Reguläre Matrix

quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt

Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen sich reguläre Matrizen dadurch aus, dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit einer regulären Koeffizientenmatrix stets eindeutig lösbar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem Ring oder Körper bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die allgemeine lineare Gruppe.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt.

DefinitionBearbeiten

Eine quadratische Matrix   mit Einträgen aus einem unitären Ring   (in der Praxis meist dem Körper der reellen Zahlen) heißt regulär, wenn eine weitere Matrix   existiert, sodass

 

gilt, wobei   die Einheitsmatrix bezeichnet. Die Matrix   ist hierbei eindeutig bestimmt und heißt inverse Matrix zu  . Die Inverse einer Matrix   wird üblicherweise mit   bezeichnet. Bei einer singulären Matrix existiert keine solche Matrix  .

Ist   ein kommutativer Ring, Körper oder Schiefkörper, so sind die beiden Bedingungen   und   äquivalent, das heißt, eine linksinverse Matrix ist dann auch rechtsinvers und umgekehrt, sprich, die obige Bedingung lässt sich durch   beziehungsweise   abschwächen.

BeispieleBearbeiten

Die reelle Matrix

 

ist regulär, denn sie besitzt die Inverse

 ,

mit

 .

Die reelle Matrix

 

ist singulär, denn für eine beliebige Matrix

 

gilt

 .

Äquivalente CharakterisierungenBearbeiten

Reguläre Matrizen über einem KörperBearbeiten

Eine  -Matrix   mit Einträgen aus einem Körper  , zum Beispiel die reellen oder komplexen Zahlen, ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Es gibt eine Matrix   mit  .
  • Die Determinante von   ist ungleich null.
  • Die Null ist kein Eigenwert von  .
  • Das lineare Gleichungssystem   besitzt nur die triviale Lösung  .
  • Für jedes   existiert mindestens eine Lösung   des linearen Gleichungssystems  .
  • Für jedes   existiert höchstens eine Lösung   des linearen Gleichungssystems  .
  • Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Zeilenvektoren erzeugen  .
  • Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Spaltenvektoren erzeugen  .
  • Die durch   beschriebene lineare Abbildung  ,  , ist injektiv.
  • Die durch   beschriebene lineare Abbildung  ,  , ist surjektiv.
  • Die transponierte Matrix   ist invertierbar.
  • Der Rang der Matrix   ist gleich  .

Bei einer singulären  -Matrix   mit Einträgen aus einem Körper   ist keine der obigen Bedingungen erfüllt.

Reguläre Matrizen über einem unitären kommutativen RingBearbeiten

Allgemeiner ist eine  -Matrix   mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins   genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Es gibt eine Matrix   mit  .
  • Die Determinante von   ist eine Einheit in   (man spricht auch von einer unimodularen Matrix).
  • Für alle   existiert genau eine Lösung   des linearen Gleichungssystems  .
  • Für alle   existiert mindestens eine Lösung   des linearen Gleichungssystems  .
  • Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von  .
  • Die Zeilenvektoren erzeugen  .
  • Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von  .
  • Die Spaltenvektoren erzeugen  .
  • Die durch   beschriebene lineare Abbildung  ,  , ist surjektiv (oder gar bijektiv).
  • Die transponierte Matrix   ist invertierbar.

Bei einer singulären  -Matrix   mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins   ist keine der obigen Bedingungen erfüllt.

Der wesentliche Unterschied zum Fall eines Körpers ist hier also, dass im Allgemeinen aus der Injektivität einer linearen Abbildung nicht mehr ihre Surjektivität (und damit ihre Bijektivität) folgt, wie bereits das einfache Beispiel  ,   zeigt.

Weitere BeispieleBearbeiten

Die Matrix

 

mit Einträgen aus dem Polynomring   hat die Determinante   und   ist invertierbar in  . Somit ist   regulär in  . Die inverse Matrix ist

 .

Die Matrix

 

mit Einträgen aus dem Restklassenkörper   hat die Determinante   und   ist invertierbar in  . Somit ist   regulär in  . Die inverse Matrix ist

 .

Die Matrix

 

mit Einträgen aus dem Restklassenring   hat die Determinante  . Da   und   nicht teilerfremd sind, ist   in   nicht invertierbar. Daher ist   nicht regulär.

EigenschaftenBearbeiten

Ist die Matrix   regulär, so ist auch   regulär mit der Inversen

 .

Sind die beiden Matrizen   und   regulär, so ist auch ihr Produkt   regulär mit der Inversen

 .

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet demnach mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinen nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe  . In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element. Für eine reguläre Matrix   gelten damit auch die Kürzungsregeln

 

und

 ,

wobei   und   beliebige Matrizen passender Größe sind.

Eine singuläre Matrix besitzt den Eigenwert null, d. h., es gibt einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, der von der Matrix auf ersteren abgebildet wird. Alle Vektoren, die von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden, erzeugen den Eigenraum zum Eigenwert null. Die Dimension dieses Eigenraumes ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts null, siehe Jänich (2008), S. 197 ff.

Reguläre Matrizen über einem RestklassenkörperBearbeiten

Eine Matrix mit Einträgen aus einem Restklassenkörper   mit einer Primzahl   ist genau dann regulär, wenn die Zeilenvektoren linear unabhängig sind.

Für den Restklassenkörper   kann die Anzahl der regulären  -Matrixen wie folgt berechnet werden:

  • Jedes der   Elemente der 1. Zeile kann unabhängig voneinander 2 Werte annehmen. Der Nullvektor ist ausgeschlossen. Für die 1. Zeile gibt es also   Möglichkeiten.
  • Für die 2. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile sind, also   Vektoren. Für die 2. Zeile gibt es also   Möglichkeiten.
  • Für die 3. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile und 2. Zeile sind, also   Vektoren. Für die 3. Zeile gibt es also   Möglichkeiten.
  • Allgemein gibt es für die Zeile mit dem Index   also   mögliche Werte. Für alle Zeilen der Matrix ergeben sich daher insgesamt   Möglichkeiten.

Daraus lässt sich der Anteil der regulären  -Matrixen an allen  -Matrixen bestimmen. Es gibt   verschiedene  -Matrixen, weil jedes der   Elemente unabhängig voneinander 2 Werte annehmen kann. Der Anteil der regulären  -Matrixen beträgt daher

 

Für   gegen unendlich konvergiert dieses Produkt nach dem Pentagonalzahlensatz wegen   gegen einen endlichen Grenzwert. Dieser beträgt etwa 0,289.

Dieses Ergebnis lässt sich für beliebige Primzahlen   auf den Restklassenkörper   verallgemeinern. Es gibt   verschiedene  -Matrixen, von denen   reguläre  -Matrixen sind. Der Anteil der regulären  -Matrixen beträgt  .[1]

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. StackExchange: Number of non singular matrices over a finite field of order 2