Hauptmenü öffnen

Wikipedia β

Skalarprodukt

Mathematische Verknüpfung zweier Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und nach der Formel

Dabei bezeichnen und jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen, und maximal, wenn sie die gleiche Richtung haben.

In einem kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren und als

Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt und daraufhin mit der Formel aus dem vorhergehenden Absatz den Winkel zwischen den beiden Vektoren ausrechnen, indem diese nach aufgelöst wird:

[1]

In der linearen Algebra wird dieses Konzept verallgemeinert. Ein Skalarprodukt ist dort eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Inhaltsverzeichnis

Im euklidischen RaumBearbeiten

Geometrische Definition und NotationBearbeiten

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt   zweier Vektoren   und   ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen   und   die Längen der Vektoren   und   und bezeichnet   den von   und   eingeschlossenen Winkel, so ist

 

Wie bei der normalen Multiplikation, aber seltener als dort, wird das Multiplikationszeichen manchmal auch weggelassen, wenn klar ist, was gemeint ist:

 

Statt   schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch  

Andere übliche Notationen sind   und  

VeranschaulichungBearbeiten

 
Orthogonale Projektion   des Vektors   auf die durch   bestimmte Richtung

Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion   des Vektors   auf die durch   bestimmte Richtung und setzt

 

Es gilt dann   und für das Skalarprodukt von   und   gilt:

 

Diese Beziehung wird manchmal auch zur Definition des Skalarprodukts verwendet.

BeispieleBearbeiten

In allen drei Beispielen gilt   und  . Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte  ,   und  :

In kartesischen KoordinatenBearbeiten

Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren

   und   

die Darstellung

 
 
Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene

Für die kanonischen Einheitsvektoren   und   gilt nämlich:

  und  

Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes):

 

Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren

   und   

die Darstellung

 

Zum Beispiel berechnet sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren

   und   

wie folgt:

 

EigenschaftenBearbeiten

Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:

  • Sind   und   parallel und gleichorientiert ( ), so gilt
     
  • Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:
     
  • Sind   und   parallel und entgegengesetzt orientiert ( ), so gilt
     
  • Sind   und   orthogonal ( ), so gilt
     
  • Ist   ein spitzer Winkel, so gilt  
  • Ist   ein stumpfer Winkel, so gilt  

Als Funktion, die jedem geordneten Paar   von Vektoren die reelle Zahl   zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:

  1. Es ist symmetrisch (Kommutativgesetz):
      für alle Vektoren   und  
  2. Es ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):
      für alle Vektoren   und   und alle Skalare  
  3. Es ist additiv in jedem Argument (Distributivgesetz):
      und
      für alle Vektoren     und  

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.

Die Bezeichnung „gemischtes Assoziativgesetz“ für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz vertauscht werden können. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck   ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors   Hingegen stellt der Ausdruck   ein Vielfaches von   dar. Im Allgemeinen gilt also

 

Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

Betrag von Vektoren und eingeschlossener WinkelBearbeiten

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung die Länge (den Betrag) eines Vektors zu berechnen:

Für einen Vektor   des zweidimensionalen Raumes gilt

 

Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder. Im dreidimensionalen Raum gilt entsprechend

 

Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man aus den Koordinaten zweier Vektoren den von ihnen eingeschlossenen Winkel berechnen. Aus

 

folgt

 

Die Längen der beiden Vektoren

   und   

betragen also

  und  

Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels berechnet sich zu

 

Somit ist  

Orthogonalität und orthogonale ProjektionBearbeiten

Hauptartikel: Orthogonalität und Orthogonalprojektion
 
Orthogonale Projektion   des Vektors   auf die durch   bestimmte Richtung

Zwei Vektoren   und   sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also

 

Die orthogonale Projektion von   auf die durch den Vektor   gegebene Richtung ist der Vektor   mit

 

also

 

Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von   auf die durch   bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor   steht senkrecht auf  

Ist   ein Einheitsvektor (d. h., ist  ), so vereinfacht sich die Formel zu

 

Bezug zum KreuzproduktBearbeiten

Eine andere Art und Weise, zwei Vektoren   und   im dreidimensionalen Raum multiplikativ miteinander zu verknüpfen, ist das äußere Produkt oder Kreuzprodukt   Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Resultat des Kreuzprodukts kein Skalar, sondern wieder ein Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Faktoren   und   aufgespannten Ebene und seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen aufgespannt wird.

Für die Verbindung von Kreuz- und Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:[2]

  •  
  •  
  •  
  •  

Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch Spatprodukt; es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren   aufgespannten Parallelepipeds.

AnwendungenBearbeiten

In der GeometrieBearbeiten

 
Kosinussatz mit Vektoren

Das Skalarprodukt ermöglicht es, komplizierte Sätze, bei denen von Winkeln die Rede ist, einfach zu beweisen.

Behauptung: (Kosinussatz)

 

Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt   (Die Richtung von   ist unerheblich.) Quadrieren ergibt

 

und damit

 

In der PhysikBearbeiten

 
Beispiel schiefe Ebene

In der Physik sind viele Größen, wie zum Beispiel die Arbeit  , durch Skalarprodukte definiert:

 

mit den vektoriellen Größen Kraft   und Weg  . Dabei bezeichnet   den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit   wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit   die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.

Beispiel: Ein Wagen des Gewichts   wird über eine schiefe Ebene von   nach   transportiert. Die Hubarbeit   berechnet sich zu

 

In allgemeinen reellen und komplexen VektorräumenBearbeiten

Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren   und   schreibt man also  . Andere gebräuchliche Notationen sind   (vor allem in der Quantenmechanik in Form der Bra-Ket-Notation),   und  .

Definition (Axiomatik)Bearbeiten

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum   ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform   das heißt, für   und   gelten die folgenden Bedingungen:

  1. linear in jedem der beiden Argumente:
    •  
    •  
    •  
    •  
  2. symmetrisch:  
  3. positiv definit:
    •  
    •   genau dann, wenn  

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum   ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform   das heißt für   und   gelten die folgenden Bedingungen:

  1. sesquilinear:
    •  
    •      (semilinear im ersten Argument)
    •  
    •      (linear im zweiten Argument)
  2. hermitesch:  
  3. positiv definit:
    •   (Dass   reell ist, folgt aus Bedingung 2.)
    •   genau dann, wenn  

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch euklidischer Vektorraum genannt, im komplexen Fall spricht man von einem unitären Vektorraum. Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als euklidisches Skalarprodukt, das in einem unitären Vektorraum als unitäres Skalarprodukt bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene Standardskalarprodukt im   benutzt.

Anmerkungen
  • Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
  • Die beiden angegebenen Axiomensysteme sind nicht minimal. Im reellen Fall folgt aufgrund der Symmetrie die Linearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt). Analog dazu folgt im komplexen Fall aufgrund der Hermitezität die Semilinearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt).
  • Im komplexen Fall wird das Skalarprodukt oft alternativ, nämlich als linear im ersten und semilinear im zweiten Argument definiert. Diese Version tritt bevorzugt in der Mathematik und insbesondere in der Analysis auf, während in der Physik überwiegend die obige Version benutzt wird (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Der Unterschied beider Versionen liegt in den Auswirkungen der Skalarmultiplikation hinsichtlich der Homogenität. Nach der Alternativversion gilt für   und       und  . Die Additivität wird in beiden Versionen gleich verstanden. Ebenso sind die nach beiden Versionen aus dem Skalarprodukt gewonnenen Normen identisch.[3]
  • Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, wird als Hilbertraum bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

Standardskalarprodukt im Rn und im CnBearbeiten

Hauptartikel: Standardskalarprodukt

Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im  -dimensionalen Koordinatenraum   für   durch

 

Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall   Im Fall des  -dimensionalen komplexen Vektorraums   definiert man das Standardskalarprodukt für   durch

 

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.

Das Standardskalarprodukt im   bzw.   lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als  -Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt

 

wobei   der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor   durch Transponieren hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)

 

wobei   der zu   hermitesch adjungierte Zeilenvektor ist.

Allgemeine Skalarprodukte im Rn und im CnBearbeiten

Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix   über

 

ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix   über

 

ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index   auf der linken Seite das durch die Matrix   definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf   bzw.   lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

L2-Skalarprodukt für FunktionenBearbeiten

Hauptartikel: L²-Skalarprodukt

Auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum   der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall   ist das  -Skalarprodukt durch

 

für alle   definiert.

Für Verallgemeinerungen dieses Beispiels siehe Prähilbertraum und Hilbertraum.

Frobenius-Skalarprodukt für MatrizenBearbeiten

Hauptartikel: Frobenius-Skalarprodukt

Auf dem Matrizenraum   der reellen  -Matrizen wird für   durch

 

ein Skalarprodukt definiert. Entsprechend wird auf dem Raum   der komplexen  -Matrizen für   durch

 

ein Skalarprodukt definiert. Dieses Skalarprodukt wird Frobenius-Skalarprodukt genannt und die dazugehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

Norm, Winkel und OrthogonalitätBearbeiten

Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Skalarprodukträumen die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Man definiert diese Norm, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:

 

Dies ist möglich, da   aufgrund der positiven Definitheit nicht negativ ist. Die als Normaxiom geforderte Dreiecksungleichung folgt dabei aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

 

Sind   so kann diese Ungleichung zu

 

umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels

 

der Winkel   zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und   Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.[4]

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:

 

MatrixdarstellungBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler Vektorraum und   eine Basis von   so kann jedes Skalarprodukt   auf   durch eine ( )-Matrix   die Gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

    mit       für  

Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen: Haben die Vektoren   bezüglich der Basis   die Darstellung

    und    

so gilt im reellen Fall

 

Bezeichnet man mit   die Koordinatenvektoren

    und    

so gilt also

 

wobei das Matrixprodukt eine  -Matrix liefert, also eine reelle Zahl. Mit   wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor   entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

 

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und   der zu   adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist   eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt   für alle   und   für alle   so ist   die Einheitsmatrix, und es gilt

 

im reellen Fall und

 

im komplexen Fall. Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von   und   also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren   und   bzw.  

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Skalarprodukt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gleichbedeutend mit:  
  2. Liesen, Mehrmann: Lineare Algebra. S. 168.
  3. Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6, S. 91.
  4. Klaus Scharnhorst: Angles in complex vector spaces. In: Acta Applicandae Math. Band 69, 2001, S. 95–103.