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Nullvektorraum

Vektorraum, der nur aus dem Nullvektor besteht

Der Nullvektorraum (auch Nullraum) ist in der Mathematik ein Vektorraum, der nur aus einem Vektor, dem Nullvektor, besteht. Der Nullvektorraum ist bis auf Isomorphie der einzige Vektorraum mit Dimension und seine Basis ist die leere Menge. Jeder Vektorraum enthält den Nullvektorraum als kleinstmöglichen Untervektorraum. Bezüglich der direkten Summe und des direkten Produkts von Vektorräumen wirkt der Nullvektorraum als neutrales Element. In der Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper ist der Nullvektorraum das Nullobjekt.

DefinitionBearbeiten

Der Nullvektorraum   ist ein Vektorraum über einem beliebigen Körper   bestehend aus der einelementigen Menge   versehen mit der einzig möglichen Vektoraddition gegeben durch

 

und der einzig möglichen Skalarmultiplikation gegeben durch

 

für alle Skalare  . Der Vektor   ist somit das neutrale Element bezüglich der Vektoraddition und wird Nullvektor genannt.

EigenschaftenBearbeiten

VektorraumaxiomeBearbeiten

Der Nullvektorraum erfüllt die Axiome eines Vektorraums:

  •   ist eine abelsche Gruppe, nämlich die triviale Gruppe
  • es gelten die Assoziativ- und Distributivgesetze der Skalarmultiplikation, das heißt für alle  :
    •  
    •  
    •  
  • das Einselement   ist neutral:
    •  

Basis und DimensionBearbeiten

Die einzige Basis des Nullvektorraums ist die leere Menge, denn für die lineare Hülle der leeren Menge gilt

 .

Die Dimension des Nullvektorraums ist somit

 .

Umgekehrt ist jeder nulldimensionale Vektorraum über einem gegebenen Körper isomorph zum Nullvektorraum.

Darstellung als UntervektorraumBearbeiten

Ist   ein beliebiger Vektorraum über einem Körper  , dann gibt es in ihm ein eindeutig bestimmtes neutrales Element bezüglich der Vektoraddition, den Nullvektor  . Die Menge   bildet dann einen Untervektorraum von  , denn sie ist nichtleer und abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition sowie der Skalarmultiplikation, das heißt:

  •  
  •  
  •   für alle  

Der Raum   ist damit, wie jeder einelementige Vektorraum, isomorph zum Nullvektorraum und wird der Nullvektorraum des Vektorraums   genannt. Da ein Untervektorraum mindestens ein Element enthalten muss, ist der Nullvektorraum der kleinstmögliche Untervektorraum eines Vektorraums. Für den Schnitt zweier komplementärer Untervektorräume   und   eines Vektorraums   gilt stets

 .

Summen und ProdukteBearbeiten

Bezüglich der direkten Summe und des direkten Produkts von Vektorräumen wirkt der Nullvektorraum als neutrales Element, das heißt für jeden Vektorraum   gilt

    bzw.    .

Für das Tensorprodukt dagegen wirkt er als absorbierendes Element, das heißt

 .

KategorientheorieBearbeiten

In der Kategorie aller Vektorräume über einem gegebenen Körper mit den linearen Abbildungen als Morphismen ist der Nullvektorraum das Nullobjekt: Von jedem Vektorraum aus existiert genau eine lineare Abbildung in den Nullvektorraum und vom Nullvektorraum existiert in jeden Vektorraum genau eine lineare Abbildung, nämlich jeweils die Nullfunktion, die gerade der jeweilige Nullmorphismus ist.

Siehe auchBearbeiten

  • Nullring, der Nullvektorraum kann stets auch als Ring und damit als Algebra aufgefasst werden
  • Nullmodul, die Verallgemeinerung des Nullvektorraums als Modul

LiteraturBearbeiten