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Ortsvektor

Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu diesem Punkt zeigt
Zwei Punkte und ihre Ortsvektoren
Ortsvektoren (hier durch und bezeichnet) im kartesischen Koordinatensystem

Als Ortsvektor (auch Radiusvektor oder Positionsvektor) eines Punktes bezeichnet man in der Mathematik und in der Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu diesem Punkt (Ort) zeigt.[1] In der elementaren und in der synthetischen Geometrie können diese Vektoren als Klassen von verschiebungsgleichen Pfeilen oder gleichwertig als Parallelverschiebungen definiert werden.

Ortsvektoren ermöglichen es, für die Beschreibung von Punkten, von Punktmengen und von Abbildungen die Vektorrechnung zu benutzen. Legt man ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde, dann wählt man in der Regel den Koordinatenursprung als Bezugspunkt für die Ortsvektoren der Punkte. In diesem Fall stimmen die Koordinaten eines Punktes bezüglich dieses Koordinatensystems mit den Koordinaten seines Ortsvektors überein.

In der analytischen Geometrie werden Ortsvektoren verwendet, um Abbildungen eines affinen oder euklidischen Raums zu beschreiben und um Punktmengen (wie zum Beispiel Geraden und Ebenen) durch Gleichungen und Parameterdarstellungen zu beschreiben.

In der Physik werden Ortsvektoren verwendet, um den Ort eines Körpers in einem euklidischen Raum zu beschreiben. Ortsvektoren zeigen bei Koordinatentransformationen ein anderes Transformationsverhalten als kovariante Vektoren.

SchreibweisenBearbeiten

In der Geometrie wird der Bezugspunkt (Ursprung) in der Regel mit   (für lat. origo) bezeichnet. Die Schreibweise für den Ortsvektor eines Punktes   ist dann:

 

Gelegentlich werden auch die Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil benutzt, die den Großbuchstaben entsprechen, mit denen die Punkte bezeichnet werden, zum Beispiel:

 

Auch die Schreibweise, dass der Großbuchstabe, der den Punkt bezeichnet, mit einem Vektorpfeil versehen wird, ist üblich:

 

Vor allem in der Physik wird der Ortsvektor auch Radiusvektor genannt und mit Vektorpfeil als   oder (insbesondere in der theoretischen Physik) halbfett als   geschrieben.

Beispiele und Anwendungen in der GeometrieBearbeiten

VerbindungsvektorBearbeiten

Für den Verbindungsvektor   zweier Punkte   und   mit den Ortsvektoren   und   gilt:

 

Kartesische KoordinatenBearbeiten

Für die Koordinaten des Ortsvektors   des Punktes   mit den Koordinaten   gilt:

 

VerschiebungBearbeiten

Eine Verschiebung um den Vektor   bildet den Punkt   auf den Punkt   ab. Dann gilt für die Ortsvektoren:

 
 

Drehung um den UrsprungBearbeiten

Eine Drehung in der Ebene mit Drehzentrum   um den Winkel   gegen den Uhrzeigersinn kann in kartesischen Koordinaten wie folgt mit Hilfe einer Drehmatrix beschrieben werden: Ist   der Ortsvektor eines Punktes   und   der Ortsvektor des Bildpunkts  , so gilt:

 

Affine AbbildungBearbeiten

Eine allgemeine affine Abbildung, die den Punkt   auf den Punkt   abbildet, kann mit Ortsvektoren wie folgt dargestellt werden:

 

Hierbei ist   der Ortsvektor von  ,   der Ortsvektor von  ,   eine lineare Abbildung und   ein Vektor, der eine Verschiebung beschreibt. In kartesischen Koordinaten kann die lineare Abbildung   durch eine Matrix   dargestellt werden und es gilt:

 

Im dreidimensionalen Raum ergibt dies:

 

Entsprechende Darstellungen gibt es auch für andere Dimensionen.

Parameterdarstellung einer GeradenBearbeiten

Die Gerade durch die Punkte   und   enthält genau die Punkte  , deren Ortsvektor   die Darstellung

  mit  

besitzt. Man spricht hier auch von der Parameterform einer Geradengleichung.

Normalenform der EbenengleichungBearbeiten

Die Ebene durch den Punkt   (Stützpunkt) mit Normalenvektor   enthält genau die Punkte  , deren Ortsvektor   die Normalengleichung

 

erfüllt. Dabei ist   der Ortsvektor (Stützvektor) des Stützpunkts   und der Malpunkt bezeichnet das Skalarprodukt.

Ortsvektor in verschiedenen KoordinatensystemenBearbeiten

 
Kartesisches Koordinatensystem

Der durch einen Ortsvektor beschriebene Punkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems ausgedrückt werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.

Kartesische KoordinatenBearbeiten

Üblicherweise wird der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten in der Form

 

definiert. Daher sind die kartesischen Koordinaten gleichzeitig die Komponenten des Ortsvektors.

ZylinderkoordinatenBearbeiten

Der Ortsvektor als Funktion von Zylinderkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Zylinderkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

 

Hier bezeichnet   den Abstand des Punktes von der  -Achse, der Winkel   wird von der  -Achse in Richtung der  -Achse gezählt.   und   sind also die Polarkoordinaten des orthogonal auf die  - -Ebene projizierten Punktes.

Mathematisch gesehen wird hier die Abbildung (Funktion) betrachtet, die den Zylinderkoordinaten   die kartesischen Koordinaten   des Ortsvektors zuordnet.

KugelkoordinatenBearbeiten

Der Ortsvektor als Funktion von Kugelkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Kugelkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

 

Hierbei bezeichnet   den Abstand des Punktes vom Ursprung (also die Länge des Ortsvektors), der Winkel   wird in der  - -Ebene von der  -Achse aus in Richtung der  -Achse gemessen, der Winkel   ist der Winkel zwischen der  -Achse und dem Ortsvektor.

PhysikBearbeiten

HimmelsmechanikBearbeiten

Um die Position eines Himmelskörpers, der sich auf einer Umlaufbahn um ein Schwerezentrum bewegt, anzugeben, wird in der Himmelsmechanik als Ursprung des Orts- oder Radiusvektors dieses Schwerezentrum gewählt. Der Radiusvektor liegt dann stets in Richtung der Gravitationslinie. Die Strecke des Ortsvektors wird Fahrstrahl genannt. Der Fahrstrahl spielt eine zentrale Rolle beim zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz).

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Istvan Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0, S. 12.

LiteraturBearbeiten