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Die Pseudoinverse einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra, der auch in der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle spielt. Sie ist eine Verallgemeinerung der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen, weshalb sie häufig auch als verallgemeinerte Inverse bezeichnet wird. Der häufigste Anwendungsfall für Pseudoinversen ist die Lösung linearer Gleichungssysteme und linearer Ausgleichsprobleme.

Eine erste Form wurde von E. H. Moore (1920)[1] und Roger Penrose (1955)[2] beschrieben. Die nach ihnen benannte Moore-Penrose-Inverse ist nicht die einzige Möglichkeit, eine Pseudoinverse zu definieren, häufig wird aber Pseudoinverse synonym mit Moore-Penrose-Inverse benutzt (wie z. B. in [3]). Die Moore-Penrose-Inverse ist für alle Matrizen mit Einträgen aus den reellen oder komplexen Zahlen definiert und eindeutig. Mit ihr kann man bei linearen Ausgleichsproblemen die optimale Lösung mit kleinster euklidischer Norm berechnen.

Eine numerisch robuste Methode zur Bestimmung der Moore-Penrose-Inversen baut auf der Singulärwertzerlegung auf.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine PseudoinversenBearbeiten

Die Verallgemeinerung der Bildung der Inversen einer Matrix auf singuläre Matrizen wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt und orientiert sich oftmals an der zu lösenden Aufgabenstellung (einige Beispiele solcher Verallgemeinerungen sind weiter unten aufgeführt).

Nach Adi Ben-Israel[4] sollte eine Definition von verallgemeinerten Inversen zumindest die folgenden drei Forderungen erfüllen:

  1. Für reguläre Matrizen sollte sich eindeutig die gewöhnliche Inverse ergeben.
  2. Im verallgemeinerten Sinne sollten auch singuläre Matrizen invertierbar sein (wenigstens einige, nicht notwendigerweise alle).
  3. Für singuläre Matrizen sollten die verallgemeinerten Inversen ähnliche Eigenschaften haben wie gewöhnliche Inverse regulärer Matrizen.

Als Ausgangspunkt für die Konstruktion von verschiedenen Pseudoinversen schwächt Adi Ben-Israel[4] dann die vier definierenden Aussagen für die im nächsten Abschnitt beschriebene Moore-Penrose-Inverse in verschiedene Richtungen ab und ergänzt sie durch andere Bedingungen. Die Mindestforderung an eine Pseudoinverse ist die folgende: Eine Matrix   ist genau dann Pseudoinverse von  , wenn gilt:

 

Dagegen bezeichnet Max Koecher[5] eine Matrix   genau dann als Pseudoinverse von  , wenn für sie die folgenden beiden Aussagen

  und
 

zutreffen.

Die erste Bedingung sichert dabei, dass die Spalten   von   durch   auf Lösungen   des Gleichungssystems   abgebildet werden. Durch die zweite Aussage können keine vom Nullvektor verschiedene Spalten von   im Kern von   liegen.

Die Moore-Penrose-InverseBearbeiten

Die Moore-Penrose-Inverse (auch einfach Pseudoinverse) einer Matrix   ist die eindeutig bestimmte Matrix  , welche die folgenden Eigenschaften („Moore-Penrose-Bedingungen“) erfüllt:

  •         (  ist eine verallgemeinerte Inverse.)
  •         (  ist eine schwache Inverse der multiplikativen Halbgruppe.)
  •         (Die Matrix   ist hermitesch.)
  •         (Die Matrix   ist ebenfalls hermitesch.)

Dabei bezeichnet   die adjungierte Matrix zu einer Matrix  . Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen ist diese identisch mit der zu   transponierten Matrix  .

Die Moore-Penrose-Inverse kann auch durch einen Grenzwert definiert werden:

 

Mit   wird hier die Einheitsmatrix bezeichnet. Dieser Grenzwert existiert auch, wenn   und   nicht existieren.

RechenregelnBearbeiten

 
 
 
  für  

SpezialfälleBearbeiten

Sind die Spalten der Matrix   linear unabhängig, dann ist   invertierbar. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung[4]

 

Nimmt man die erste Grenzwertdefinition für die Moore-Penrose-Inverse, so verschwindet der Summand  . Daraus folgt, dass   eine Linksinverse zu   ist.

 

Sind die Zeilen der Matrix   linear unabhängig, dann ist   invertierbar. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung

 

Nimmt man die zweite Grenzwertdefinition für die Moore-Penrose-Inverse, so verschwindet der Summand  . Daraus folgt, dass   eine Rechtsinverse zu   ist.

 

Sind sowohl Spalten als auch die Zeilen einer Matrix unabhängig, dann ist die Matrix invertierbar, und die Pseudoinverse stimmt mit der Inversen überein.

Ist das Produkt   zweier Matrizen definiert und eine der beiden eine unitäre Matrix, dann gilt

 

Man kann die Pseudoinverse auch für Skalare und Vektoren definieren, indem man diese als Matrizen betrachtet. Bei Skalaren ist die Pseudoinverse von null wieder null und für alle anderen Werte   ist sie  . Für Vektoren gilt

 

Diese Behauptungen lassen sich überprüfen, indem man die Kriterien für die Moore-Penrose-Inverse nachprüft.

Ist die Matrix   hermitesch (oder symmetrisch im reellen Fall), dann ist   ebenfalls hermitesch (symmetrisch). Aus dem Spektralsatz folgt in diesem Fall die Zerlegung

 

und damit

 ,

wobei die Pseudoinverse   der Diagonalmatrix   durch

 

für alle Diagonaleinträge gegeben ist.

BerechnungBearbeiten

  • Ist   der Rang der  -Matrix  , dann kann   in das Produkt   einer  -Matrix   und einer  -Matrix   zerlegt werden. Es gilt
 
Hat   vollen Zeilenrang, das heißt, es gilt  , dann kann für   die Einheitsmatrix gewählt werden und obige Formel reduziert sich zu
 
In ähnlicher Weise gilt für eine Matrix   mit vollem Spaltenrang, das heißt, es gilt  , die Gleichung
 
  • Mit der Singulärwertzerlegung existiert ein anderes Verfahren zur Berechnung der Pseudoinversen. Ist   die Singulärwertzerlegung von  , dann gilt
 
Bei einer Diagonalmatrix wie   entsteht die Pseudoinverse, indem man die Matrix transponiert und die von null verschiedenen Elemente invertiert, also   bildet mit
 
  • Mit Hilfe der Ränderung von Matrizen kann die Pseudoinverse implizit dargestellt oder auch berechnet werden.[6]
  • Der Algorithmus von Greville ist eine endliche iterative Methode zur spaltenweisen Berechnung der Moore-Penrose-Inversen.[7]

Das Verfahren, bei dem man die Matrix   benötigt, wird zwar bei der numerischen Berechnung der Lösung überbestimmter Gleichungssysteme der Bequemlichkeit halber öfter benutzt, ist jedoch numerisch instabil, da die Kondition der Matrix quadriert wird. Als stabile und effiziente numerische Methode gilt die Verwendung der QR-Zerlegung. Das auf der Singulärwertzerlegung aufbauende Verfahren ist das aufwendigste, aber auch das numerisch gutartigste. Das auf der Ränderung beruhende Verfahren bietet einen Kompromiss zwischen Aufwand und numerischer Stabilität.

Einen Überblick über numerischen Aufwand und Stabilität der Verfahren gibt auch [6].

AnwendungenBearbeiten

Ist das Gleichungssystem   nicht lösbar, so lässt sich mit der Pseudoinversen die Lösung nach der Methode der kleinsten Quadrate, also die mit kleinster euklidischer Norm   als   berechnen.

Gibt es für das Gleichungssystem   unendlich viele Lösungen, so kann man diese über

 

bestimmen. Dabei ist   diejenige Lösung des Gleichungssystems, die von   den kleinsten Abstand bezüglich der euklidischen Norm hat.

Ausgewählte weitere Versionen von verallgemeinerten InversenBearbeiten

Drazin-InverseBearbeiten

Sei   eine Matrix mit Index   (der Index von   ist die minimale ganze Zahl   für die   und   den gleichen Kern haben). Dann ist die Drazin-Inverse diejenige eindeutig definierte  -Matrix  , die den Bedingungen

  •  
  •  
  •  

genügt. Sie wurde von Michael Drazin eingeführt.

BerechnungBearbeiten

Zur Berechnung kann man die Zerlegung

 

der Matrix   in Jordan-Normalform nutzen, wobei   der reguläre Teil der Jordan-Form sei und   nilpotent. Die Drazin-Inverse ergibt sich dann zu

 .

Die Drazin-Inverse einer Matrix mit Index   (für die also   gleich der Nullmatrix ist) bezeichnet man auch als Gruppen-Inverse. Die Gruppen-Inverse ist eine Pseudoinverse nach der Definition von Koecher.[5]

AnwendungenBearbeiten

1. Eine wichtige Anwendung für die Drazin-Inverse ist die analytische Darstellung der Lösung zeitinvarianter linearer Deskriptorsysteme. Als Beispiel diene die Differenzengleichung

 

eines zeitdiskreten Deskriptorsystems mit der reellen  -Matrix  . Die Lösung   der Differenzengleichung erfüllt die Gleichungen   mit  . Anfangswerte   sind also nur dann konsistent, wenn sie in allen Bildern der Matrizen   liegen (sonst bricht die Lösung nach endlich vielen Schritten ab). Die Lösung der Differenzengleichung ist dann  .

2. Für reelle oder komplexe  -Matrizen   mit Index   gilt die Gleichung

 

Damit lässt sich die Sprungantwort eines linearen zeitinvarianten dynamischen Systems

 

mit Eingangssignal

 

Zustandsvektor   (  Nullvektor), Systemmatrix   und Ein- beziehungsweise Ausgabevektoren   in der Form

 

darstellen.

Restringierte verallgemeinerte Inversen – die Bott-Duffin-InverseBearbeiten

Bei manchen praktischen Aufgabenstellungen ist die Lösung   eines linearen Gleichungssystems

 

nur dann zulässig, wenn sie innerhalb eines gewissen linearen Teilraumes   von   liegt. Man sagt auch, dass das Problem durch ein restringiertes lineares Gleichungssystem beschrieben wird (englisch constrained linear equation).

Im Folgenden werde der orthogonale Projektor auf   mit   bezeichnet. Das restringierte lineare Gleichungssystem

 

ist genau dann lösbar, wenn das für das unrestringierte Gleichungssystem

 

zutrifft. Ist der Unterraum   ein echter Teilraum von  , so ist die Systemmatrix des unrestringierten Problems   auch dann singulär, wenn sich die Systemmatrix   des restringierten Problems invertieren lässt (in diesem Fall gilt  ). Das erklärt, dass für die Lösung restringierter Probleme auch Pseudoinverse herangezogen werden. Man bezeichnet eine Pseudoinverse von   dann auch als  -restringierte Pseudoinverse von  . Diese Definition scheint zunächst der Forderung 1 aus Abschnitt Allgemeine Pseudoinversen zu widersprechen. Dieser Widerspruch relativiert sich jedoch wieder, wenn man bedenkt, dass die  -restringierte Pseudoinverse für bijektives   auf dem interessierenden Raum   injektiv ist und dass der Bildraum die gleiche Dimension wie   hat.

Ein Beispiel für eine Pseudoinverse mit der sich die Lösung eines restringierten Problems ermitteln lässt, ist die Bott-Duffin-Inverse von   bzgl.  , die durch die Gleichung

 

definiert ist, falls die auf der rechten Seite auftretende gewöhnliche Inverse existiert.

AnwendungenBearbeiten

Die Bott-Duffin-Inverse kann zur Lösung der Gleichungen eines affin-linearen elektrischen Netzwerkes benutzt werden, wenn sich die Relation zwischen Zweigspannungsbelegungen    und Zweigstrombelegungen    in der Form

 

darstellen lassen, wobei   der Raum aller die kirchhoffschen Knotengleichungen erfüllenden Strombelegungen   ist und   die Spaltenmatrix der in die Zweige eingespeisten unabhängigen Quellspannungen sein soll. An dieser Stelle fließt der graphentheoretische Satz von Tellegen ein, der besagt, dass die Räume der Zweigspannungsbelegungen und Zweigstrombelegungen, die die kirchhoffschen Maschen- beziehungsweise Knotengleichungen erfüllen, orthogonal komplementär zueinander sind.

Eine Eigenschaft der Bott-Duffin-Inversen ist, dass mit ihrer Hilfe die zu einer vorgegebenen Quellspannungsbelegung   zugehörigen Zweigströme

 

und Zweigspannungen

 

berechnet werden können (  steht für die Einheitsmatrix).

LiteraturBearbeiten

  • W. Mackens, H. Voß: Mathematik I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
  • A.Kielbasinski, H.Schwetlick: Numerische lineare Algebra, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. E. H. Moore: On the reciprocal of the general algebraic matrix. In: Bulletin of the American Mathematical Society 26, S. 394–395, 1920
  2. Roger Penrose: A generalized inverse for matrices. In: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, S. 406–413, 1955
  3. J. Stoer: Numerische Mathematik 1. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-66154-9
  4. a b c Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville: Generalized Inverses. Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-00293-6
  5. a b Max Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer-Verlag Berlin, 1997
  6. a b Nobuo Shinozaki, Masaaki Sibuya, and Kunio Tanabe: Numerical algorithms for the Moore-Penrose inverse of a matrix: Direct methods. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Springer Netherlands, Vol. 24, No. 1, Dec. 1972, pp. 193-203.
  7. T. N. E. Greville: Some applications of the pseudo inverse of a matrix. SIAM Rev., No. 2, 1960, pp. 15-22.