Singulärwertzerlegung

Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen

Eine Singulärwertzerlegung (Abk.: SWZ oder SVD für Singular Value Decomposition) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix. Singulärwertzerlegungen existieren für jede Matrix – auch für nichtquadratische Matrizen.

Singulärwertzerlegung am Beispiel einer zweidimensionalen, reellen Scherung : Diese Transformation verzerrt den blauen Einheitskreis oben links zur Ellipse rechts oben im Bild. kann zerlegt werden in zwei Drehungen und sowie eine Dehnung/Stauchung entlang der Koordinatenachsen. Die Singulärwerte und sind die Längen der großen bzw. kleinen Halbachse der Ellipse. Die genauen Werte für dieses Beispiel finden sich in der Bildbeschreibung.

DefinitionBearbeiten

Als Singulärwertzerlegung einer komplexen  -Matrix   mit Rang   bezeichnet man ein Produkt der Gestalt

 

wobei

  •   eine unitäre  -Matrix ist,
  •   die Adjungierte einer unitären  -Matrix   und
  •   eine reelle  -Matrix der Gestalt
 
mit   ist.

Die positiven Diagonaleinträge   von   heißen Singulärwerte von  .[1] Die Singulärwerte und damit auch die Matrix   sind durch   eindeutig bestimmt.
Die Spaltenvektoren   von   heißen Links-Singulärvektoren, die Spaltenvektoren   von   heißen Rechts-Singulärvektoren (zum Index  ) der Matrix  . Weder   noch   sind eindeutig bestimmt.

EigenschaftenBearbeiten

Jede Matrix besitzt mindestens eine Singulärwertzerlegung. Bei einer reellen Matrix können die Matrizen   und   der Zerlegung reell gewählt werden.

Wegen

 

ist   ähnlich zu  . Damit sind die Singulärwerte der Matrix   gleich den Quadratwurzeln aus den positiven Eigenwerten von  . Daher ist die Spektralnorm von   gleich dem größten Singulärwert  ,  . Weiterhin ist die Frobeniusnorm die euklidische Norm des Vektors der Singulärwerte,  .

Einsetzen und Nachrechnen zeigt, dass sich die Pseudoinverse (bei Invertierbarkeit die Inverse) zu   aus

 

mit

 

ergibt. Somit sind die Singulärwerte der Inversen zu   genau  , und die auf die Spektralnorm bezogene Konditionszahl von   ergibt sich zu  .

Da unitäre Transformationen den Betrag der Determinante nicht ändern, gilt

 

falls   eine quadratische Matrix mit   ist.

Es gilt

 

und

 

d. h., die Paare aus Singulärwert und Singulärvektoren kennzeichnen Längenänderung und Richtung im Bildraum durch die lineare Transformation   bzw.  , jeweils auf den Vektoren eines Orthonormalsystems im Urbildraum.

Ökonomische Variante der SingulärwertzerlegungBearbeiten

Sei

 

die Singulärwertzerlegung einer  -Matrix  .

Im Falle   gibt es eine „ökonomische Variante“ der Singulärwertzerlegung der Gestalt

 .

Hierbei ist   diejenige  -Matrix, deren Spalten aus den ersten   Spalten von   bestehen, und   besteht aus den ersten   Spalten von  .

Analog ist die ökonomische Variante im Falle   wie folgt gegeben:

 

wobei   die ersten   Spalten von   enthält und   die ersten   Zeilen von  .

Viele Programmierbibliotheken für lineare Algebra können nur letztere Variante berechnen; für  -Matrizen mit   kann man die Singulärwertzerlegung (in ersterer Variante) dann durch Transposition bzw. Adjunktion erreichen:

 .

Numerische Bestimmung der SingulärwertzerlegungBearbeiten

Da die Singulärwerte mit den Eigenwerten der Matrix   zusammenhängen, wäre ein naheliegender Algorithmus zur numerischen Bestimmung einer Singulärwertzerlegung der Matrix die numerische Lösung des symmetrischen Eigenwertproblems zu  . Allerdings ist ein solcher Algorithmus numerisch instabil, da durch das Produkt die Konditionszahl quadriert wird, und zudem aufgrund der benötigten Matrizenprodukte auch sehr aufwendig.

In den 1960er Jahren entwickelte vor allem Gene Golub stabile iterative Algorithmen zur Berechnung einer Singulärwertzerlegung, die direkt die Matrix   transformieren, womit die Zerlegung praktisch nutzbar wurde. Diese gehen von der symmetrischen bzw. selbstadjungierten Blockmatrix

 

aus, deren Eigenwerte die Singulärwerte und deren Negative sowie null sind. Das ursprüngliche Verfahren wurde von ihm 1965 mit William Kahan und ein iteratives 1970 mit Christian Reinsch veröffentlicht. Die Verfahren formen die Matrix zunächst in eine günstigere Gestalt um: Mit Hilfe von orthogonalen Transformationen – etwa durch Householdertransformationen – wird die Matrix auf Bidiagonalform gebracht. Nach diesem Zwischenschritt erlaubt eine modifizierte Form des QR-Algorithmus eine effiziente numerische Bestimmung der Singulärwerte. Der Aufwand liegt bei ca.   arithmetischen Operationen.

AnwendungBearbeiten

Die Singulärwertzerlegung wird insbesondere in der numerischen Mathematik verwendet. Damit lassen sich beispielsweise fast singuläre lineare Gleichungssysteme im Rahmen rechentechnischer Genauigkeiten passabel lösen.

Die Singulärwertzerlegung ist die wichtigste numerische Methode in der geophysikalischen Inversion, bei der aus an der Erdoberfläche beobachteten geophysikalischen Signalen aus dem Erdinneren die Struktur des letzteren bestimmt werden kann. Besondere Anwendungen sind hier die seismische Tomographie und das Umkehrproblem der Potentialtheorie.

In der Statistik ist die Singulärwertzerlegung der rechnerische Kern der Hauptkomponentenanalyse, dort auch Karhunen-Loève-Transformation genannt.

Einige moderne Bildkompressionsverfahren beruhen auf einem Algorithmus, der das Bild (= Matrix aus Farbwerten) in eine Singulärwertzerlegung überführt, anschließend nur die stark von null verschiedenen Elemente der Matrix   berücksichtigt und dann die zur Rückgewinnung der Matrix erforderlichen Vektoren sowie die verbliebenen Diagonalelemente speichert. Besonders effektiv ist diese Kompression bei bestimmten rechteckigen Mustern und natürlich desto effektiver, je größer (und je quadratähnlicher) das Bild ist. Dies ist eine mögliche Anwendung von Modellreduktion. Das Weglassen von kleinen Singulärwerten ist ein verlustbehaftetes Modellreduktionsverfahren.

In der Teilchenphysik benutzt man die Singulärwertzerlegung, um Massenmatrizen von Dirac-Teilchen zu diagonalisieren. Die Singulärwerte geben die Massen der Teilchen in ihren Masseneigenzuständen an. Aus den Transformationsmatrizen   und   konstruiert man Mischungsmatrizen wie die CKM-Matrix, die ausdrücken, dass die Masseneigenzustände von Teilchen aus einer Mischung von Flavour­eigenzuständen bestehen können.

Die Singulärwertzerlegung ist der Kern der Latent Semantic Analysis, eines Verfahrens des Information Retrieval, das hilft, in großen Textkollektionen latente Konzepte aufzudecken, anhand derer dann z. B. unterschiedlich bezeichnete Informationen zum gleichen Thema gefunden werden können.

In der Regelungstheorie ist Singulärwertzerlegung eine der Grundlagen für die Entwicklung von robusten Reglern.

LiteraturBearbeiten

FußnotenBearbeiten

  1. Der größte und kleinste Singulärwert einer quadratischen Matrix wurde Mitte des 20. Jahrhunderts auch als „obere Grenze“ bzw. „untere Grenze“ der Matrix bezeichnet, siehe Grenze (obere u. untere) einer quadratischen Matrix. In: J. Naas, H. L. Schmid: Mathematisches Wörterbuch. B. G. Teubner, Stuttgart 1979, ISBN 3-519-02400-4.

WeblinksBearbeiten