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Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist.

DefinitionBearbeiten

Sei  . Ein  -Vektorraum  , der zugleich topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn folgende Verträglichkeitsaxiome gelten:

BemerkungenBearbeiten

  • Es ist wichtig, dass die beiden genannten Abbildungen nicht nur komponentenweise stetig sind.
  • Manchmal wird auch zusätzlich gefordert, dass   ein Kolmogoroff-Raum (d. h. T0-Raum) ist, also verschiedene Punkte stets topologisch unterscheidbar sind. Daraus folgt für topologische Vektorräume bereits die Hausdorffeigenschaft (d. h. T2-Raum).
  •   ist eine topologische Gruppe.
  • Für einen topologischen Vektorraum   lässt sich in sinnvoller Art und Weise der topologische Dualraum   erklären.
  • Ist der topologische Vektorraum ein Hausdorff-Raum, so sind die Abbildungen, die eine Verschiebung um einen bestimmten Vektor oder eine Streckung um einen Skalar darstellen, Homöomorphismen. In diesem Fall reicht es, topologische Eigenschaften des Raumes im Ursprung zu betrachten, da jede Menge homöomorph in den Ursprung verschoben werden kann.

BeispieleBearbeiten

  • Die Menge   ist ein Vektorraum, der für   mit der Metrik   zu einem topologischen Vektorraum wird, der nicht lokalkonvex ist.
  • Allgemeiner seien   ein Maßraum und  . Dann macht die Metrik   den Lp-Raum   zu einem topologischen Vektorraum, der im Allgemeinen nicht lokalkonvex ist. Ist   und   das Zählmaß, so erhält man das obige Beispiel  . Der Raum   besitzt außer dem Nullfunktional kein weiteres stetiges lineares Funktional.

Topologische EigenschaftenBearbeiten

  • Jeder topologische Vektorraum ist als abelsche, topologische Gruppe ein uniformer Raum. Damit ist er insbesondere stets ein R0-Raum und erfüllt das Trennungsaxiom T3 (in der Bedeutung, dass T0 nicht miteingeschlossen ist). Mittels dieser uniformen Struktur kann man Vollständigkeit und gleichmäßige Stetigkeit definieren. Jeder topologische Vektorraum kann vervollständigt werden und lineare stetige Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen sind gleichmäßig stetig.
  • Für einen topologischen Vektorraum   gilt:   ist T0     ist T1     ist T2    ist ein Tychonoff-Raum.
  • In lokalkonvexen hausdorffschen topologischen Vektorräumen gilt der Satz von Hahn-Banach, sodass die Existenz „vieler“ stetiger linearer Funktionale gesichert ist. Diese Tatsache erlaubt es, für solche Räume eine reichhaltige Dualitätstheorie aufzustellen, die für allgemeine topologische Vektorräume in dieser Form nicht gilt. Im Extremfall, wie im obigen Beispiel  , ist das Nullfunktional das einzige stetige lineare Funktional.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten