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Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen genau die alternierenden Matrizen und werden daher häufig mit ihnen gleichgesetzt. Schiefsymmetrische Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem zur Charakterisierung antisymmetrischer Bilinearformen verwendet.

DefinitionBearbeiten

Eine Matrix   heißt schiefsymmetrisch, wenn

 

gilt. Anders ausgedrückt: Die Matrix   ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt:

 

BeispielBearbeiten

Die Matrix   ist schiefsymmetrisch, da  

EigenschaftenBearbeiten

Reelle schiefsymmetrische MatrizenBearbeiten

Ist   schiefsymmetrisch mit reellen Einträgen, so sind alle Diagonaleinträge notwendigerweise gleich 0. Des Weiteren ist jeder Eigenwert rein imaginär oder gleich 0.

Körpercharakteristik ungleich 2Bearbeiten

Eigenschaften für Körper   der Charakteristik ungleich 2:

  • Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind null.
  • Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension n ist wegen   und daher
 
gleich null.
Für Matrizen gerader Dimension gilt dies im Allgemeinen nicht, wie das Gegenbeispiel
 
zeigt. Die Matrix ist offensichtlich schiefsymmetrisch, jedoch gilt  
  • In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die alternierenden Matrizen. In einem Körper mit Charakteristik zwei gibt es jedoch schiefsymmetrische Matrizen, die nicht alternierend sind.

VektorraumBearbeiten

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension  . Ist der Körper  , so bezeichnet man diesen Vektorraum mit  . Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe   (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts gerade

 

Das orthogonale Komplement ist die symmetrische Matrix

 

BilinearformenBearbeiten

Die Bilinearform   zu einer schiefsymmetrischen Matrix   ist antisymmetrisch, das heißt,

 

für alle  . Falls die Hauptdiagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix   alle gleich null sind (wenn die Matrix also alternierend ist), dann ist die zugehörige Bilinearform   alternierend, das heißt,

 

für alle  . Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum   die Darstellungsmatrix   einer antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearform   bezüglich einer beliebigen Basis   stets schiefsymmetrisch, also

 ,

wobei die Hauptdiagonaleinträge von   alle gleich null sind.

ExponentialabbildungBearbeiten

Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung

 

ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix   (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

KreuzproduktBearbeiten

Für den Spezialfall   können schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren   und   kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix

 

mit dem Vektor   ausgedrückt werden:

 

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden:

 

Das Exponential der Matrix   kann mittels der Rodrigues-Formel wie folgt dargestellt werden

 

Hierbei ist

  die orthogonale Projektion von   auf die durch   aufgespannte Gerade  ,
  das dazu senkrechte Lot von   auf die Achse  ,
   der Vektor, der aus   durch Rotation um 90° um die Achse   entsteht.

Insgesamt zeigt die Formel, dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor   um die durch   definierte Achse rotiert wird, mit der Norm von   als Winkelgeschwindigkeit.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten