Matrizenraum

Begriff aus der Algebra

Der Matrizenraum oder Raum der Matrizen ist in der Mathematik der Vektorraum der Matrizen fester Größe über einem gegebenen Körper mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation als innerer und äußerer Verknüpfung. Die Standardbasis für den Matrizenraum besteht aus den Standardmatrizen, bei denen genau ein Eintrag eins ist und alle anderen Einträge null sind. Die Dimension des Matrizenraums ist gleich dem Produkt aus der Zeilen- und Spaltenanzahl der Matrizen.

Die Matrizenräume besitzen in der linearen Algebra eine fundamentale Bedeutung, da der Raum der linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen isomorph (strukturell gleich) zu einem Matrizenraum ist. Demnach kann – nach Wahl einer Basis für den Urbild- und den Zielraum – jede lineare Abbildung durch eine Matrix dargestellt werden und umgekehrt entspricht jede Matrix einer linearen Abbildung.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Körper sowie   und   natürliche Zahlen, so ist

 

die Menge der Matrizen der Größe   mit Einträgen aus  . Für Matrizen   definiert man nun eine komponentenweise Addition durch

 ,

sowie eine komponentenweise Multiplikation mit einem Skalar   durch

 .

Auf diese Weise erhält man einen Vektorraum  , der Matrizenraum oder Raum der Matrizen der Größe   über dem Körper   genannt wird.[1]

BeispielBearbeiten

Betrachtet man den Raum   der Matrizen der Größe  , dann entspricht die Matrizenaddition gerade

 

und die Skalarmultiplikation entsprechend

 .

Als Ergebnis der Addition oder Skalarmultiplikation erhält man demnach wieder eine  -Matrix.

EigenschaftenBearbeiten

Neutrales und inverses ElementBearbeiten

Das neutrale Element im Matrizenraum ist die Nullmatrix

 ,

deren Elemente alle gleich dem Nullelement   des Körpers   sind. Das zu einer Matrix   additiv inverse Element ist dann die Matrix

 ,

wobei   für   und   jeweils das additiv inverse Element zu   in   ist.

GesetzeBearbeiten

Der Matrizenraum erfüllt die Axiome eines Vektorraums. Neben der Existenz eines neutralen und inversen Elements gelten für Matrizen   und Skalare  

  • das Assoziativgesetz  ,
  • das Kommutativgesetz  ,
  • das gemischte Assoziativgesetz  ,
  • die Distributivgesetze   und   sowie
  • die Neutralität der Eins  , wobei   das Einselement des Körpers   ist.

Diese Gesetze folgen direkt aus der Assoziativität, der Kommutativität und der Distributivität der Addition und Multiplikation im Körper   durch Anwendung auf jedes Element einer Matrix.

Basis und DimensionBearbeiten

Die Standardbasis für den Matrizenraum besteht aus der Menge der Standardmatrizen

 .

bei denen der Eintrag an der Stelle   eins ist und alle anderen Einträge null sind. Jede Matrix   lässt sich somit als Linearkombination

 

dieser Basismatrizen darstellen. Die Dimension des Matrizenraums beträgt demnach

 ,

sie ist also das Produkt aus der Zeilen- und der Spaltenanzahl der Matrizen des Raums.

IsomorphieBearbeiten

Der Vektorraum der Matrizen ist isomorph zum Raum   der linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen   und   über dem gleichen Körper  , das heißt

 ,

wobei   die Dimension von   und   die Dimension von   ist. Jede lineare Abbildung   kann nämlich nach Wahl einer Basis   für   und   für   durch

 

für   dargestellt werden. Somit kann jede solche lineare Abbildung eindeutig durch eine Matrix  , die sogenannte Abbildungsmatrix, beschrieben werden. Umgekehrt entspricht jede Matrix auf diese Weise genau einer linearen Abbildung aus  .[2]

ErweiterungenBearbeiten

Der Matrizenraum kann beispielsweise um folgende mathematische Strukturen erweitert werden:

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Fischer: Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. S. 75.
  2. Artin: Algebra. S. 125–127.