Hauptmenü öffnen

Nullvektor

spezieller Vektor eines Vektorraums

Der Nullvektor ist in der Mathematik ein spezieller Vektor eines Vektorraums, und zwar das eindeutig bestimmte neutrale Element bezüglich der Vektoraddition. Beispiele für Nullvektoren sind die Zahl Null, die Nullmatrix und die Nullfunktion. In einem Skalarproduktraum ist der Nullvektor orthogonal zu allen Vektoren des Raums. In einem normierten Raum ist er der einzige Vektor mit Norm Null. Jeder Untervektorraum eines Vektorraums enthält zumindest den Nullvektor, wobei der kleinste Untervektorraum der Nullvektorraum ist. Der Nullvektor wird zur Definition einiger zentraler Begriffe der linearen Algebra wie lineare Unabhängigkeit, Basis und Kern verwendet. Er spielt eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur linearer Gleichungen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Der Nullvektor eines Vektorraums   ist der eindeutig bestimmte Vektor  , für den

 

für alle Vektoren   gilt. Er ist damit das neutrale Element bezüglich der Vektoraddition.

NotationBearbeiten

Der Nullvektor wird meist mittels der Ziffer Null durch  ,   oder einfach nur   bezeichnet. Der Nullvektor ist jedoch im Allgemeinen von dem Nullelement des Skalarkörpers   des Vektorraums verschieden, das ebenfalls durch   dargestellt wird. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, wird daher der Nullvektor mit   und die skalare Null mit   bezeichnet. Gelegentlich wird der Nullvektor auch durch  ,   oder   als kleines o notiert.

Als einziger Vektor der euklidischen Ebene kann der Nullvektor nicht durch einen Pfeil grafisch dargestellt werden, da ihm weder Richtung noch Länge zugeordnet werden können.

BeispieleBearbeiten

  • Im Vektorraum   der reellen Zahlen ist der Nullvektor die Zahl   und damit gleich der Null des Skalarkörpers.
  • Im Vektorraum   der komplexen Zahlen ist der Nullvektor die Zahl   und entspricht damit ebenfalls der skalaren Null.
  • Im Koordinatenraum   ist der Nullvektor das n-Tupel   bestehend aus den Nullelementen des Körpers  .
  • Im Matrizenraum   ist der Nullvektor die Nullmatrix, deren Elemente alle gleich   sind.
  • Im Folgenraum   ist der Nullvektor die Folge   und nicht zu verwechseln mit dem Begriff der Nullfolge.
  • In einem linearen Funktionenraum, das heißt einem Vektorraum, der aus Funktionen von einer Menge   in einen Vektorraum   besteht, ist der Nullvektor die Nullfunktion  , wobei   der Nullvektor des Zielraums ist.

EigenschaftenBearbeiten

EindeutigkeitBearbeiten

Der Nullvektor eines Vektorraums ist eindeutig. Gäbe es nämlich zwei verschiedene Nullvektoren   und  , dann gilt sofort

 

und somit Gleichheit der beiden Vektoren.

SkalarmultiplikationBearbeiten

Für alle Skalare   aus dem Skalarkörper gilt

 

und analog dazu für alle Vektoren   des Vektorraums

 ,

was direkt aus den beiden Distributivgesetzen in Vektorräumen durch Wahl von   bzw.   folgt. Zusammen gilt damit

  oder  ,

denn aus   folgt entweder   oder   und dann  .

Spezielle RäumeBearbeiten

In einem Skalarproduktraum, also einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt, ist der Nullvektor orthogonal zu allen Vektoren des Raums, das heißt für alle Vektoren   gilt

 ,

was aus der Linearität bzw. Semilinearität des Skalarprodukts folgt. Insbesondere ist der Nullvektor damit auch zu sich selbst orthogonal. In einem normierten Vektorraum gilt für die Norm des Nullvektors

 

und der Nullvektor ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft, was aus der Definitheit und der absoluten Homogenität der Norm folgt.

In einem halbnormierten Raum kann es mehr als einen Vektor geben, dessen Norm null ist und ein solcher Vektor wird dann manchmal ebenfalls Nullvektor genannt. In einem Minkowski-Raum werden auch lichtartige Vektoren als Nullvektoren bezeichnet. In diesen Fällen entspricht der Begriff des Nullvektors jedoch nicht der obigen Definition.

KreuzproduktBearbeiten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum   ergibt das Kreuzprodukt eines beliebigen Vektors mit dem Nullvektor   wieder den Nullvektor, also

 .

Gleiches gilt für das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst,

 .

Weiterhin gilt die Jacobi-Identität, das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte ergibt ebenfalls den Nullvektor:

 .

VerwendungBearbeiten

LinearkombinationenBearbeiten

Zu einer gegebenen Familie von Vektoren   mit einer Indexmenge   lässt sich der Nullvektor stets als Linearkombination

 

ausdrücken. Dabei sind die Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn in dieser Linearkombination alle Koeffizienten   sein müssen. Der Nullvektor kann daher niemals Teil einer Basis eines Vektorraums sein, denn er ist bereits für sich genommen linear abhängig. Jeder Untervektorraum eines Vektorraums enthält zumindest den Nullvektor. Die Menge  , die nur aus dem Nullvektor besteht, bildet dabei den kleinstmöglichen Untervektorraum eines Vektorraums, den Nullvektorraum; seine Basis ist die leere Menge  , denn die leere Summe von Vektoren ergibt definitionsgemäß den Nullvektor, also

 .

Lineare AbbildungenBearbeiten

Eine lineare Abbildung   zwischen zwei Vektorräumen   und   über dem gleichen Skalarkörper   bildet stets den Nullvektor auf den Nullvektor ab, denn es gilt

 .

Auf den Nullvektor des Zielraums   können jedoch auch weitere Vektoren aus   abgebildet werden. Diese Menge heißt der Kern der linearen Abbildung und sie bildet einen Untervektorraum von  . Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Lineare GleichungenBearbeiten

Eine homogene lineare Gleichung

 

besitzt demnach zumindest den Nullvektor   als Lösung. Sie ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Kern des linearen Operators   nur aus dem Nullvektor besteht. Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Gleichung

 

mit   nie durch den Nullvektor gelöst. Eine inhomogene lineare Gleichung ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die zugehörige homogene Gleichung nur den Nullvektor als Lösung besitzt, was eine Folge der Superpositionseigenschaft ist.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten