Schiefsymmetrische Matrix

Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen genau die alternierenden Matrizen und werden daher häufig mit ihnen gleichgesetzt. Schiefsymmetrische Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem zur Charakterisierung antisymmetrischer Bilinearformen verwendet.

Eng verwandt mit den Matrizen sind die Tensoren zweiter Stufe, die ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik sind, siehe #Schiefsymmetrischer Tensor.

DefinitionBearbeiten

Eine quadratische Matrix   über einem Körper   heißt schiefsymmetrisch (oder antisymmetrisch), wenn

 

gilt. Anders ausgedrückt: Die Matrix   ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt:

 

BeispielBearbeiten

Die Matrix   ist schiefsymmetrisch, da  .

EigenschaftenBearbeiten

Reelle schiefsymmetrische MatrizenBearbeiten

Ist   schiefsymmetrisch mit reellen Einträgen, so sind alle Diagonaleinträge notwendigerweise gleich 0. Des Weiteren ist jeder Eigenwert rein imaginär oder gleich 0.

Körpercharakteristik ungleich 2Bearbeiten

Eigenschaften für Körper   der Charakteristik ungleich 2:

  • Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind null.
  • Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension n ist wegen   und daher
 
gleich null.
Für Matrizen gerader Dimension gilt dies im Allgemeinen nicht, wie das Gegenbeispiel
 
zeigt. Die Matrix ist offensichtlich schiefsymmetrisch, jedoch gilt   Allgemein kann die Determinante in diesem Fall als Quadrat der Pfaffschen Determinante bestimmt werden.
  • In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die alternierenden Matrizen. In einem Körper mit Charakteristik zwei gibt es jedoch schiefsymmetrische Matrizen, die nicht alternierend sind.

VektorraumBearbeiten

Die schiefsymmetrischen ( )-Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension  . Ist der Körper  , so bezeichnet man diesen Vektorraum mit  . Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe   (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts gerade

 

Das orthogonale Komplement ist die symmetrische Matrix

 

BilinearformenBearbeiten

Die Bilinearform   zu einer schiefsymmetrischen Matrix   ist antisymmetrisch, das heißt,

 

für alle  . Falls die Hauptdiagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix   alle gleich null sind (wenn die Matrix also alternierend ist), dann ist die zugehörige Bilinearform   alternierend, das heißt,

 

für alle  . Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum   die Darstellungsmatrix   einer antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearform   bezüglich einer beliebigen Basis   stets schiefsymmetrisch, also

 ,

wobei die Hauptdiagonaleinträge von   alle gleich null sind.

ExponentialabbildungBearbeiten

Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung

 

ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix   (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

KreuzproduktBearbeiten

Für den Spezialfall   können schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren   und   kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix

 

mit dem Vektor   ausgedrückt werden:

 

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden:

 

Das Exponential der Matrix   kann mittels der Rodrigues-Formel wie folgt dargestellt werden

 

Hierbei ist

  die orthogonale Projektion von   auf die durch   aufgespannte Gerade  ,
  das dazu senkrechte Lot von   auf die Achse  ,
   der Vektor, der aus   durch Rotation um 90° um die Achse   entsteht.

Insgesamt zeigt die Formel, dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor   um die durch   definierte Achse rotiert wird, mit der Norm von   als Winkelgeschwindigkeit.

Schiefsymmetrischer TensorBearbeiten

Tensoren sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik, da sie neben dem Zahlenwert und der Einheit auch noch Informationen über Orientierungen im Raum enthalten[Anm. 1]. Die Komponenten des Tensors verweisen auf Tupel von Basisvektoren, die durch das dyadische Produkt „⊗“ verknüpft sind. Der Anschaulichkeit halber beschränkt sich die allgemeine Darstellung hier auf den reellen drei-dimensionalen Vektorraum, nicht zuletzt auch wegen seiner besonderen Relevanz in den Natur- und Ingenieurswissenschaften. Hier sind alle schiefsymmetrischen Tensoren auch alternierend.

Alles, was oben über reelle schiefsymmetrische Matrizen als Ganzem geschrieben steht, lässt sich auf schiefsymmetrische Tensoren zweiter Stufe übertragen. Insbesondere haben auch sie in drei Dimensionen einen reellen, verschwindenden und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte. Schiefsymmetrischen Tensoren zweiter Stufe wird auch ein dualer axialer Vektor zugeordnet, der das Tensorprodukt durch das Kreuzprodukt darstellt. Deshalb ist dieser duale axiale Vektor der zum Eigenwert 0 gehörende Eigenvektor.

Koeffizientenmatrix von schiefsymmetrischen Tensoren 2. StufeBearbeiten

Nicht ohne Weiteres lassen sich die Aussagen über die Einträge in den Matrizen auf Tensoren übertragen, denn bei letzteren hängen sie vom verwendeten Basissystem ab. Nur bezüglich der Standardbasis – oder allgemeiner einer Orthonormalbasis – können Tensoren zweiter Stufe mit einer Matrix identifiziert werden.

Jeder Tensor zweiter Stufe kann bezüglich zweier Vektorraumbasen   und   als Summe

 

geschrieben werden. Bei der Transposition werden im dyadischen Produkt die Vektoren vertauscht. Der transponierte Tensor ist somit

 

Eine mögliche Asymmetrie ist hier nicht einfach erkennbar; jedenfalls genügt die Bedingung   nicht für den Nachweis. Die Diagonalelemente   müssen auch nicht notwendigerweise 0 sein. Die Bedingung gilt jedoch bezüglich einer Orthonormalbasis ê1,2,3

 

Hier kann die Asymmetrie   aus seiner Koeffizientenmatrix abgelesen werden:

 

Dies gilt auch bezüglich einer allgemeinen, nicht orthonormalen, kontravarianten[Anm. 2] Basis ĝ1,2,3:[Anm. 3]

 

Soll der zweite Tensor gleich dem ersten sein, dann folgt auch hier die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix  . In obiger Form wird der Tensor kovariant genannt. Beim kontravarianten Tensor wird die Duale Basis benutzt, sodass  . Für ihn folgt die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix und die 0 auf der Diagonalen wie beim kovarianten Tensor. Beim gemischtvarianten Tensor werden beide Basen benutzt

 

Die gemischtvariante Koeffizientenmatrix ist beim gemischtvarianten Tensor im Allgemeinen nicht schiefsymmetrisch. Besagtes gilt entsprechend auch für schiefsymmetrische gemischtvariante Tensoren der Form  .

Invarianz der SymmetrieeigenschaftBearbeiten

Die Asymmetrie eines Tensors ist von Basiswechseln unberührt. Das ist daran ersichtlich, dass die Vektorinvariante, die ausschließlich vom schiefschiefsymmetrischen Anteil bestimmt wird, invariant gegenüber Basiswechseln ist.

KofaktorBearbeiten

Jeder Tensor zweiter Stufe hat einen Kofaktor

 

wo   die ersten beiden Hauptinvarianten sind und 1 der Einheitstensor ist. Beim schiefsymmetrischen Tensor ist speziell

 

worin   sein dualer axialer Vektor ist.

Dualer axialer Vektor, Vektorinvariante und KreuzproduktBearbeiten

Für einen schiefsymmetrischen Tensor T gibt es einen dualen axialen Vektor   für den gilt:

  für alle  

Der duale axiale Vektor ist proportional zur Vektorinvariante:

 

und berechnet sich mit dem Kreuzprodukt von Tensoren:

 

In einem kartesischen Koordinatensystem hat man wie bei Matrizen

 

InvariantenBearbeiten

HauptinvariantenBearbeiten

Die Hauptinvarianten eines schiefsymmetrischen Tensors lauten

 

worin   sein dualer axialer Vektor ist.

BetragBearbeiten

Der Betrag eines Tensors, definiert mit der Frobeniusnorm

 ,

lässt sich bei schiefsymmetrischen Tensoren mit der zweiten Hauptinvariante   darstellen:

 

worin   sein dualer axialer Vektor ist.

Einzelnachweise bezüglich TensorenBearbeiten

  1. H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 22.
  2. Für die Begriffe kovariant und kontravariant siehe Konvektive Koordinaten oder Krummlinige Koordinaten.
  3. Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 208, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten