Absolutkonvexe Menge

ausgewogene und konvexe Menge

Absolutkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der lokalkonvexen Räume, da sie in natürlicher Weise zu Halbnormen führen.

DefinitionBearbeiten

Eine Teilmenge A eines reellen oder komplexen Vektorraums heißt absolutkonvex, wenn für alle   mit   und alle   stets   gilt. Damit ist A genau dann absolutkonvex, wenn A ausgewogen und konvex ist. (Dabei steht   für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)

Beziehung zu HalbnormenBearbeiten

Ist U eine absolutkonvexe Nullumgebung des topologischen Vektorraums E, so definiert   eine Halbnorm auf E. Es gilt

 .

Man nennt   auch das Minkowski-Funktional zu U.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe der Minkowski-Funktionale kann man die Topologie also auch durch Halbnormen beschreiben. Dies klärt den Zusammenhang zwischen den beiden im Artikel über lokalkonvexe Räume gegebenen Definitionen.

Absolutkonvexe HülleBearbeiten

Da Durchschnitte absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge M eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die absolutkonvexe Hülle   von M. Es gilt  

QuelleBearbeiten