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Die Begriffe reiner und gemischter Zustand (besser: Zustandsgemisch) bezeichnen in der Quantenstatistik, dem Teilgebiet der Quantenmechanik für Vielteilchensysteme, bestimmte quantenmechanische Zustände.

Reiner ZustandBearbeiten

Ein reiner Zustand liegt vor, wenn das betrachtete System in einem fest definierten Zustand ist, der durch einen Zustandsvektor   aus dem Hilbertraum beschrieben wird. Dann findet man es mit der Wahrscheinlichkeit   in diesem Zustand  . Somit ist der Dichteoperator

 

gerade die Projektion auf den Zustand  . Diese ist idempotent, d. h., es gilt  .

Eine alternative Definition eines reinen Zustandes lässt sich auch auf den allgemeineren Zustandsbegriff für C*-Algebren von Operatoren erweitern. Ein Zustand auf einer C*-Algebra   ist ein positives lineares Funktional mit Norm 1, also eine Abbildung   mit   und  . Die Menge der Zustände   bildet eine konvexe Menge. Ein reiner Zustand ist ein Zustand, der extremal in   ist. D. h., ein reiner Zustand lässt sich nicht als Konvexkombination (eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten, deren Summe 1 ergibt) zweier anderer Zustände beschreiben.

ZustandsgemischeBearbeiten

Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch. Dieses wird manchmal auch als gemischter Zustand bezeichnet, was semantisch etwas unpräzise ist, weil zwischen kohärenter und inkohärenter Mischung zu unterscheiden ist. Bei kohärenter Überlagerung werden Wellenfunktionen linear superponiert,   (im Allgemeinen mit komplexen Faktoren  ). Bei inkohärenter Überlagerung werden ihre Projektionsoperatoren linear superponiert,   (im Allgemeinen mit reellen Faktoren   und  ). Ein analoger Unterschied besteht in der Optik zwischen der kohärenten Addition von Amplituden (Wellenoptik) und der inkohärenten Addition von Intensitäten (Strahlenoptik). Bei der kohärenten Überlagerung hängt das Resultat von den relativen Phasen der superponierten Zustände ab, und das System befindet sich mit Wahrscheinlichkeit 1 im Zustand  . Bei der inkohärenten Überlagerung hängt das Zustandsgemisch nicht von den Phasen ab, und es gibt keinen einzelnen reinen Zustand, in dem sich das System mit Wahrscheinlichkeit 1 befindet (ausgenommen der triviale Fall, wo bis auf einen alle Faktoren  ). Diese Situation entsteht häufig, z. B. wenn man das System wiederholte Male präpariert und dabei nur mit relativen Häufigkeiten   einen der reinen Zustände   erzeugt. Die Zustände   müssen dabei nicht orthogonal zueinander sein. Sind sie orthogonal, dann sind sie auch die Eigenzustände des Dichteoperators mit den Eigenwerten  .

Der Dichteoperator ist also

 

Der Erwartungswert eines beliebigen Operators   (mit Eigenwerten   und Eigenzuständen  ) ist dann die mit den   gewichtete Summe der Erwartungswerte von   in jedem der einzelnen Zustände   („inkohärente Überlagerung“):

  

Sind die reinen Zustände   orthogonal zueinander, dann gibt das Gewicht   die Wahrscheinlichkeit dafür an, das System im reinen Zustand   zu finden. Sind sie nicht orthogonal, gilt das nicht. Vielmehr gilt für die Wahrscheinlichkeit, das Gemisch in einem bestimmten Zustand   zu finden:

 

Unterschiedliche Zusammensetzungen können die gleiche Dichtematrix erzeugen:

 
 

Hierbei sind die Zustände   und   die Eigenzustände des Spin-1/2-Systems zur z- bzw. x-Achse. Die beiden Formeln mit unterschiedlichen Projektionsoperatoren scheinen einmal die z-Achse, das andere Mal die x-Achse auszuzeichnen. Sie sind jedoch identisch, wie man erkennt, wenn man die üblichen Identifikationen   und   benutzt (siehe z. B. Bell-Zustand).

Den Dichteoperator eines inkohärenten Zustandsgemischs (aus mindestens zwei Zuständen) erkennt man daran, dass für ihn gilt:   während bei kohärenter Mischung immer das Gleichheitszeichen gilt,  

BeispieleBearbeiten

Das prominenteste Beispiel für inkohärente Superposition gibt die Thermodynamik bzw. Statistische Physik (Quantenstatistik). Hier ist  . Dabei ist   die reziproke Fermi-Temperatur T, genauer:   mit der Boltzmann-Konstante      ist der Hamiltonoperator (Energieoperator) des Systems; es ist also    Z(T) schließlich ist die sogenannte Zustandssumme,   was   entspricht. Für die thermodynamische Entropie   des Systems gilt:   mit der im Artikel Bell-Zustand statistisch definierten Von-Neumann-Entropie   Beide Entropien sind also im Wesentlichen identisch.

Das prominenteste Beispiel für kohärente Superpositionen gibt die Laserstrahlung. Hier strahlen die Laseratome gleichphasig, also im Takt. Es werden Übergänge zwischen unterschiedlichen „reinen“ Energiezuständen des bestrahlten Systems induziert, wobei die Übergangrate, das ist die Zahl der Übergänge dividiert durch die Zeit, nicht wie bei inkohärenter Strahlung konstant ist, sondern z. B. über eine gewisse Zeitspanne sehr rasch anwächst. Die erzeugte Strahlungsintensität ( ) ist sehr viel größer als bei inkohärenter Anregung (  verglichen mit   bei inkohärentem Licht. Dabei ist  , die Zahl der beteiligten Atome, extrem groß, sodass   um viele Zehnerpotenzen größer ist als  )

Bei inkohärenter Anregung erfolgen die Energieübergänge nicht im Takt, sondern z. B. mit Zufallsphasen. Für die mittlere Übergangsrate gilt jetzt eine sog. „Goldene Regel“ von E. Fermi.

QuellenBearbeiten

  • H. Lin, An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras, World Scientific (2001)