Ähnlichkeit (Matrix)

Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen

In dem mathematischen Teilgebiet lineare Algebra ist Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Selbstabbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

DefinitionBearbeiten

Zwei  -dimensionale quadratische Matrizen   über dem Körper   heißen zueinander ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix   gibt, sodass

 

oder äquivalent

 

gilt. Die Abbildung

 

heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation. Ist eine Matrix einer Diagonalmatrix ähnlich, so heißt sie diagonalisierbar; ist sie einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich, so heißt sie trigonalisierbar.

BeispielBearbeiten

Die beiden reellen Matrizen

    und    

sind zueinander ähnlich, denn mit der regulären Matrix

 

gilt

 .

Die Matrix   ist dabei nicht eindeutig bestimmt, denn auch jedes Vielfache   mit   erfüllt diese Identität.

EigenschaftenBearbeiten

KenngrößenBearbeiten

Zwei zueinander ähnliche Matrizen   haben das gleiche charakteristische Polynom, denn es gilt mit der Kommutativität der Einheitsmatrix  , dem Determinantenproduktsatz und der Determinante der Inversen

 

Daher haben zueinander ähnliche Matrizen

Außerdem haben zueinander ähnliche Matrizen

CharakterisierungBearbeiten

Zwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke) die gleiche jordansche Normalform haben.

Allgemein sind nach dem Lemma von Frobenius zwei Matrizen   und   genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleiche Frobenius-Normalform besitzen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre charakteristischen Matrizen   und   die gleiche Smith-Normalform aufweisen.

ÄquivalenzklassenBearbeiten

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv. Man schreibt

 ,

wenn   und   zueinander ähnlich sind, und notiert die zu einer Matrix   zugehörige Äquivalenzklasse durch

 .

Zum Beispiel besteht die Äquivalenzklasse der zu einem Vielfachen   mit   der Einheitsmatrix   ähnlichen Matrizen aus genau einem Element  , denn   für alle regulären Matrizen  .

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der  -Matrizen.

Berechnung der TransformationsmatrixBearbeiten

VorgehensweiseBearbeiten

Sind zwei zueinander ähnliche Matrizen   gegeben, so lässt sich eine Matrix  , mit der   gilt, folgendermaßen ermitteln. Zunächst werden die beiden Matrizen   und   in die gleiche Frobenius-Normalform (oder, falls möglich, die gleiche Jordan-Normalform)   überführt. Sind die beiden hierzu verwendeten Ähnlichkeitstransformationen

    und    

mit regulären Matrizen  , so folgt daraus durch Gleichsetzen

 .

Die gesuchte Transformationsmatrix ist demnach

 .

BeispielBearbeiten

Seien die beiden  -Matrizen   und   wie im obigen Beispiel gegeben. Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen ergeben sich zu

 

und

 .

Die beiden charakteristischen Polynome stimmen also überein, wobei die Eigenwerte   und   sind. Weil das charakteristische Polynom vollständig in reelle Linearfaktoren zerfällt, lässt sich zu beiden Matrizen die gleiche Jordan-Normalform aufstellen, die in diesem Fall die Diagonalgestalt

 

hat. Die Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform haben dabei die Form   und  , wobei   jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert   und   jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert   sind. Für   ergeben sich zwei Eigenvektoren durch Lösung von   und   als

    und    .

Entsprechend ergeben sich für   zwei Eigenvektoren durch Lösung von   und   als

    und    .

Die beiden Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform   sind demnach

    und    ,

und die gesuchte Ähnlichkeitstransformationsmatrix ist damit

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten