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Der Koordinatenraum in zwei reellen Dimensionen besteht aus allen Vektoren, die den Koordinatenursprung als Anfangspunkt besitzen

Der Koordinatenraum, Standardraum oder Standardvektorraum ist in der Mathematik der Vektorraum der -Tupel mit Komponenten aus einem gegebenen Körper versehen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation. Die Elemente des Koordinatenraums nennt man entsprechend Koordinatenvektoren oder Koordinatentupel. Die Standardbasis für den Koordinatenraum besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren. Lineare Abbildungen zwischen Koordinatenräumen werden durch Matrizen dargestellt. Die Koordinatenräume besitzen in der linearen Algebra eine besondere Bedeutung, da jeder endlichdimensionale Vektorraum zu einem Koordinatenraum isomorph (strukturell gleich) ist.

Die zwei- und dreidimensionalen reellen Koordinatenräume dienen oft als Modelle für die euklidische Ebene und den dreidimensionalen euklidischen Raum. In diesem Fall werden ihre Elemente sowohl als Punkte wie auch als Vektoren aufgefasst.

DefinitionBearbeiten

 
Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum

Ist   ein Körper und   eine natürliche Zahl, so ist das  -fache kartesische Produkt

 

die Menge aller  -Tupel   mit Komponenten aus  . Für diese Tupel definiert man nun eine komponentenweise Addition   durch

 

sowie eine komponentenweise Multiplikation mit einem Skalar   durch

 .

Auf diese Weise erhält man einen Vektorraum  , der als Koordinatenraum oder Standardraum der Dimension   über dem Körper   bezeichnet wird.[1] Seine Elemente nennt man Koordinatenvektoren oder Koordinatentupel.

Darstellung mit SpaltenvektorenBearbeiten

Die Koordinatenvektoren notiert man häufig auch als Spaltenvektoren. Die Vektoraddition und Skalarmultiplikation entsprechen dann einer zeilenweisen Addition der Vektorkomponenten beziehungsweise einer zeilenweisen Multiplikation mit einem Skalar:

 .

Diese Operationen sind dann Spezialfälle der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einspaltiger Matrizen.

BeispieleBearbeiten

 
Addition zweier Vektoren in der euklidischen Ebene (oben) und Multiplikation eines Vektors mit der Zahl zwei (unten).

Wichtige Beispiele für Koordinatenräume entstehen durch die Wahl der reellen Zahlen als zugrunde liegenden Körper. Im eindimensionalen Koordinatenraum   entsprechen die Vektorraumoperationen gerade der normalen Addition und Multiplikation von Zahlen. Im zweidimensionalen reellen Koordinatenraum   können Zahlenpaare als Ortsvektoren in der euklidischen Ebene interpretiert werden. Die beiden Komponenten sind dann gerade die Koordinaten des Endpunkts eines Ortsvektors in einem kartesischen Koordinatensystem. Auf diese Weise entspricht die Vektoraddition

 

anschaulich der Addition der zugehörigen Vektorpfeile und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

 .

der Streckung (oder Stauchung) des zugehörigen Vektorpfeils um den Faktor  . Insbesondere erhält man durch die Vektoraddition oder Skalarmultiplikation wieder einen Vektor in der euklidischen Ebene. Entsprechend können die Tupel des dreidimensionalen reellen Koordinatenraums   als Ortsvektoren im euklidischen Raum interpretiert werden. In höheren Dimensionen funktioniert diese Konstruktion ganz analog, auch wenn die Koordinatenvektoren des   dann nicht mehr so anschaulich interpretiert werden können.

EigenschaftenBearbeiten

Neutrales und inverses ElementBearbeiten

Das neutrale Element im Koordinatenraum ist der Nullvektor

 ,

wobei   das Nullelement des Körpers   ist. Das zu einem Vektor   inverse Element ist dann der Vektor

 ,

wobei   für   jeweils das additiv inverse Element zu   in   ist.

GesetzeBearbeiten

Der Koordinatenraum erfüllt die Axiome eines Vektorraums. Neben der Existenz eines neutralen und inversen Elements gelten für Koordinatenvektoren   und Skalare  

  • das Assoziativgesetz  ,
  • das Kommutativgesetz  ,
  • das gemischte Assoziativgesetz  ,
  • die Distributivgesetze   und   sowie
  • die Neutralität der Eins  , wobei   das Einselement des Körpers   ist.

Diese Gesetze folgen direkt aus der Assoziativität, der Kommutativität und der Distributivität der Addition und Multiplikation im Körper   durch Anwendung auf jede Komponente eines Koordinatentupels.

BasisBearbeiten

Die Standardbasis für den Koordinatenraum besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren

 .

Jeder Vektor   lässt sich somit als Linearkombination

 

der Basisvektoren darstellen. Die Dimension des Koordinatenraums ergibt sich demnach zu

 .

Durch Basistransformation der Standardbasis können weitere Basen des Koordinatenraums ermittelt werden. Dabei bilden die Spalten- oder Zeilenvektoren einer  -Matrix genau dann eine Basis des Koordinatenraums  , wenn die Matrix regulär ist, also vollen Rang besitzt.

Lineare AbbildungenBearbeiten

Die linearen Abbildungen zwischen zwei Koordinatenräumen entsprechen eindeutig den Matrizen mit Einträgen aus dem Körper: Ist   eine Matrix mit   Zeilen und   Spalten, dann wird durch das Matrix-Vektor-Produkt eine lineare Abbildung

 

definiert. Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung   eine eindeutig bestimmte Abbildungsmatrix  , sodass   für alle  . Die Spalten von   ergeben sich dabei als die Bilder der Standardbasisvektoren:

 .

Die Menge der Matrizen bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation selbst wieder einen Vektorraum, den Matrizenraum.

IsomorphieBearbeiten

Ist nun   ein beliebiger  -dimensionaler Vektorraum über dem Körper  , dann ist   isomorph zu dem entsprechenden Koordinatenraum  , also

 .

Wählt man nämlich eine Basis   für  , so hat jeder Vektor   die Darstellung

 

mit  . Jeder Vektor   lässt sich so eindeutig als Koordinatentupel   darstellen. Umgekehrt entspricht jedem solchen Koordinatentupel aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren genau ein Vektor aus  . Demnach ist die Abbildung

 

bijektiv. Nachdem die Abbildung zudem linear ist, stellt sie einen Isomorphismus zwischen dem Koordinatenraum   und dem Vektorraum   dar.[2] Da auf diese Weise jeder  -dimensionale Vektorraum über dem Körper   zum Koordinatenraum   isomorph ist, sind auch alle  -dimensionalen Vektorräume über dem gleichen Körper untereinander isomorph.

Diese Identifizierung endlichdimensionaler Vektorräume mit dem zugehörigen Koordinatenraum erklärt auch den Namen „Standardraum“.[2] Dennoch arbeitet man in der linearen Algebra häufig lieber mit abstrakten Vektorräumen statt mit Koordinatenräumen, da man in der Theorie gerne koordinatenfrei, das heißt ohne eine besonders ausgewählte Basis, argumentieren möchte. Für konkrete Berechnungen greift man dann wieder auf den Koordinatenraum zurück und rechnet mit den Koordinatenvektoren.

ErweiterungenBearbeiten

Der Koordinatenraum kann beispielsweise um folgende mathematische Strukturen erweitert werden:

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Fischer: Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. S. 75.
  2. a b Amann, Escher: Analysis I. S. 125.