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Ein Extremalpunkt einer konvexen Menge K eines reellen Vektorraums ist ein Punkt x aus K, der sich nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K darstellen lässt, also zwischen keinen zwei anderen Punkten aus K liegt. Das heißt, es gibt keine Punkte mit für ein .

Inhaltsverzeichnis

Erläuterungen und BeispieleBearbeiten

 
Extremalpunkte (rot) einer konvexen Menge K (blau und rot) können nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K dargestellt werden
  1. Ein Punkt   ist genau dann ein Extremalpunkt der konvexen Menge  , wenn die Restmenge   ihrerseits eine konvexe Menge ist.
  2. Ein Dreieck ist eine konvexe Menge, die Extremalpunkte sind genau die Ecken des Dreiecks.
  3. Eine abgeschlossene Kugel im   ist konvex, die Extremalpunkte sind genau die Randpunkte. Das gilt in allen Hilberträumen oder allgemeiner in allen strikt konvexen Räumen. Eine offene Kugel hat keine Extremalpunkte.
  4. Die positiven Funktionale mit Norm 1 einer kommutativen C*-Algebra bilden eine konvexe Menge. Die Extremalpunkte sind genau die multiplikativen Funktionale.
  5. Nach dem Satz von Birkhoff und von Neumann sind die Permutationsmatrizen genau die Extremalpunkte der doppelt-stochastischen Matrizen.

AnwendungenBearbeiten

AbschlusseigenschaftenBearbeiten

Die Menge der Extremalpunkte ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen. Ein dreidimensionales Beispiel erhält man durch das Zusammenfügen zweier schiefer Kegel zu einem Doppelkegel, so dass die Verbindungsstrecke zwischen den Spitzen   und   (siehe nebenstehende Skizze) auf den Mantelflächen verläuft und die gemeinsame Kreislinie in einem Punkt   trifft. Die Menge der Extremalpunkte dieses Doppelkegels besteht aus den Kegelspitzen   und   und allen Punkten der Kreislinie ohne  , denn dieser Punkt lässt sich ja aus   und   konvex kombinieren.   liegt aber im Abschluss der Extremalpunktmenge.

Im unendlichdimensionalen Fall kann die Menge der Extremalpunkte dicht liegen. Ein einfaches Beispiel ist die Einheitskugel   in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum   mit der schwachen Topologie (bezüglich dieser ist   kompakt). Die Extremalpunktmenge ist die Menge aller Vektoren mit Länge 1. Um zu sehen, dass die Extremalpunktmenge dicht in   liegt, sei   ein Vektor mit   und   eine schwache Umgebung von  . Dann gibt es Vektoren   und ein   mit  . Da   unendlichdimensional ist, gibt es einen zu den   orthogonalen Vektor   und dann ein  , so dass der Vektor   die Länge 1 hat und folglich ein Extremalpunkt ist. Da  , folgt  . Damit ist gezeigt, dass jede schwache Umgebung eines Vektors der Länge < 1 einen Extremalpunkt enthält. Daher fällt der Abschluss der Extremalpunktmenge mit   zusammen.

Extremale MengenBearbeiten

Die Definition eines Extremalpunktes lässt sich auf natürliche Weise auf Mengen übertragen: Eine extremale Menge ist eine Teilmenge einer konvexen Menge mit der Eigenschaft, dass sich Punkte aus dieser Menge nur dann als Konvexkombination von Punkten aus der konvexen Menge darstellen lassen, wenn diese Punkte bereits in der Teilmenge selbst enthalten sind. Formal:

Sei   ein Vektorraum,   konvex und  . Dann ist   eine extremale Menge, falls gilt:
 

Typische Beispiele sind Seiten oder Kanten von Polyedern. Ein oft benutzter Satz ist, dass Extremalpunkte von extremalen Mengen bereits Extremalpunkte der umgebenden konvexen Menge sind.

LiteraturBearbeiten