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Spur (Mathematik)

Summe der Hauptdiagonalelemente

Die Spur (Spurfunktion, Spurabbildung) ist ein Konzept in den mathematischen Teilgebieten der Linearen Algebra sowie der Funktionalanalysis und wird auch in der Theorie der Körper und Körpererweiterungen verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Die Spur in der linearen AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

In der linearen Algebra bezeichnet man als die Spur einer quadratischen  -Matrix   über einem Körper   die Summe der Hauptdiagonalelemente dieser Matrix. Für die Matrix

 

ist also

 

Gilt  , so bezeichnet man die Matrix   als spurfrei.

Statt   sind auch die Schreibweisen  ,  ,   oder   oder vom englischen Begriff trace abgeleitet auch  ,  ,   oder   gebräuchlich.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Spur einer  -Matrix   ist gleich der ihrer transponierten Matrix, das heißt es gilt
 .
  • Die Spur ist eine lineare Abbildung, das heißt, für  -Matrizen   und   sowie   gilt
 .
  • Unter der Spur dürfen Matrizen   und   vertauscht werden, das heißt
 .
Daraus folgt sofort im Fall  , dass die Spur des Kommutators verschwindet, das heißt  .
  • Aus der letzten Eigenschaft folgt die Invarianz der Spur unter zyklischen Vertauschungen, also für  -Matrizen  ,   und  
 .
  • Weiter folgt hieraus, dass zwei zueinander ähnliche Matrizen die gleiche Spur haben. Für eine  -Matrix   und eine invertierbare  -Matrix   gilt
 .
Die Spur ist somit invariant unter Basistransformationen.
  • Sind   und    -Matrizen, wobei   positiv definit und   nicht negativ ist, so gilt
 .
 .
  • Die Spur einer reellen oder komplexen idempotenten Matrix   ist gleich ihrem Rang, das heißt, es gilt
 
(Für Matrizen mit Einträgen aus einem anderen Körper gilt diese Identität nur modulo der Charakteristik des Körpers.)
  • Für alle reellen oder komplexen  -Matrizen   gilt
 ,
wobei   das Matrixexponential von   bezeichnet.
  • Umgekehrt gilt für jede diagonalisierbare reelle Matrix  
 .
(Die Identität beruht darauf, dass man Funktionen diagonalisierbarer Matrizen – hier den natürlichen Logarithmus – über die Eigenwerte definieren kann.)
  • Mittels   lässt sich das Frobenius-Skalarprodukt auf den (reellen oder komplexen)  -Matrizen definieren, so dass wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt
 .

Spur eines EndomorphismusBearbeiten

Ist   ein endlichdimensionaler Vektorraum und   eine lineare Abbildung, also ein Endomorphismus von  , so definiert man die Spur von   als die Spur einer Darstellungsmatrix von   bezüglich einer beliebigen Basis von  . Nach den obengenannten Eigenschaften ist die Spur unabhängig von der Wahl dieser Basis.

Koordinatenfreie Definition der SpurBearbeiten

Ist   ein endlichdimensionaler  -Vektorraum, so kann man den Raum der Endomorphismen auf   mit   identifizieren via  . Weiter ist die natürliche Paarung eine kanonische bilineare Abbildung  , die aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts eine lineare Abbildung   induziert. Man sieht leicht ein, dass diese unter der obigen Identifikation   gerade die Spur eines Endomorphismus ist.

Die Spur in der FunktionalanalysisBearbeiten

SpurklasseoperatorBearbeiten

Das Konzept der Spur in der linearen Algebra kann auch auf unendlichdimensionale Räume ausgedehnt werden. Ist   ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis  , dann definiert man für einen Operator   die Spur mittels

 

falls die Summe existiert. Die Endlichkeit dieser Summe ist abhängig von der Wahl der Orthonormalbasis. Operatoren, für die dies immer der Fall ist (diese sind immer kompakt), also deren Spur über alle Orthonormalbasen endlich ist, werden Spurklasseoperatoren genannt. Bei Spurklassenoperatoren ist die Summe unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis, und somit ist die Spur für diese wohldefiniert.[1][2] Viele Eigenschaften der Spur aus der linearen Algebra übertragen sich unmittelbar auf Spurklasseoperatoren.

Anwendung in der QuantenmechanikBearbeiten

In der Quantenmechanik beziehungsweise der Quantenstatistik verallgemeinert man den Begriff der Spur so, dass auch Operatoren erfasst werden, die keine Spurklasseoperatoren sind. Und zwar brauchen diese Operatoren, wie zum Beispiel der grundlegende Hamiltonoperator (Energie-Operator)   des Systems, nur selbstadjungiert zu sein. Sie besitzen dann eine Spektraldarstellung  , wobei   das Spektrum von   ist, während λ eine Zahl der reellen Achse ist und die Integrale   Projektionsoperatoren auf die zu λ gehörigen Eigenfunktionen (Punktspektrum!) bzw. Eigenpakete (kontinuierliches Spektrum) sind. Es gilt dann, wenn man es zum Beispiel mit einer Abbildung von Operatoren zu tun hat, etwa mit der Exponentiation eines Operators,  

 

Dabei ist   ein zu den oben definierten Projektionsoperatoren passendes Maß, z. B. im Falle des Punktspektrums das Diracmaß,   wobei   der betrachtete Eigenwert ist, und   die bei   zentrierte Delta-Distribution. Der Parameter   hat in konkreten Fällen die Bedeutung der Kelvin-Temperatur des Systems, und es wurde die Regel benutzt, dass alle Funktionen eines Operators,  , dieselben Eigenvektoren besitzen wie schon der Operator   selbst, während die Eigenwerte sich ändern,  

Auch wenn das Integral für   divergieren würde, ist die Anwendung der Formel u. U. sinnvoll, weil die Spurbildung in der Quantenstatistik fast immer in der Kombination   auftritt. Diese Kombination ist der sogenannte Thermische Erwartungswert   der Messgröße, bei dem sich eventuelle Divergenzen im Zähler und im Nenner gegenseitig kompensieren würden.

Verwandte Integrale können also auch dann konvergieren, wenn der Operator   nicht der Spurklasse angehört. In diesem Fall ist der Ausdruck beliebig genau durch Summen von Spurklasse-Operatoren (sogar durch endliche Summen) approximierbar, ähnlich wie Integrale so angenähert werden können.

Jedenfalls empfiehlt es sich, bei der Frage der Konvergenz der betrachteten Ausdrücke pragmatisch vorzugehen und z. B. im vorliegenden Fall zu beachten, dass eventuelle Spektralanteile, die betragsmäßig sehr viel größer sind als der Temperaturfaktor  , exponentiell klein werden.

In der Quantenstatistik tritt die Partialspur auf, welche als Verallgemeinerung der Spur aufgefasst werden kann. Für einen Operator  , der auf dem Produktraum   lebt, ist die Spur gleich der Hintereinanderausführung der Partialspuren über   und  :

 .

Die Spur in KörpererweiterungenBearbeiten

Ist   eine endliche Körpererweiterung, dann ist die Spur eine  -lineare Abbildung von   nach  . Fasst man   als  -Vektorraum auf, dann definiert man die Spur eines Elementes   als die Spur der Darstellungsmatrix der Abbildung  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Pavel Exner: Hilbert Space Operators in Quantum Physics. Springer, 2008
  2. Michael Reed: Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press, 1980, Seite 212