Normierbarer Raum

Ein normierbarer Raum oder normierbarer Vektorraum ist in der Mathematik ein topologischer Vektorraum, dessen Topologie durch eine Norm erzeugt werden kann. Normierbare Räume werden insbesondere in der Topologie und in der Funktionalanalysis untersucht.

DefinitionBearbeiten

Ein topologischer Vektorraum   heißt normierbar, wenn es eine Norm   auf   gibt, sodass das Mengensystem   mit

 

eine Umgebungsbasis des Nullvektors bezüglich der Topologie   bilden.[1] Das ist äquivalent dazu, dass die Topologie auf   durch die Norm   induziert wird.

EigenschaftenBearbeiten

Im Allgemeinen kann die Topologie eines normierbaren Raums durch mehrere Normen erzeugt werden. Sind   und   zwei Normen, die die gleiche Topologie erzeugen, so sind diese beiden Normen zueinander äquivalent. Wird eine der möglichen Normen ausgewählt, dann wird   zu einem normierten Raum, dessen Normtopologie mit   übereinstimmt.[2]

Normierbarkeit bleibt unter folgenden Operationen erhalten:

Kriterien für NormierbarkeitBearbeiten

Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff ist ein hausdorffscher topologischer Vektorraum genau dann normierbar, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt. Insbesondere ist jeder hausdorffsche lokalkonvexe Raum mit beschränkter Nullumgebung normierbar.

Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume sind alle nicht lokalkonvexen Räume, insbesondere Lp([0,1]) mit 0 < p < 1, sowie alle unendlichdimensionalen Montel-Räume, insbesondere die Räume  ,  ,  ,  ,   und   der Distributionentheorie. Weitere Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume liefert die schwache Topologie   auf unendlichdimensionalen normierten Räumen  , denn der Raum   ist genau dann normierbar, wenn   endlichdimensional ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2. Auflage. de Gruyter, 2012, ISBN 978-3-486-71968-0.
  • John Leroy Kelley, Isaac Namioka: Linear Topological Spaces. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-41914-4.
  • Helmut H. Schaefer: Topological Vector Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 3). Springer, 2013, ISBN 978-1-4684-9928-5.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2. Auflage. de Gruyter, 2012, S. 35.
  2. John Leroy Kelley, Isaac Namioka: Linear Topological Spaces. Springer, 2013, S. 43.
  3. a b c Helmut H. Schaefer: Topological Vector Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 3). Springer, 2013, S. 41.
  4. Helmut H. Schaefer: Topological Vector Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 3). Springer, 2013, S. 42.