Minkowski-Funktional

Funktionalanalysis

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das Minkowski-Funktional (nach Hermann Minkowski), oft auch Eichfunktional genannt, eine Verallgemeinerung des Normbegriffes.

Definition

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Es sei   ein topologischer Vektorraum. Ist nun   eine absorbierende Teilmenge, so heißt die Funktion

 

das Minkowski-Funktional oder Eichfunktional zu  .[1]

Eigenschaften

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  • Ist die absorbierende Menge   balanciert und konvex, so ist   eine Halbnorm oder auch Seminorm. Umgekehrt hat für jede Seminorm   die Menge   die genannten Eigenschaften. Daraus folgt, dass die lokalkonvexen Räume genau die Räume sind, deren Topologie durch eine Familie von Seminormen definiert werden kann. Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann hausdorffsch, wenn diese Familie von Seminormen separierend ist.

Beispiel

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In einem euklidischen Raum (etwa dem dreidimensionalen Raum der alltäglichen Anschauung) betrachte man als Teilmenge   die Einheitskugel. Dann ist das Minkowski-Funktional identisch mit der üblichen euklidischen Norm, denn mit   liegt   gerade auf dem Rand der Menge  , also der Kugel mit Radius   und Mittelpunkt 0.

Einzelnachweise

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  1. Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg-Studium. 62, Aufbaukurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8, Kapitel I, §6, Definition auf Seite 42.