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Matrix (Mathematik)

Anordnung von Zahlenwerten oder anderen mathematischen Objekten in Tabellenform
Schema für eine allgemeine -Matrix
Bezeichnungen

In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen). Mit diesen Objekten lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert.

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.

Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester eingeführt.

Eine Anordnung, wie in nebenstehender Abbildung, von Elementen erfolgt in Zeilen und Spalten.

Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Indizes wird auch Hypermatrix genannt.[1]

Begriffe und erste EigenschaftenBearbeiten

NotationBearbeiten

Als Notation hat sich die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen zwei großen öffnenden und schließenden Klammern durchgesetzt. In der Regel verwendet man runde Klammern, es werden aber auch eckige verwendet. Zum Beispiel bezeichnen

  und  

Matrizen mit zwei Zeilen und drei Spalten. Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben (manchmal fett gedruckt oder, handschriftlich, einfach oder doppelt unterstrichen), vorzugsweise  , bezeichnet. Eine Matrix mit   Zeilen und   Spalten:

 .

Elemente der MatrixBearbeiten

Die Elemente der Matrix nennt man auch Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge   in der Regel einem Körper oder einem Ring. Man spricht von einer Matrix über  . Wählt man für   die Menge der reellen Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix, bei komplexen Zahlen von einer komplexen Matrix.

Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, meist ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch   beschrieben. Allgemein bezeichnet   das Element in der  -ten Zeile und der  -ten Spalte. Bei der Indizierung wird dabei stets als erstes der Zeilenindex und als zweites der Spaltenindex des Elements genannt. Merkregel: Zeile zuerst, Spalte später. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, werden die beiden Indizes mit einem Komma abgetrennt. So wird zum Beispiel das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit   bezeichnet.

Einzelne Zeilen und Spalten werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet. Ein Beispiel:

  hier sind   und   die Spalten oder Spaltenvektoren sowie   und   die Zeilen oder Zeilenvektoren.

Bei einzeln stehenden Zeilen- und Spaltenvektoren einer Matrix wird gelegentlich der unveränderliche Index weggelassen. Manchmal werden Spaltenvektoren zur kompakteren Darstellung als transponierte Zeilenvektoren geschrieben, also:

  oder   als   oder  

TypBearbeiten

Der Typ einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten. Eine Matrix mit   Zeilen und   Spalten nennt man eine  -Matrix (sprich: m-mal-n- oder m-Kreuz-n-Matrix). Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix.

Eine Matrix, die aus nur einer Spalte oder nur einer Zeile besteht, wird üblicherweise als Vektor aufgefasst. Einen Vektor mit   Elementen kann man je nach Kontext als einspaltige  -Matrix oder einzeilige  -Matrix darstellen. Neben den Begriffen Spaltenvektor und Zeilenvektor sind hierfür auch die Begriffe Spaltenmatrix und Zeilenmatrix geläufig. Eine  -Matrix ist sowohl Spalten- als auch Zeilenmatrix und wird als Skalar angesehen.

Formale DarstellungBearbeiten

Eine Matrix ist eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

 

die jedem Indexpaar   als Funktionswert den Eintrag   zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar   als Funktionswert der Eintrag   zugeordnet. Der Funktionswert   ist also der Eintrag in der  -ten Zeile und der  -ten Spalte. Die Variablen   und   entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge   aller  -Matrizen über der Menge   wird in üblicher mathematischer Notation auch   geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation   eingebürgert. Manchmal werden auch die Schreibweisen     oder seltener   benutzt.

Addition und MultiplikationBearbeiten

Auf dem Raum der Matrizen werden elementare Rechenoperationen definiert.

MatrizenadditionBearbeiten

Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie vom selben Typ sind, das heißt, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier  -Matrizen ist komponentenweise definiert:

 

Rechenbeispiel:

 

In der linearen Algebra sind die Einträge der Matrizen üblicherweise Elemente eines Körpers, wie z. B. der reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Fall ist die Matrizenaddition assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element. Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Einträge Elemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat.

SkalarmultiplikationBearbeiten

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird:

 

Rechenbeispiel:

 

Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden. Um die Skalarmultiplikation durchführen zu dürfen, müssen der Skalar   (Lambda) und die Einträge der Matrix demselben Ring   entstammen. Die Menge der  -Matrizen ist in diesem Fall ein (Links-) Modul über  

MatrizenmultiplikationBearbeiten

Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Das Produkt einer  -Matrix   und einer  -Matrix   ist eine  -Matrix   deren Einträge berechnet werden, indem die Produktsummenformel, ähnlich dem Skalarprodukt, auf Paare aus einem Zeilenvektor der ersten und einem Spaltenvektor der zweiten Matrix angewandt wird:

 

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h., im Allgemeinen gilt  . Die Matrizenmultiplikation ist allerdings assoziativ, d. h. es gilt stets:

 

Eine Kette von Matrix-Multiplikationen kann daher unterschiedlich geklammert werden. Das Problem, eine Klammerung zu finden, die zu einer Berechnung mit der minimalen Anzahl von elementaren arithmetischen Operationen führt, ist ein Optimierungsproblem. Die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation genügen zudem den beiden Distributivgesetzen:

 

für alle  -Matrizen   und  -Matrizen   sowie

 

für alle  -Matrizen   und  -Matrizen  

Quadratische Matrizen   können mit sich selbst multipliziert werden, analog zur Potenz bei den reellen Zahlen führt man abkürzend die Matrixpotenz   oder   etc. ein. Damit ist es auch sinnvoll, quadratische Matrizen als Elemente in Polynome einzusetzen. Zu weitergehenden Ausführungen hierzu siehe unter Charakteristisches Polynom. Zur einfacheren Berechnung kann hier die jordansche Normalform verwendet werden. Quadratische Matrizen über   oder   kann man darüber hinaus sogar in Potenzreihen einsetzen, vgl. Matrixexponential. Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielen die quadratischen Matrizen über einem Ring  , also  . Diese bilden selbst mit der Matrizenaddition und -multiplikation wiederum einen Ring, der Matrizenring genannt wird.

Weitere RechenoperationenBearbeiten

Transponierte MatrixBearbeiten

 
Animation zur Transponierung der Matrix A

Die Transponierte einer  -Matrix   ist die  -Matrix  , das heißt, zu

 

ist

 

die Transponierte. Man schreibt also die erste Zeile als erste Spalte, die zweite Zeile als zweite Spalte usw. Die Matrix wird an ihrer Hauptdiagonalen   gespiegelt. Es gelten die folgenden Rechenregeln:

 

Bei Matrizen über   ist die adjungierte Matrix genau die transponierte Matrix.

Inverse MatrixBearbeiten

Falls die Determinante einer quadratischen  -Matrix   über einem Körper   nicht gleich null ist, d. h., falls  , so existiert die zur Matrix   inverse Matrix  . Für diese gilt

 ,

wobei   die  -Einheitsmatrix ist. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, bezeichnet man als invertierbare oder reguläre Matrizen. Diese haben vollen Rang. Umgekehrt werden nichtinvertierbare Matrizen als singuläre Matrizen bezeichnet. Eine Verallgemeinerung der Inversen für singuläre Matrizen sind sog. pseudoinverse Matrizen.

Vektor-Vektor-ProdukteBearbeiten

Das Matrixprodukt   zweier  -Vektoren   und   ist nicht definiert, da die Anzahl   der Spalten von   im Allgemeinen ungleich der Anzahl   der Zeilen von   ist. Die beiden Produkte   und   existieren jedoch.

Das erste Produkt   ist eine  -Matrix, die als Zahl interpretiert wird; sie wird das Standardskalarprodukt von   und   genannt und mit   oder   bezeichnet. Geometrisch entspricht dieses Skalarprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem dem Produkt

 

der Beträge der beiden Vektoren und des Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Beispielsweise gilt

 

Das zweite Produkt   ist eine  -Matrix und heißt dyadisches Produkt oder Tensorprodukt von   und   (geschrieben  ). Seine Spalten sind skalare Vielfache von  , seine Zeilen skalare Vielfache von  . Beispielsweise gilt

 

Vektorräume von MatrizenBearbeiten

Die Menge der  -Matrizen über einem Körper   bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen  -Vektorraum. Dieser Vektorraum   hat die Dimension  . Eine Basis von   ist gegeben durch die Menge der Standardmatrizen   mit  ,  . Diese Basis wird manchmal auch als Standardbasis von   bezeichnet.

Die Spur des Matrixprodukts  

 

ist dann im Spezialfall   ein reelles Skalarprodukt. In diesem euklidischen Vektorraum stehen die symmetrischen Matrizen und die schiefsymmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Ist   eine symmetrische und   eine schiefsymmetrische Matrix, so gilt  .

Im Spezialfall   ist die Spur des Matrixproduktes  

 

ein komplexes Skalarprodukt und der Matrizenraum wird zu einem unitären Vektorraum. Dieses Skalarprodukt wird auch Frobenius-Skalarprodukt genannt. Die von dem Frobenius-Skalarprodukt induzierte Norm heißt Frobeniusnorm und mit ihr wird der Matrizenraum zu einem Banachraum.

AnwendungenBearbeiten

Zusammenhang mit linearen AbbildungenBearbeiten

Das Besondere an Matrizen über einem Ring   ist der Zusammenhang zu linearen Abbildungen. Zu jeder Matrix   lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich   (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich   definieren, indem man jeden Spaltenvektor   auf   abbildet. Umgekehrt entspricht jeder linearen Abbildung   auf diese Weise genau eine  -Matrix  ; dabei sind die Spalten von   die Bilder der Standard-Basisvektoren   von   unter  . Diesen Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bezeichnet man auch als (kanonischen) Isomorphismus

 

Er stellt bei vorgegebenem     und   eine Bijektion zwischen der Menge der Matrizen und der Menge der linearen Abbildungen dar. Das Matrixprodukt geht hierbei über in die Komposition (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen. Weil die Klammerung bei der Hintereinanderausführung dreier linearer Abbildungen keine Rolle spielt, gilt dies dann auch für die Matrixmultiplikation, diese ist also assoziativ.

Ist   sogar ein Körper, kann man statt der Spaltenvektorräume beliebige endlichdimensionale  -Vektorräume   und   (der Dimension   bzw.  ) betrachten. (Falls   ein kommutativer Ring mit 1 ist, dann kann man analog freie K-Moduln betrachten.) Diese sind nach Wahl von Basen   von   und   von   zu den Koordinatenräumen   bzw.   isomorph, weil zu einem beliebigen Vektor   eine eindeutige Zerlegung in Basisvektoren

 

existiert und die darin vorkommenden Körperelemente   den Koordinatenvektor

 

bilden. Jedoch hängt der Koordinatenvektor von der verwendeten Basis   ab, die daher auch in der Bezeichnung   vorkommt.

Analog verhält es sich im Vektorraum   Ist eine lineare Abbildung   gegeben, so lassen sich die Bilder der Basisvektoren von   eindeutig in die Basisvektoren von   zerlegen in der Form

 

mit Koordinatenvektor

 

Die Abbildung ist dann vollständig festgelegt durch die sog. Abbildungsmatrix

 

denn für das Bild des o. g. Vektors   gilt

 

also   („Koordinatenvektor = Matrix mal Koordinatenvektor“). (Die Matrix   hängt von den verwendeten Basen   und   ab; bei der Multiplikation wird die Basis  , die links und rechts vom Malpunkt steht, „weggekürzt“, und die „außen“ stehende Basis   bleibt übrig.)

Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen   und   (mit Basen  ,   bzw.  ) entspricht dabei der Matrixmultiplikation, also

 

(auch hier wird die Basis   „weggekürzt“).

Somit ist die Menge der linearen Abbildungen von   nach   wieder isomorph zu   Der Isomorphismus   hängt aber von den gewählten Basen   und   ab und ist daher nicht kanonisch: Bei Wahl einer anderen Basis   für   bzw.   für   wird derselben linearen Abbildung nämlich eine andere Matrix zugeordnet, die aus der alten durch Multiplikation von rechts bzw. links mit einer nur von den beteiligten Basen abhängigen invertierbaren  - bzw.  -Matrix (sog. Basiswechselmatrix) entsteht. Das folgt durch zweimalige Anwendung der Multiplikationsregel aus dem vorigen Absatz, nämlich

 

(„Matrix = Basiswechselmatrix mal Matrix mal Basiswechselmatrix“). Dabei bilden die Identitätsabbildungen   und   jeden Vektor aus   bzw.   auf sich selbst ab.

Bleibt eine Eigenschaft von Matrizen unberührt von solchen Basiswechseln, so ist es sinnvoll, diese Eigenschaft auch basisunabhängig der entsprechenden linearen Abbildung zuzusprechen.

Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretende Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix. Der Rang ist (falls   ein Körper ist) im angeführten Sinne basisunabhängig, und man kann somit vom Rang auch bei linearen Abbildungen sprechen. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, die dem Fall   entsprechen; sie bleibt unverändert, wenn derselbe Basiswechsel im Definitions- und Wertebereich durchgeführt wird, wobei beide Basiswechselmatrizen zueinander invers sind:

 

In diesem Sinne ist also auch die Determinante basisunabhängig.

Umformen von MatrizengleichungenBearbeiten

Speziell in den multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen, Herleitungen usw. im Matrizenkalkül durchgeführt.

Gleichungen werden im Prinzip wie algebraische Gleichungen umgeformt, wobei jedoch die Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation sowie die Existenz von Nullteilern beachtet werden muss.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung

Gesucht ist der Lösungsvektor   eines linearen Gleichungssystems

 

mit   als  -Koeffizientenmatrix. Wenn die inverse Matrix   existiert, kann man mit ihr von links multiplizieren:

 

und man erhält als Lösung

 

Spezielle MatrizenBearbeiten

Eigenschaften von EndomorphismenBearbeiten

Die folgenden Eigenschaften quadratischer Matrizen entsprechen Eigenschaften von Endomorphismen, die durch sie dargestellt werden.

Orthogonale Matrizen
Eine reelle Matrix   ist orthogonal, wenn die zugehörige lineare Abbildung das Standardskalarprodukt erhält, das heißt, wenn
 
gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass   die Gleichung
 
bzw.
 
erfüllt.
Diese Matrizen stellen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen dar.
Unitäre Matrizen
Sie sind das komplexe Gegenstück zu den orthogonalen Matrizen. Eine komplexe Matrix   ist unitär, wenn die zugehörige Transformation die Normierung erhält, das heißt, wenn
 
gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass   die Gleichung
 
erfüllt; dabei bezeichnet   die konjugiert-transponierte Matrix zu  
Fasst man den  -dimensionalen komplexen Vektorraum als  -dimensionalen reellen Vektorraum auf, so entsprechen die unitären Matrizen genau denjenigen orthogonalen Matrizen, die mit der Multiplikation mit   vertauschen.
Projektionsmatrizen
Eine Matrix ist eine Projektionsmatrix, falls
 
gilt, sie also idempotent ist, das heißt, die mehrfache Anwendung einer Projektionsmatrix auf einen Vektor lässt das Resultat unverändert. Eine idempotente Matrix hat keinen vollen Rang, es sei denn, sie ist die Einheitsmatrix. Geometrisch entsprechen Projektionsmatrizen der Parallelprojektion entlang des Nullraumes der Matrix. Steht der Nullraum senkrecht auf dem Bildraum, so erhält man eine Orthogonalprojektion.
Beispiel: Es sei   eine  -Matrix und damit selbst nicht invertierbar. Falls der Rang von   gleich   ist, dann ist   invertierbar und die  -Matrix
 
idempotent. Diese Matrix wird beispielsweise in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet.
Nilpotente Matrizen
Eine Matrix   heißt nilpotent, falls eine Potenz   (und damit auch jede höhere Potenz) die Nullmatrix ergibt.

Eigenschaften von BilinearformenBearbeiten

Im Folgenden sind Eigenschaften von Matrizen aufgelistet, die Eigenschaften der zugehörigen Bilinearform

 

entsprechen. Trotzdem können diese Eigenschaften auch für die dargestellten Endomorphismen eine eigenständige Bedeutung besitzen.

Symmetrische Matrizen
Eine Matrix   heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist:
 
Anschaulich gesprochen sind die Einträge symmetrischer Matrizen symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
Beispiel:
 
Symmetrische Matrizen entsprechen einerseits symmetrischen Bilinearformen:
 
andererseits den selbstadjungierten linearen Abbildungen:
 
Hermitesche Matrizen
Hermitesche Matrizen sind das komplexe Analogon der symmetrischen Matrizen. Sie entsprechen den hermiteschen Sesquilinearformen und den selbstadjungierten Endomorphismen.
Eine Matrix   ist hermitesch oder selbstadjungiert, wenn gilt:
 
Schiefsymmetrische Matrizen
Eine Matrix   heißt schiefsymmetrisch oder auch antisymmetrisch, wenn gilt:
 
Um diese Bedingung zu erfüllen, müssen alle Einträge der Hauptdiagonale den Wert Null haben; die restlichen Werte werden an der Hauptdiagonale gespiegelt und mit   multipliziert.
Beispiel:
 
Schiefsymmetrische Matrizen entsprechen antisymmetrischen Bilinearformen:
 
und antiselbstadjungierten Endomorphismen:
 
Positiv definite Matrizen
Eine reelle Matrix ist positiv definit, wenn die zugehörige Bilinearform positiv definit ist, das heißt, wenn für alle Vektoren   gilt:
 
Positiv definite Matrizen definieren verallgemeinerte Skalarprodukte. Hat die Bilinearform keine negativen Werte, heißt die Matrix positiv semidefinit. Analog kann eine Matrix negativ definit beziehungsweise negativ semidefinit heißen, wenn die obige Bilinearform nur negative beziehungsweise keine positiven Werte hat. Matrizen, die keine dieser Eigenschaften erfüllen, heißen indefinit.

Weitere KonstruktionenBearbeiten

Konjugierte und adjungierte Matrix

Enthält eine Matrix komplexe Zahlen, erhält man die konjugierte Matrix, indem man ihre Komponenten durch die konjugiert komplexen Elemente ersetzt. Die adjungierte Matrix (auch hermitesch konjugierte Matrix) einer Matrix   wird mit   bezeichnet und entspricht der transponierten Matrix, bei der zusätzlich alle Elemente komplex konjugiert werden.

Adjunkte oder komplementäre Matrix

Die komplementäre Matrix   einer quadratischen Matrix   setzt sich aus deren Unterdeterminanten zusammen, wobei eine Unterdeterminante auch Minor genannt wird. Für die Ermittlung der Unterdeterminanten   werden die  -te Zeile und  -te Spalte von   gestrichen. Aus der resultierenden  -Matrix wird dann die Determinante   berechnet. Die komplementäre Matrix hat dann die Einträge   Diese Matrix wird manchmal auch als Matrix der Kofaktoren bezeichnet.

Man verwendet die komplementäre Matrix beispielsweise zur Berechnung der Inversen einer Matrix  , denn nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gilt:
 
Damit ist die Inverse   wenn  
Übergangs- oder stochastische Matrizen

Eine Übergangs- oder stochastische Matrix ist eine Matrix, deren Einträge alle zwischen 0 und 1 liegen und deren Zeilen bzw. Spaltensummen 1 ergeben. Sie dienen in der Stochastik zur Charakterisierung zeitlich diskreter Markow-Ketten mit endlichem Zustandsraum. Ein Spezialfall hiervon sind die doppelt-stochastischen Matrizen.

Unendlichdimensionale RäumeBearbeiten

Auch für unendlichdimensionale Vektorräume (sogar über Schiefkörpern) gilt, dass jede lineare Abbildung   eindeutig durch die Bilder   der Elemente   einer Basis   bestimmt ist und diese beliebig gewählt werden und zu einer linearen Abbildung auf ganz   fortgesetzt werden können. Ist nun   eine Basis von  , so lässt sich   eindeutig als (endliche) Linearkombination von Basisvektoren schreiben, d. h., es existieren eindeutige Koeffizienten   für  , von denen nur endlich viele von null verschieden sind, sodass  . Dementsprechend lässt sich jede lineare Abbildung als möglicherweise unendliche Matrix auffassen, wobei jedoch in jeder Spalte (  „nummeriere“ die Spalten und die Spalte zu   bestehe dann aus den von den Elementen von   nummerierten Koordinaten  ) nur endlich viele Einträge von null verschieden sind, und umgekehrt. Die entsprechend definierte Matrixmultiplikation entspricht wiederum der Komposition linearer Abbildungen.

In der Funktionalanalysis betrachtet man topologische Vektorräume, d. h. Vektorräume, auf denen man von Konvergenz sprechen und dementsprechend auch unendliche Summen bilden kann. Auf solchen können auch Matrizen mit unendlich vielen von null verschiedenen Einträgen in einer Spalte unter Umständen als lineare Abbildungen verstanden werden, wobei auch andere Basis-Begriffe zugrunde liegen.

Einen speziellen Fall bilden Hilberträume. Seien also   Hilberträume und   Orthonormalbasen von   bzw.  . Dann erhält man eine Matrixdarstellung eines linearen Operators   (für lediglich dicht definierte Operatoren funktioniert es ebenso, falls der Definitionsbereich eine Orthonormalbasis besitzt, was im abzählbardimensionalen Fall stets zutrifft), indem man die Matrixelemente   definiert; dabei ist   das Skalarprodukt im betrachteten Hilbertraum (im komplexen Fall semilinear im ersten Argument).

Dieses sogenannte Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt lässt sich im unendlichdimensionalen Fall nur noch für eine bestimmte Teilklasse von linearen Operatoren, die sogenannten Hilbert-Schmidt-Operatoren, definieren, bei denen die Reihe, über die dieses Skalarprodukt definiert ist, stets konvergiert.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Matrix – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Commons: Matrix – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Matrizen-Rechner – Rechner, der Rechenoperationen für Matrizen mit konkreten Zahlenwerten, aber auch mit Variablen durchführt.
  • The Matrix Cookbook – Eine englischsprachige, umfangreiche Matrix-Formelsammlung (PDF; 522 kB).

BelegeBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Hypermatrix. In: MathWorld (englisch).