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Vektor

Element eines Euklidschen Vektorraums

Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Vektoren in diesem allgemeinen Sinn werden im Artikel Vektorraum behandelt.

Im engeren Sinne versteht man in der analytischen Geometrie unter einem Vektor ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Dabei beschreiben Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichorientiert sind, denselben Vektor. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden.

Motiviert von der Koordinatendarstellung der geometrischen Vektoren werden oft auch -Tupel reeller Zahlen[1], also Elemente des , als Vektoren oder auch als Koordinatenvektoren[2] bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass jeder -dimensionale reelle Vektorraum isomorph zum Vektorraum ist. Beispiele solcher Verwendung des Vektorbegriffs finden sich namentlich in der Wirtschaftsmathematik.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit Vektoren als Elementen des „Tupelraums“ .

Eng verwandt mit den geometrischen Vektoren sind vektorielle Größen in der Physik. Das sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, und oftmals durch Pfeile dargestellt werden, deren Länge dem Betrag der Größe entspricht. Beispiele dafür sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke.

Inhaltsverzeichnis

GeschichteBearbeiten

Begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Graßmann, der 1844 seine Lineale Ausdehnungslehre veröffentlichte, ein über dreihundert Seiten starkes Buch.[3] Als Vorläufer gelten u. a. René Descartes und August Ferdinand Möbius, ein Schüler von Carl Friedrich Gauß. Nahezu zeitgleich entwickelte William Rowan Hamilton seine ähnliche Theorie[4] der Quaternionen, die er 1853 in dem Buch Lectures on Quaternions[5] und 1866 in dem Werk Elements of Quaternions[6][7] publizierte. In Deutschland wurde die Vektorrechnung insbesondere durch Vorlesungen und Bücher von Alfred Bucherer, August Föppl, Carl Runge, Fischer, v. Ignatowsky und Richard Gans verbreitet.

Schreib- und SprechweisenBearbeiten

Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet ( ). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben ( ,   oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung ( ) oder Ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit kleinen Frakturbuchstaben ( ) üblich, handschriftlich durch deutsche Schreibschrift bzw. Sütterlinschrift wiedergegeben. Häufig gewählte Buchstaben sind   und  . Der entsprechende lateinische Buchstabe ohne Vektorkennzeichnung steht meist für die Länge (den Betrag) des Vektors:  

GeometrieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Verschiebung des Dreiecks ABC durch Verschiebung der Punkte um  

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von   nach  , der Pfeil von   nach   und der Pfeil von   nach   dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor  . Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelverschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.

 
Ein Vektor von Startpunkt A nach Endpunkt B und seine Länge

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt   auf den Punkt   abbildet, wird als   geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt   zum Punkt   zeigt. Man sagt: „Der Vektor   bildet   auf   ab“, oder: „Der Vektor   verbindet   und  .“ Der Punkt   wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und   als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet. Der Abstand der beiden Punkte wird Länge oder Betrag des Vektors genannt.

Der umgekehrte Vektor  , der   mit   verbindet, heißt Gegenvektor zu  . Der Vektor  , der einen Punkt   auf sich selbst abbildet, heißt Nullvektor und wird mit   oder   bezeichnet. Als einziger Vektor kann er grafisch nicht durch einen Pfeil dargestellt werden.

Orts- und RichtungsvektorenBearbeiten

Vektoren können auch dazu verwendet werden, Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann der Ort des Punktes   durch den Vektor

 

dargestellt werden. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt   gehörenden Ortsvektor. Dabei bezeichnet   den Koordinatenursprung, der für alle Ortsvektoren den Startpunkt bildet.

Um sie davon zu unterscheiden, werden Vektoren, wie sie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben wurden, auch als Richtungsvektoren bezeichnet. Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben. Sie können jedoch – wie gezeigt – jeden Punkt des Raums als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen.

Diese Unterscheidung ist unter anderem in der analytischen Geometrie wichtig. Dort wird beispielsweise eine Gerade durch folgende Gleichung beschrieben:

 

Der Stützvektor   ist der Ortsvektor eines willkürlich gewählten „Stützpunktes“ der Geraden. Der Richtungsvektor   gibt die Richtung der Geraden an. Weil   für eine beliebige reelle Zahl steht, ist   der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.

Darstellung in KoordinatenBearbeiten

Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese Koordinaten untereinander als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in  -Richtung) und 3 Einheiten nach oben (in  -Richtung) beschreibt, schreibt man  . Der Vektor   beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in  -Richtung und −5 Einheiten in  -Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor   eine Verschiebung um 3 Einheiten in  -Richtung, 2 Einheiten in negativer  -Richtung und 4 Einheiten in  -Richtung.

Die Koordinaten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben   und   die Koordinaten   und  . Die Koordinaten des Verbindungsvektors   berechnen sich dann wie folgt:

 

Betrag und Richtung Bearbeiten

Im Gegensatz zu Skalaren haben Vektoren eine Richtung. Ein Vektor ist also durch seinen Betrag und seine Richtung gekennzeichnet. Die Richtung ist dabei zum einen durch die Achsenlage, zum anderen durch den Richtungssinn gegeben. Der Richtungssinn gibt dabei an, in welche der beiden Richtungen entlang der Achse der Vektor zeigt. Ein Vorzeichenwechsel in der Größe des Vektors entspricht dabei der Umkehrung des Richtungssinns.[8][9][10]

RechenoperationenBearbeiten

Addition und SubtraktionBearbeiten

 
Vektoraddition   per Pfeil-Aneinanderreihung
 
Vektoraddition   per Parallelogramm-Konstruktion

Die Addition von zwei geometrischen Vektoren entspricht der Hintereinanderausführung der zugehörigen Verschiebungen. Stellt der Vektor   die Verschiebung dar, die den Punkt   auf   abbildet, und bildet die zu   gehörige Verschiebung den Punkt   auf   ab, so beschreibt   die Verschiebung, die   auf   abbildet:

 

Geometrisch kann man deshalb zwei Vektoren   und   addieren, indem man die beiden Vektoren so durch Pfeile darstellt, dass der Startpunkt des zweiten mit dem Endpunkt des ersten Pfeils übereinstimmt. Die Summe   wird dann durch den Pfeil vom Startpunkt des ersten bis zum Endpunkt des zweiten Pfeils dargestellt.

Alternativ stellt man die beiden Vektoren durch Pfeile mit einem gemeinsamen Anfangspunkt dar und ergänzt diese Figur zu einem Parallelogramm. Der diagonale Pfeil vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke stellt dann die Summe der beiden Vektoren dar. In der Physik verwendet man diese Konstruktion beim Kräfteparallelogramm.

In Koordinaten berechnet man die Summe komponentenweise: Für die Summe der beiden Vektoren

  und  

gilt

 .

Für die Addition von Vektoren gelten das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.

 
Vektorsubtraktion   per Pfeil-Aneinanderreihung mit Gegenvektor
 
Vektorsubtraktion   per Konstruktion mit Pfeilen mit demselben Anfangspunkt

Für die Differenz zweier Vektoren   und   gilt

 .

Sie lässt sich auf zwei Arten geometrisch deuten:

  • Als die Summe von   mit dem Gegenvektor   von  . Man setzt den Startpunkt eines Pfeils, der den Gegenvektor von   darstellt, an den Endpunkt des Pfeils, der   darstellt.
  • Als denjenigen Vektor, der zu   addiert gerade   ergibt. Stellt man   und   durch Pfeile mit demselben Anfangspunkt dar, so wird   durch den Pfeil dargestellt, der vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors führt.

Werden zwei Vektoren addiert (subtrahiert), so addieren (subtrahieren) sich ihre Beträge nur dann, wenn die Vektoren kollinear sind und die gleiche Orientierung haben. Im allgemeinen Fall gilt hingegen die Dreiecksungleichung:

 

Multiplikation mit einem SkalarBearbeiten

 
Skalarmultiplikation

Vektoren können mit reellen Zahlen (oft Skalare genannt, um sie von Vektoren zu unterscheiden) multipliziert werden (Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation genannt):

 

Die Länge des resultierenden Vektors ist  . Wenn der Skalar positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche, ist er negativ, in die Gegenrichtung.

Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:

 

Ebenso gilt es für die Addition von zwei Skalaren:

 

SkalarproduktBearbeiten

 
Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab

Das Skalarprodukt (oder innere Produkt) zweier Vektoren   und   so genannt, weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird als   oder   notiert und ist

 

wobei   der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (siehe auch Kosinus). Stehen die zwei Vektoren rechtwinkelig aufeinander, so ist das Skalarprodukt null, da   gilt.

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zu

 

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

 
 
Orthogonale Projektion   des Vektors   auf die durch   bestimmte Richtung

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch wie folgt verstehen (s. Abbildung): Man projiziert den einen Vektor   senkrecht auf den anderen   und erhält so den Vektor  . Falls der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel   ein spitzer Winkel ist, zeigt   in dieselbe Richtung wie  . In diesem Falle ergibt sich das Skalarprodukt durch die Multiplikation der beiden Beträge von   und  . Diese Zahl ist positiv. Handelt es sich hingegen um einen stumpfen Winkel, so ist die Projektion antiparallel zu   und das Skalarprodukt hat daher ein negatives Vorzeichen. Wenn die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschließen ( ), dann ist die Länge des projizierten Vektors null und damit auch das Skalarprodukt. (Vertauscht man die beiden Vektoren bei diesem Vorgehen, so ergibt sich derselbe Wert.)

Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel, um die Arbeit zu berechnen, wenn die Richtung der Kraft nicht mit der Bewegungsrichtung übereinstimmt.

Für das Skalarprodukt gelten das Kommutativgesetz

 

und das Distributivgesetz

 

KreuzproduktBearbeiten

 
Veranschaulichung des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt)   (gesprochen als „a Kreuz b“) zweier Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der senkrecht auf der von   und   aufgespannten Ebene steht. Die Länge   dieses Vektors ist gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten   und  , also

 

wobei der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel hier mit   bezeichnet wird. Das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren ergibt daher den Nullvektor.

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem lässt sich das Kreuzprodukt wie folgt berechnen:

 

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ, d. h., es gilt

 

SpatproduktBearbeiten

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

 

wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist ein Skalar. Sein Betrag ist das Volumen des Spats, der von den drei Vektoren aufgespannt wird. Bilden die drei Vektoren ein Rechtssystem, so ist   positiv. Bilden sie ein Linkssystem, so ist   negativ. Wenn die Vektoren linear abhängig sind, gilt  .

Länge/Betrag eines VektorsBearbeiten

In kartesischen Koordinaten kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

 

Dies entspricht der sog. euklidischen Norm. Die Länge lässt sich in einer alternativen Schreibweise auch als die Wurzel des Skalarprodukts angeben:

 

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.

Bei vektoriellen Größen in der Physik spricht man statt von der Länge vom Betrag eines Vektors. Man kann eine vektorielle physikalische Größe   als Paar   aus Richtung der Größe als Einheitsvektor   und Betrag der Größe entlang dieser Richtung ansehen. Die Einheit des Betrags ist dabei gleich der Einheit der physikalischen Größe. So lässt sich beispielsweise die Geschwindigkeit

 

eines Hubschraubers, der in konstanter Höhe in südöstlicher Richtung fliegt, durch

 

und

 

darstellen. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit   beim waagrechten Wurf (Startgeschwindigkeit in  -Richtung  , aktuelle Geschwindigkeit in  -Richtung  ) lässt sich angeben als

 

Dyadisches ProduktBearbeiten

 
Abbildung eines Vektors   auf den Vektor  

Das dyadische oder tensorielle Produkt   oder   (gesprochen als „a dyadisch b“) zweier Vektoren bildet eine Dyade. Mit Dyaden kann ein Vektor linear auf einen anderen Vektor abgebildet werden, siehe Bild. Der Anteil eines Vektors   in Richtung des Vektors   wird dabei in die Richtung des Vektors   gebracht und dabei gestreckt oder gestaucht. Die Abbildung geschieht mit dem obigen Skalarprodukt:

 

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem lässt sich das dyadische Produkt wie folgt berechnen:

 

Das dyadische Produkt ist nicht kommutativ, d. h., im Allgemeinen gilt

 

aber distributiv mit der Vektoraddition:

 

Es ist auch verträglich mit der Skalarmultiplikation:

 

Durch das dyadische Produkt entsteht eine neue Klasse von Objekten der linearen Algebra, die Matrizen und linearen Abbildungen, je nachdem, ob im Koordinatenraum oder Vektorraum gerechnet wird. Durch Verknüpfung mehrerer Dyaden (wie in  ) entstehen Dyaden höherer Stufe. Dyaden bilden einen Spezialfall von Tensoren. Tensoren spielen in der Kontinuumsmechanik, den Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus und der allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Einen Überblick über die Tensoralgebra gibt die Formelsammlung Tensoralgebra.

KomponentenschreibweiseBearbeiten

Alternativ zu der hier vorgestellten Schreibweise als Spaltenvektoren können Vektoren auch in Komponentenschreibweise dargestellt werden. Dabei steht   üblicherweise für die einzelnen Komponenten des Vektors   bezüglich der Standardbasis. Dadurch lassen sich die Rechenoperationen bezüglich der Standardbasis wie folgt schreiben:

Spaltenvektoren Komponentenschreibweise
Addition/Subtraktion    
Skalarprodukt    
beziehungsweise [Anmerkungen 1]:
 
Betrag    
beziehungsweise[Anmerkungen 1]:
 
Kreuzprodukt    [Anmerkungen 2]
beziehungsweise[Anmerkungen 1]:
 
  1. a b c Unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention
  2.   ist das Levi-Civita-Symbol und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.

Siehe auch den Abschnitt #Koordinaten und Komponenten eines Vektors unten.

n-Tupel und SpaltenvektorenBearbeiten

In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von  , also  -Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und skalare Multiplikation ausgeführt werden. In der Regel werden die  -Tupel als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben, das heißt, ihre Einträge stehen untereinander.

Addition und skalare MultiplikationBearbeiten

Die Addition zweier Vektoren   und die skalare Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl   werden komponentenweise definiert:

 

Die Menge   bildet mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum über dem Körper  . Dieser sogenannte Koordinatenraum ist das Standardbeispiel eines  -dimensionalen  -Vektorraums.

StandardskalarproduktBearbeiten

Das Standardskalarprodukt ist definiert durch

 .

Mit diesem Skalarprodukt ist der   ein euklidischer Vektorraum.

Multiplikation mit einer MatrixBearbeiten

Ist   eine ( )-Matrix und   ein Spaltenvektor, so kann man   als einspaltige Matrix in   auffassen und das Matrix-Vektor-Produkt   bilden. Das Ergebnis ist ein Spaltenvektor in  :

 

Die Multiplikation mit einer ( )-Matrix ist eine lineare Abbildung von   nach  . Jede lineare Abbildung lässt sich als Multiplikation mit einer Matrix darstellen.

Länge bzw. NormBearbeiten

Die Länge oder Norm eines Vektors ist durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben:

 

Neben dieser euklidischen Norm werden auch andere Normen benutzt, siehe p-Norm.

Zeilen- und SpaltenvektorenBearbeiten

Fasst man Vektoren als Matrizen auf, so ist eine  -Matrix ein Spaltenvektor

 

zu dem es eine  -Matrix

 

als zugehörigen Zeilenvektor gibt, wobei   die Transponierte von   ist. In dieser Schreibweise ist das Standardskalarprodukt nichts anderes als das Matrixprodukt einer  -Matrix mit einer  -Matrix:

 

Das dyadische Produkt stellt sich als das Matrixprodukt einer  -Matrix mit einer  -Matrix dar und liefert dann eine  -Matrix:

 

Eigenschaften von VektorenBearbeiten

Lineare AbhängigkeitBearbeiten

Vektoren   ( ) heißen linear abhängig, wenn es für die folgende Gleichung eine Lösung gibt, bei der nicht für alle Koeffizienten   gilt:

 

Wenn sich jedoch keine Koeffizienten   finden lassen, die diese Bedingung erfüllen, dann nennt man die Vektoren linear unabhängig.

  Der Nullvektor ist linear abhängig, jeder andere Vektor ist linear unabhängig.

Für   lässt sich im Fall der linearen Abhängigkeit mindestens einer der Vektoren als eine Linearkombination der anderen darstellen.

Um ein Koordinatensystem für einen  -dimensionalen Raum festzulegen, braucht man genau   linear unabhängige Basisvektoren. Dann kann man jeden Vektor dieses Raums auf eindeutige Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Mehr als   Vektoren im  -dimensionalen Raum sind stets linear abhängig.

Kollinearität zweier VektorenBearbeiten

Zwei linear abhängige Vektoren   und   nennt man auch kollinear. Im dreidimensionalen Raum gilt für sie

 

Jeder Vektor ist mit dem Nullvektor kollinear. Handelt es sich aber um zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, so sind sie genau dann kollinear, wenn

 

für ein   erfüllt ist. Sie sind parallel, wenn   positiv und antiparallel, wenn   negativ ist.

OrthogonalitätBearbeiten

Zwei Vektoren   und   sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist:

 

Bei geometrischen Vektoren mit positiver Länge bedeutet dies, dass sie einen rechten Winkel einschließen, siehe Skalarprodukt. Der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

NormierungBearbeiten

Ein Vektor   (gelesen „a Dach“) heißt Einheitsvektor oder normiert, wenn er die Länge 1 hat. Man normiert einen Vektor  , indem man ihn durch seine Länge dividiert, d. h., mit dem Kehrwert seiner Länge multipliziert:[11]

 

Der Vektor   hat dieselbe Richtung wie  , aber die Länge 1. Andere Schreibweisen für   sind  ,  [12] oder  .[13]

Einheitsvektoren sind bei der Darstellung von Koordinatensystemen von Bedeutung.

Koordinaten und Komponenten eines VektorsBearbeiten

 
Vektor (schwarz) mit Komponenten (rot) und Koordinaten (grün) bezüglich eines Koordinatensystems (grau)

Das am weitesten verbreitete Koordinatensystem, das kartesische, ist z. B. ein Orthonormalsystem, weil es von den drei zueinander orthogonalen Einheitsvektoren  ,   und   der Standardbasis aufgespannt wird. Die Koordinaten eines Vektors sind dann die Skalarprodukte des Vektors mit den Basisvektoren:

 

So kann jeder Vektor als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, indem man ihn als Summe seiner Komponenten bezüglich der Basis schreibt:

 

Durch einen Wechsel zu einer anderen Orthonormalbasis   bekommt der Vektor andere Koordinaten   und andere Komponenten:

 

Allgemeiner können drei beliebige, aber linear unabhängige Vektoren als Vektorraumbasis benutzt werden.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere, die neben den herkömmlichen, geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet.

Andererseits sind Vektoren gerade einstufige Tensoren, d. h. Tensoren mit nur einem Index.

Vektoren in der PhysikBearbeiten

Vektorgrößen im euklidischen Raum unserer AnschauungBearbeiten

In der klassischen Physik werden physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung haben, als Vektoren des euklidischen Raums aufgefasst. Beispiele hierfür sind der Ort, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, die Kraft usw. Man kann sie skalaren physikalischen Größen gegenüberstellen, die nur einen Betrag, jedoch keine Richtung haben, wie z. B. Volumen, Masse, Ladung, Temperatur usw.

Diese Auffassung gerichteter physikalischer Größen als Vektoren ist eine Anwendung geometrischer Vektoren. An die Stelle der Verschieberichtung tritt die Richtung der physikalischen Größe. Ihr Betrag entspricht der Verschiebungsweite eines geometrischen Vektors. Die Darstellung solcher Größen durch Pfeile bestimmter Länge veranschaulicht sowohl deren Richtung als auch deren Betrag. Folglich gilt alles, was bereits über geometrische Vektoren gesagt wurde, auch für vektorielle Größen in der Physik, insbesondere auch das über Rechenoperationen und graphische Veranschaulichung Gesagte.

Physikalische Größen lassen sich nur dann addieren, wenn es sich um Größen derselben Größenart handelt. Das gilt auch dann, wenn man sie als Vektoren auffasst. Die Addition wird z. B. durch das Kräfteparallelogramm veranschaulicht. Vektorsummen sind unter anderem in der Statik von herausragender Bedeutung, z. B. bei der Definition des Kräftegleichgewichts  .

Das Skalarprodukt wird verwendet, wenn die Projektion eines Vektors in die Richtung eines anderen von Bedeutung ist. Beispielsweise versteht man unter dem physikalischen Begriff Arbeit das Produkt einer Kraft und eines Weges in Kraftrichtung. Deswegen berechnet man die Arbeit über das Skalarprodukt der Kraft und des Weges. Außerdem ist das Skalarprodukt wichtig bei der Komponentenzerlegung eines Vektors. Das Kreuzprodukt hingegen findet überall dort Verwendung, wo eine Gesetzmäßigkeit der Drei-Finger-Regel folgt, wie z. B. bei der Lorentzkraft oder dem Drehmoment. Sowohl beim Skalarprodukt als auch beim Kreuzprodukt ergibt sich die Einheit der resultierenden physikalischen Größe durch die Multiplikation der Einheiten beider Faktoren.

Ist ein physikalischer Vektor selbst eine Funktion des Ortes, spricht man von einem Vektorfeld. Es kann durch Feldlinien veranschaulicht werden, wobei die Tangente an die Feldlinie die Richtung des Vektors angibt. Der Betrag des Vektors wird durch die Dichte der Feldlinien dargestellt. Als Beispiele wären hier vor allem die elektrischen und magnetischen Felder sowie die Geschwindigkeitsfelder in Strömungen zu nennen. Bei der mathematischen Behandlung der Felder erweist sich die Vektoranalysis als äußerst wichtiges Werkzeug, z. B. in der Elektrodynamik oder in der Strömungsmechanik.

Vektoren in nicht-euklidischen Räumen der relativistischen PhysikBearbeiten

An die Stelle des dreidimensionalen euklidischen Raums tritt in der Relativitätstheorie die nichteuklidische vierdimensionale Raumzeit. Vektorielle Größen wie die Vierergeschwindigkeit oder der Viererimpuls werden hier dementsprechend als vierdimensionale Vektoren dargestellt.

Transformationsverhalten von VektorenBearbeiten

In der Physik werden Vektoren (auch) durch ihr Transformationsverhalten beim Wechsel von Bezugssystemen charakterisiert.

Polare und axiale VektorenBearbeiten

Je nach Transformationsverhalten unter Punktspiegelungen des Ortes unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren, in der älteren Literatur auch Schub- und Drehvektoren[14] genannt: In euklidischen Vektorräumen geht jeder Vektor bei der räumlichen Punktspiegelung in sein Negatives über, Axialvektoren dagegen bleiben dabei unverändert. So ändern beispielsweise der Ort, die Geschwindigkeit, der Impuls und das elektrische Feld bei räumlicher Punktspiegelung ihr Vorzeichen, nicht aber der Drehimpuls oder das magnetische Feld. Polare und axiale Vektoren sind wegen ihres unterschiedlichen Transformationsverhaltens Elemente verschiedener Vektorräume. Das Kreuzprodukt muss dabei als bilineare Abbildung zweier Vektorräume in einen dritten angesehen werden.

Diese Sichtweise in der Physik ist davon abhängig, ob man in einem euklidischen oder nicht-euklidischen Raum arbeitet.

Transformationsverhalten im euklidischen- und Minkowski-RaumBearbeiten

Für den physikalischen Vektorbegriff ist das Transformationsverhalten unter der Isometriegruppe der entsprechenden Metrik des zugrunde gelegten Raumes von Bedeutung. Der dreidimensionale Raum der klassischen Mechanik wird als euklidischer flacher Raum modelliert, während die vierdimensionale Raumzeit der Relativitätstheorie als Minkowski-Raum mit einer gekrümmten Metrik versehen wird. Diese Räume sind Mannigfaltigkeiten in denen Vektoren kontravariante Tensoren erster Stufe darstellen, was ihr Transformationsverhalten festlegt. Die Isometriegruppen sind im euklidischen Raum die Drehgruppe und im Minkowski-Raum die Lorentz-Gruppe.

Nicht alle Vektoren im Dreidimensionalen sind Teile von Vierervektoren. Der Drehimpuls transformiert beispielsweise unter Lorentztransformationen nicht wie ein Teil eines Vierervektors, sondern zusammen mit dem anfänglichen Energieschwerpunkt wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors. Ebenso transformieren die elektrische und magnetische Feldstärke wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors.

Vielteilchensysteme mit   Teilchen beschreibt man mit Vektoren in  -dimensionalen Vektorräumen, auf die die dreidimensionale Drehgruppe getrennt wirkt.

Weitere Verwendungen des Vektorbegriffs in der PhysikBearbeiten

Mehrteilchen-Systeme von   Teilchen beschreibt man durch Vektoren in  -dimensionalen Vektorräumen, bzw. – in der hamiltonschen Mechanik – im  -dimensionalen Phasenraum, der nicht nur die Ortskoordinaten, sondern auch die Impulskoordinaten umfasst. Schließlich werden die Zustände quantenmechanischer Systeme als Vektoren in Funktionenräumen dargestellt. Hier erweist sich insbesondere die Bra-Ket-Notation, die von Paul Dirac eingeführt wurde, als hilfreich.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Vektor – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Commons: Vektoren – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 545.
  2. [1]
  3. Hermann Günter Graßmann: Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert. O. Wigand, 1844.
  4. Josiah Willard Gibbs: Quaternions and the Ausdehnungslehre. In: Nature. Band 44, Nr. 1126, 1891, S. 79–82, doi:10.1038/044079b0.
  5. W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions. Hodges and Smith, Dublin 1853.
  6. W. R. S. Hamilton: Elements of Quaternions: Vol.: 1. Longmans, Green & Company, 1866 (Google Books).
  7. W. R. S. Hamilton, C. J. Joly: Elements of quaternions. Vol.: 2. Longmans, Green & Company, 1901.
  8. A. E. H. Love, H. Polster: Theoretische Mechanik. Eine einleitende Abhandlung über die Prinzipien der Mechanik. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-52592-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  9. Jessica Scholz: Technische Mechanik 1: Statik. Eigenschaften der Kraft. ingenieurkurse.de, abgerufen am 31. Juli 2017.
  10. Einführung in die Vektorrechnung. Wiley Information Services - Chamgaroo, abgerufen am 31. Juli 2017.
  11. Raymond A. Serway, John W. Jewett: Principles Of Physics: A Calculus-based Text. Band 1, Verlag: Cengage Learning, 2006, ISBN 9780534491437, S. 19, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  12. Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien, Kursstufe, Baden-Württemberg. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-12-735301-3, Seite 243.
  13. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Band I: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 3. Auflage, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1978, S. 191.
  14. Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 577–578.