Adjungierte Matrix

bijektive selbstinverse Abbildung einer Matrix

Die adjungierte Matrix (nicht zu verwechseln mit der Adjunkten), hermitesch transponierte Matrix oder transponiert-konjugierte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Transponierung und Konjugation einer gegebenen komplexen Matrix entsteht. Anschaulich ergibt sich die adjungierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale und anschließende komplexe Konjugation aller Matrixeinträge. Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen entspricht sie der transponierten Matrix. Die Umwandlung einer Matrix in ihre adjungierte Matrix wird Adjungierung der Matrix genannt.

Die Adjungierungsabbildung, die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet, ist stets bijektiv, linear und selbstinvers. Bezüglich der Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar, bezüglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen Antiisomorphismus, das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Adjungierung um. Viele Kenngrößen adjungierter Matrizen, wie Spur, Determinante und Eigenwerte, sind gerade die komplex Konjugierten der jeweiligen Kenngrößen der Ausgangsmatrizen.

In der linearen Algebra wird die adjungierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen eingesetzt. Die adjungierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen komplexen Skalarprodukträumen bezüglich der jeweiligen Orthonormalbasen.

DefinitionBearbeiten

Ist   eine komplexe Matrix,

 

dann ist die zugehörige adjungierte Matrix   definiert als

 ,

wobei   die transponierte Matrix und   die konjugierte Matrix von   sind. Die adjungierte Matrix   ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix   vertauscht werden und alle Einträge komplex konjugiert werden. Die Reihenfolge, in der transponiert und konjugiert wird, ist dabei unerheblich.

NotationBearbeiten

Das hochgestellte   in der Notation   steht für den Nachnamen des französischen Mathematikers Charles Hermite. Hermite beschäftigte sich im Jahr 1855 mit Matrizen, die gleich ihrer Adjungierten sind, sogenannten hermiteschen Matrizen, und zeigte, dass solche Matrizen viele Eigenschaften mit reellen symmetrischen Matrizen gemeinsam haben.[1]

Andere Schreibweisen für die adjungierte Matrix sind  ,  ,   und  . Die Notation   ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die Adjunkte verwendet wird. Mit   wird gelegentlich auch die konjugierte Matrix bezeichnet und   steht auch für die Pseudoinverse. Die Notation   wird vor allem in der Physik, insbesondere in der Quantenmechanik, verwendet.

BeispieleBearbeiten

Durch Adjungierung einer  -Matrix (eines Zeilenvektors) entsteht eine  -Matrix (ein Spaltenvektor) und umgekehrt, jeweils mit komplex konjugierten Einträgen:

 

Durch Adjungierung einer  -Matrix entsteht eine  -Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix jeweils nach komplexer Konjugation entspricht:

 

Für eine komplexe Matrix mit ausschließlich reellen Einträgen ist die Adjungierte gerade die Transponierte.

EigenschaftenBearbeiten

Die nachfolgenden Eigenschaften sind direkte Folgerungen aus den entsprechenden Eigenschaften transponierter und konjugierter Matrizen.

SummeBearbeiten

Für die Adjungierte der Summe zweier Matrizen   gleicher Größe gilt

 .

Allgemein ergibt sich die Summe von   Matrizen   gleicher Größe zu

 .

Die Adjungierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Adjungierten.

SkalarmultiplikationBearbeiten

Für die Adjungierte des Produkts einer Matrix   mit einem Skalar   gilt

 .

Die Adjungierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des konjugierten Skalars mit der adjungierten Matrix.

Zweifache AdjungierungBearbeiten

Für die Adjungierte der Adjungierten einer Matrix   gilt

 .

Durch zweifache Adjungierung ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

ProduktBearbeiten

Für die Adjungierte des Produkts einer Matrix   mit einer Matrix   gilt

 .

Allgemein ergibt sich für das Produkt von   Matrizen   passender Größe

 .

Die Adjungierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Adjungierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

InverseBearbeiten

Die Adjungierte einer regulären Matrix   ist ebenfalls stets regulär. Für die Adjungierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei

 .

Die Adjungierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der adjungierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit   bezeichnet.[2]

Exponential und LogarithmusBearbeiten

Für das Matrixexponential der Adjungierten einer quadratischen Matrix   gilt

 .

Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus der Adjungierten einer regulären komplexen Matrix

 .

AdjungierungsabbildungBearbeiten

Die Abbildung

 ,

die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet, besitzt aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten die folgenden Eigenschaften:

BlockmatrizenBearbeiten

Die Adjungierte einer Blockmatrix mit   Zeilen- und   Spaltenpartitionen ist durch

 

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Adjungierung jedes Blocks.

KenngrößenBearbeiten

RangBearbeiten

Für eine Matrix   ist der Rang der adjungierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix, das heißt

 .

Das Bild der Abbildung   wird dabei von den Spaltenvektoren von   aufgespannt, während das Bild der Abbildung   von den Zeilenvektoren von   aufgespannt wird. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen stets überein.

SpurBearbeiten

Für eine quadratische Matrix   ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Spur der Ausgangsmatrix, das heißt

 ,

denn die Diagonalelemente der adjungierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein.

DeterminanteBearbeiten

Für eine quadratische Matrix   ist die Determinante der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Determinante der Ausgangsmatrix, das heißt

 .

Dies folgt aus der Leibniz-Formel für Determinanten über

 ,

wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe   läuft und   das Vorzeichen der Permutation   bezeichnet.

SpektrumBearbeiten

Für eine quadratische Matrix   stimmt aufgrund der vorstehenden Determinantenformel auch das charakteristische Polynom der adjungierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein, denn

 .

Die Eigenwerte von   sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte von  .

NormenBearbeiten

Die euklidische Norm eines komplexen Vektors   ist durch

 

gegeben. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Adjungierten einer Matrix   gilt

    und    .

Die Zeilensummen- und die Spaltensummennorm der Adjungierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung:

    und    .

SkalarprodukteBearbeiten

Das Standardskalarprodukt   zweier komplexer Vektoren   ist durch

 

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine Matrix   und ihre Adjungierte die Verschiebungseigenschaft

 

für alle Vektoren   und   auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im   und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im  . Für das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen   gilt

 ,

da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind.

VerwendungBearbeiten

Spezielle MatrizenBearbeiten

Die adjungierte Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei folgenden Definitionen verwendet:

  • Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer Adjungierten ist, das heißt  . Solche Matrizen werden auch als selbstadjungiert bezeichnet.
  • Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer negativen Adjungierten ist, das heißt  .
  • Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, das heißt  .
  • Eine (komplexe) normale Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die mit ihrer Adjungierten kommutiert, das heißt  .
  • Für eine beliebige komplexe Matrix sind die beiden Gram-Matrizen   und   stets hermitesch und positiv semidefinit.
  • Eine komplexe Matrix besitzt genau dann ausschließlich reelle Einträge, wenn ihre Adjungierte gleich ihrer Transponierten ist, das heißt wenn   gilt.

MatrixzerlegungenBearbeiten

Die adjungierte Matrix wird auch bei der Schur-Zerlegung einer quadratischen Matrix  

 

in eine unitäre Matrix  , eine obere Dreiecksmatrix   und die Adjungierte von   sowie bei der Singulärwertzerlegung einer Matrix  

 

in eine unitäre Matrix  , eine reelle Diagonalmatrix   und die Adjungierte einer unitären Matrix   verwendet.

Adjungierte AbbildungenBearbeiten

Sind   und   endlichdimensionale komplexe Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung   zugehörige adjungierte Abbildung   durch die Beziehung

 

für alle   und   charakterisiert. Ist weiter   eine Orthonormalbasis von  ,   eine Orthonormalbasis von   und   die Abbildungsmatrix von   bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix   von   bezüglich dieser Basen durch

 

gegeben. Die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung ist also gerade die Adjungierte der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung. In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Charles Hermite: Remarque sur un théorème de M. Cauchy. In: Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Nr. 41. Paris 1855, S. 181–183.
  2. G. W. Stewart: Matrix Algorithms. Volume 1: Basic Decompositions. SIAM, 1998, S. 38.