  .
  • Eine stetige, lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen Räumen bildet beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab (siehe dazu auch: Bornologischer Raum).
  • Ist   lokalkonvex, so sind die konvexe Hülle und die absolutkonvexe Hülle einer beschränkten Menge wieder beschränkt.

Beschränkte AbbildungenBearbeiten

Sind   und   topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung   beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Sind   und   normierte Räume, so ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass eine Konstante   existiert, so dass

  für alle  

gilt. Die Menge dieser   ist nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt, daher existiert das Infimum dieser Menge – es ist identisch mit der Operatornorm von  . Man kann zeigen, dass jeder beschränkte lineare Operator zwischen normierten Räumen stetig ist und umgekehrt.

Zur weiteren Verwendung des Begriffs der Beschränktheit im Kontext von Halbgruppen über Banachräumen siehe stark stetige Halbgruppe.

Beschränkte Funktionen und gleichmäßige BeschränktheitBearbeiten

Gleichmäßige BeschränktheitBearbeiten

Der Begriff gleichmäßige Beschränktheit wird nur auf Mengen von Funktionen   angewandt, also Mengen von Funktionen mit derselben Definitionsmenge   und demselben Wertevorrat  . Meist spricht man dann von Familien von Funktionen oder, falls die Familie abzählbar unendlich ist, von einer Funktionenfolge.

Sei   eine beliebige Menge. Dann heißt eine Familie   von auf   definierten, reellwertigen Funktionen gleichmäßig beschränkt, wenn es eine reelle Zahl   gibt, für die gilt:  . Das heißt,   ist eine gemeinsame obere Schranke für die Werte der Beträge aller Funktionen aus  .

Offensichtlich kann eine Familie von Funktionen höchstens dann gleichmäßig beschränkt sein, wenn jede einzelne Funktion der Familie beschränkt ist. Für jede einzelne Funktion   existiert daher die Supremumsnorm  . Eine Familie von Funktionen ist nun genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie als Menge von Funktionen bezüglich der Supremumsnorm beschränkt ist.

Dies wird auf vektorwertige Funktionen verallgemeinert: Dabei ist   eine beliebige Menge,   ein reeller oder komplexer normierter Raum mit der Norm  . Man bezeichnet die Menge der auf   definierten Funktionen, die bezüglich der Norm in   beschränkt sind, als   und führt auf   mit   eine Norm ein, die   wiederum zu einem normierten Raum macht. Dann ist eine Familie von auf   definierten Funktionen genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie eine Teilmenge von   ist und als Teilmenge von   beschränkt ist.

Punktweise BeschränktheitBearbeiten

Eine Familie von Funktionen   auf einer Menge   deren Wertevorrat ein normierter Raum ist, heißt punktweise beschränkt, wenn für jeden Punkt   die Menge   beschränkt ist.   ist also die Menge aller Werte, die an der Stelle   von irgendeiner Funktion der Familie angenommen werden.

Man beachte:

  • Eine gleichmäßig beschränkte Familie ist notwendig punktweise beschränkt.
  • Eine punktweise beschränkte Familie kann unbeschränkte Funktionen enthalten.
  • Jede gleichmäßig beschränkte Familie besteht aus beschränkten Funktionen, aber nicht jede Familie von beschränkten Funktionen ist gleichmäßig beschränkt.
  • Eine Familie von beschränkten Funktionen muss nicht punktweise beschränkt sein.

BeispieleBearbeiten

Alle Familien in den Beispielen sind als Funktionenfolgen   definiert. Die Familie ist hier immer  .

  1. Die Folge der auf   definierten reellwertigen Funktionen   ist punktweise beschränkt. Keine der Funktionen der Familie ist beschränkt, damit ist sie auch nicht gleichmäßig beschränkt.
  2. Die Folge   ist auf der Menge   gleichmäßig beschränkt (durch 1). Auf einer beschränkten Teilmenge   der komplexen Zahlenebene, die Punkte   mit einem Betrag größer 1 enthält, ist die Folge immer noch eine Folge von beschränkten Funktionen, aber weder punktweise noch gleichmäßig beschränkt. Auf der Menge   ist keine der Funktionen beschränkt und die Folge auch nicht punktweise beschränkt.
  3. Die Folge der konstanten und damit beschränkten reellwertigen Funktionen   auf einer beliebigen nichtleeren Menge   ist punktweise unbeschränkt.

LiteraturBearbeiten

  • Bernd Aulbach: Analysis. Band 1. Universität, Augsburg 2001.
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 5. durchgesehene Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1988, ISBN 3-519-42221-2.