Die partielle Spur, auch Partialspur oder Teilspur, bezeichnet in der linearen Algebra und Funktionalanalysis eine lineare Abbildung, die der Spur verwandt ist. Ist ein linearer Operator auf dem Tensorprodukt von zwei Vektorräumen definiert, so lässt sich seine Spur in zwei Schritten bestimmen, die sich auf die zwei Faktoren beziehen. Im ersten Schritt wird die Partialspur erzeugt, der zweite ist eine Spur nach der üblichen Definition. Verwendung findet die Partialspur in der Quantenmechanik. Mit ihrer Hilfe lässt sich aus dem Dichteoperator eines Gesamtsystems der Dichteoperator eines beliebigen Teilsystems bestimmen. Anders gesagt wird aus dem (reinen oder inkohärent gemischten) Zustand des Gesamtsystems der entsprechende Zustand des Teilsystems ermittelt.

Definition

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Endlichdimensionaler Fall

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Es seien   und   endlichdimensionale Vektorräume,  , dazu     die linearen Räume der linearen Operatoren auf diesen,   etc. Dann ist die ‚ partielle Spur über  ' definiert als die lineare Abbildung   von   nach   mit der Identität   auf   und der Spur   der Operatoren  .

Für ein Operatorenprodukt   mit   bedeutet das

 .

Ein beliebiger Operator   hat stets Darstellungen der Form

   mit   ;

das setzt die lineare Abbildung   fort auf ganz  :

 

Die Bezeichnung als partielle Spur bezieht sich darauf, dass die (totale) Spur der   die Verkettung   ist, sowie analog  .

Für konkrete Rechnungen benutzt man gewöhnlich Koordinaten. Bilden Vektoren   und   Orthonormalbasen in   beziehungsweise  , so bilden die Produkte   eine solche Basis für  . Ein Operator   wird dann durch eine vierdimensionale Matrix   dargestellt, die partiellen Spuren   durch die zweidimensionalen Matrizen   und   die man durch Summieren über   beziehungsweise   erhält:   für   und   für  .

Unendlichdimensionaler Fall

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Wie die Spur lässt sich auch die Partialspur auf Operatoren auf unendlichdimensionalen Räumen verallgemeinern.[1] Sie ist dann für Spurklasseoperatoren auf Tensorprodukthilberträumen in natürlicher Weise definiert und für einen Spurklasseoperator   auf   ist

 ,

wobei   eine Orthonormalbasis von   ist. Auch hier ist das Ergebnis der Konstruktion basisunabhäng für separable Hilberträume (  Spurklasse,   beschränkt).

Relevanz in der Quantenmechanik

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Wird eine Observable, dargestellt durch den Operator  , eines quantenmechanischen Systems gemessen, so wird der Erwartungswert des Messwertes bestimmt durch den Zustand des Systems in dem weiten Sinn, der reine und inkohärent gemischte Zustände umfasst. Ein solcher Zustand wird vollständig beschrieben durch den Dichteoperator  , einen linearen Operator auf dem Hilbertraum   des Systems. Der gesuchte Erwartungswert ist  .

Ist das System aus Komponenten, Teilsystemen zusammengesetzt,  , so ist sein Hilbertraum das Tensorprodukt der Hilberträume der Teilsysteme,  . Für die Messung einer Observablen   der Komponente   ist der Dichteoperator   auf   ebenso zuständig, wie   auf   für  . Zwischen beiden besteht dann die Beziehung

 .

Die partielle Spur über   ‚reduziert‘ den Dichteoperator des Gesamtsystems auf den Dichteoperator des Teilsystems  . Information, die das komplementäre Teilsystem   betrifft, wird ‚ausgespurt‘. Anders gesagt: Mit Hilfe des Dichteoperators bestimmt die partielle Spur aus dem Zustand des Systems den Zustand eines beliebigen Teilsystems. Das ist insbesondere dann wichtig, wenn Information über das komplementäre Teilsystem ignoriert werden kann, was im Rahmen der klassischen Quantenmechanik aufgrund der Invarianz der Partialspur immer insofern möglich ist, dass sich durch die Partialspur konsistente Vorhersagen ergeben. Dies ist nützlich, da Information über das komplementäre Teilsystem oft nicht zugänglich ist. (Bei Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten gilt dies nicht, dort kann eine unterschiedliche Wahl des Komplementärsystems zu unterschiedlichen Vorhersagen führen.[2])

Invarianz der Partialspur

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  ist invariant unter allen möglichen spurerhaltenden Quantenoperation (vollständig positiven Abbildungen) auf  , insbesondere auch unter Messungen. Man kann daher den reduzierten Zustand   auch als den Zustand auffassen, den man erhält, wenn im System   eine vollständige Messung durchgeführt, das Ergebnis aber ignoriert wird:   ist das statistische Mittel über zu den verschiedenen Messergebnissen gehörenden bedingten Zustände. Zum Beispiel im Fall einer Von-Neumann-Messung der Observable   gilt  , wobei der auf   definierte, nicht-normierte Operator   die folgenden Eigenschaften hat:   ist die Wahrscheinlichkeit, mit der das Messergebnis   auftritt und   ist der auf das Messergebnis   konditionierte Dichteoperator. Ebenso ist   invariant unter einer Randomisierung des Systems  , z. B. unter der Abbildung

 

wobei   die identische Abbildung und   ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Gruppe   der unitären Abbildungen auf   darstellt. Wählt man für   das normierte Haarmaß über der unitären Gruppe, so kommutiert   mit allen Operatoren der Form   und es gilt  .

Partialspur als Quantenkanal

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Die Abbildung   ist vollständig positiv und stellt damit eine spurerhaltende erlaubte Quantenoperation (einen Quantenkanal) dar, deren Kraus-Darstellung durch

 ,

wobei   eine Orthonormalbasis im System   und   die Identität auf den anderen Teilsystemen ist.

Partialspur und Verschränkung

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Wenn man einen reinen Zustand   eines zusammengesetzten Systems betrachtet, kann die Partialspur als ein einfaches Verschränktheitskriterium verwendet werden:   ist genau dann verschränkt, wenn   nicht rein ist.[3]

Literatur

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  • Michael Nielsen und Isaac Chuang: Quantum Computation and Quantum information. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-63503-9, S. 105 (englisch).
  • Michael Wilde: Quantum Information Theory. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2013, ISBN 978-1-107-03425-9, S. 116, arxiv:1106.1445 (englisch).

Einzelnachweise

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  1. Stephane Attal: Lectures in Quantum Noise Theory. Kap. 2 (englisch, univ-lyon1.fr [abgerufen am 19. Dezember 2016]).
  2. N. D. Birrell, P. C. W. Davies: Quantum Fields in Curved Space (= Cambridge Monographs on Mathematical Physics). Cambridge University Press, Cambridge 1982, ISBN 978-0-521-27858-4 (cambridge.org [abgerufen am 11. Juni 2023]).
  3. R., P., M. und K. Horodecki: Quantum Entanglement. In: Rev. Mod. Phys. Band 81, Juni 2009, S. 865, doi:10.1103/RevModPhys.81.865, arxiv:quant-ph/0702225 (englisch).