Polyeder

3-dimensionaler Körper ausschließlich von geraden Flächen begrenzt

Ein Polyeder [poliˈ(ʔ)eːdɐ] (auch Vielflächner; von altgriechisch πολύεδρος polýedros, deutsch ‚vielsitzig, vieleckig‘)[1] ist ein dreidimensionaler Körper, der ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird.

Das Trigondodekaeder, ein Polyeder, das ausschließlich von 12 regelmäßigen Dreiecken begrenzt ist, die 18 Kanten bilden und die in 8 Ecken zusammenlaufen

Das Analogon im Zweidimensionalen ist das Polygon, im Vierdimensionalen das Polychor, allgemein das -dimensionale Polytop.

Beispiele sind der Würfel als beschränktes Polyeder und ein Oktant eines dreidimensionalen Koordinatensystems als unbeschränktes Polyeder.

EigenschaftenBearbeiten

Polyeder weisen neben planaren Flächen auch ausschließlich geradlinige Kanten auf, da sich planare Flächen als Teilmenge von Ebenen nur in Geraden schneiden.

Polyeder weisen folgende Eigenschaften auf:

Topologie

  • Anzahl und Art der Seitenflächen
  • Anzahl und Länge der Kanten
  • Anzahl der Ecken
  • Anzahl der Flächen/Kanten in jeder Ecke

Größen

Einige Polyeder haben außerdem Symmetrieeigenschaften, zum Beispiel

Die platonischen Körper definieren außerdem Symmetriegruppen, nämlich die Tetraedergruppe, die Oktaedergruppe und die Ikosaedergruppe.

KonstruktionBearbeiten

Konstruiert werden können Polyeder sowohl auf Basis ihrer Eckpunkte als auch ihrer planaren Flächen.

Konstruktion aus ihren EckpunktenBearbeiten

Konstruieren lassen sich Polyeder, indem mindestens vier Punkte (die nicht in einer Ebene liegen) durch Kanten miteinander verbunden werden. Die Eckenanzahl der entstehenden Begrenzungsflächen ist davon abhängig, wie viele Punkte jeweils in dieser Ebene liegen. Da drei Punkte je eine Ebene aufspannen, entstehen mindestens Dreiecke. Liegen vier oder mehr Punkte „geschickt“ in einer Ebene, entstehen als Begrenzungsflächen Vier- oder Mehrecke.

Konstruktion aus ihren FlächenBearbeiten

Konstruieren lassen sich Polyeder, indem der Raum durch mindestens vier Ebenen geteilt wird. Die Anzahl der notwendigen Ebenen ist die Anzahl der Flächen   des Polyeders. Schnittpunkte zweier Ebenen bilden die Kanten des Polyeders (Anzahl  ), die Schnittpunkte dreier oder mehrerer Ebenen die Eckpunkte (Anzahl  ). Damit sich in einer Ecke mehr als drei Ebenen bzw. Flächen treffen, müssen sich „geschickt“ mehr als drei Ebenen in einem Punkt treffen.

Besondere PolyederBearbeiten

Polyeder, wie sie uns im Alltag begegnen bzw. wie man sie von der Schulmathematik her kennt (vgl. vorhergehender Abschnitt), sind dreidimensional und beschränkt, also – im Sinne der Topologiekompakte Teilmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums. Sie zählen damit zu den geometrischen Körpern. Ein Polyeder heißt dabei dreidimensional, wenn es in keiner Ebene vollständig enthalten ist. Ein Polyeder heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der es vollständig enthalten ist. Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke werden Polyederkegel genannt. Dazu zählen etwa die Trieder (englisch trihedron).

Konvexe PolyederBearbeiten

 
Das Dodekaeder, ein platonischer Körper

Häufig sind dreidimensionale Polyeder zudem konvex. Ein Polyeder heißt konvex, wenn für je zwei Punkte des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten vollständig im Polyeder liegt. Zum Beispiel ist das nebenstehende Dodekaeder konvex. Ein Beispiel eines nicht-konvexen Polyeders ist das unten gezeigte toroidale Polyeder.

Reguläre Polyeder, platonische, archimedische, catalanische und Johnson-KörperBearbeiten

Polyeder können nach verschiedenen Arten von Regelmäßigkeiten klassifiziert werden. Die wichtigsten sind:

  1. Alle Seitenflächen sind regelmäßige Vielecke.
  2. Alle Seitenflächen sind kongruent (deckungsgleich).
  3. Alle Ecken sind gleichartig, das heißt, für je zwei Ecken   kann man das Polyeder so drehen oder spiegeln, dass   in   überführt wird und das neue Polyeder mit dem ursprünglichen zur Deckung kommt.
  4. Alle Winkel zwischen benachbarten Flächen (Diederwinkel) sind gleich.
Klassifizierung Anzahl 1. 2. 3. 4. konvex Bemerkungen
platonische Körper 005           jeweils dual zu einem platonischen Körper
Kepler-Poinsot-Körper 004           jeweils dual zu einem Kepler-Poinsot-Körper
reguläre Polyeder 009         gemeinsame Definition für platonische Körper und Kepler-Poinsot-Körper
archimedische Körper 013           jeweils dual zu einem catalanischen Körper
reguläre Prismen geeigneter Höhe             die Seitenflächen sind 2 reguläre n-Ecke und n Quadrate, Ausschlusskriterium für archimedische Körper
reguläre Antiprismen geeigneter Höhe             die Seitenflächen sind 2 reguläre n-Ecke und 2·n gleichseitige Dreiecke, Ausschlusskriterium für archimedische Körper
catalanische Körper 013           jeweils dual zu einem archimedischen Körper
reguläre Doppelpyramiden geeigneter Höhe             die Seitenflächen sind 2·n gleichseitige Dreiecke, Ausschlusskriterium für catalanische Körper
reguläre Trapezoeder geeigneter Höhe             die Seitenflächen sind 2·n Drachenvierecke, Ausschlusskriterium für catalanische Körper
Johnson-Körper 092           alle Seitenflächen sind reguläre Polygone

Orthogonale PolyederBearbeiten

Die Flächen eines orthogonalen Polyeders treffen sich im rechten Winkel. Seine Kanten verlaufen parallel zu den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems. Mit Ausnahme des Quaders sind orthogonale Polyeder nicht konvex. Sie erweitern die zweidimensionalen orthogonalen Polygone in die dritte Dimension. Orthogonale Polyeder kommen in der algorithmischen Geometrie zum Einsatz. Dort bietet ihre eingeschränkte Struktur Vorteile beim Bewältigen ansonsten ungelöster Probleme (beliebiger Polyeder). Ein Beispiel ist das Entfalten der Polyederflächen in ein polygonales Netz.

Chirale PolyederBearbeiten

Chirale Polyeder sind Vielflächner, die topologisch nicht mit ihrem Spiegelbild übereinstimmen. Beispiele in drei Dimensionen sind der abgeschrägte Würfel und das schiefe Dekaeder. Sie weisen Händigkeit auf, das heißt, sie besitzen eine rechtshändige und eine linkshändige Variante, die durch Spiegelung aufeinander abgebildet werden können.[2]

ApeiroederBearbeiten

 
Ein Apeiroeder, das Mucube

Apeiroeder sind unbeschränkte Polyeder mit sich wiederholenden Strukturen.

Polyeder im AlltagBearbeiten

 
Die meisten Spielwürfel sind polyederförmig.

Beispiele für Polyeder aus dem Alltag – verstanden als geometrische Körper – sind in ihrer üblichen Bauweise – Schränke, Pyramiden, Häuser, Kristalle, Spielwürfel und Geodätische Kuppeln. Keine Polyeder sind hingegen Kugeln, Kegel, Flaschen, Tortenstücke, da sie gekrümmte Randflächen besitzen.

Eulerscher Polyedersatz und Euler-CharakteristikBearbeiten

Für konvexe und beschränkte Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz:

 

Dabei ist   die Anzahl der Ecken,   die Anzahl der Kanten und   die Anzahl der Flächen.

 
Ein toroidales Polyeder, zusammengesetzt aus 48 gleichseitigen Dreiecken

Für zusammenhängende Polyeder gilt allgemein

 

mit der Euler-Charakteristik  . Für einen Torus zum Beispiel ist  . Das rechts abgebildete Polyeder ist ein Beispiel dafür. Es hat 24 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen:  .

Für alle Polyeder ist die Anzahl der Flächen mit ungerader Eckenanzahl (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten aller Seitenflächen gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.

Außerdem ist für alle Polyeder die Anzahl der Ecken, wo eine ungerade Anzahl von Flächen (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) zusammentrifft, gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten, die an den Ecken zusammentreffen, gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.

Für jedes konvexe Polyeder gilt die Ungleichung  , weil jede Fläche benachbart zu mindestens 3 Kanten ist und jede Kante genau 2 Flächen begrenzt. Daraus und aus der Gleichung   (Eulerscher Polyedersatz) folgt  . Außerdem gilt  , weil in jeder Ecke mindestens 3 Kanten zusammentreffen und zu jeder Kante genau 2 Ecken gehören. Daraus und aus dem eulerschen Polyedersatz folgt  .

Ein konvexes Polyeder mit   Flächen hat also mindestens   und höchstens   Ecken. Daraus folgt außerdem, dass ein Polyeder mit   Ecken mindestens   und maximal   Flächen hat.

 
Ein Geodätisches Po­ly­eder: minimale Anzahl von Ecken bei gegebener Anzahl von Flächen

Bei gegebener Anzahl von Flächen wird die minimale Anzahl von Ecken erreicht, wenn das Polyeder nur von Dreiecksflächen begrenzt wird, d. h. von Polygonen mit 3 Kanten und 3 Ecken. Das ist unter anderem beim Tetraeder, beim Oktaeder, beim Ikosaeder, bei den Deltaedern, bei einigen catalanischen Körpern und bei allen Doppelpyramiden der Fall. Weitere Beispiele sind die geodätischen Polyeder (siehe auch: en:Geodesic polyhedron).

 
Ein Goldberg-Poly­eder: maximale Anzahl von Ecken bei gegebener Anzahl von Flächen

Bei gegebener Anzahl von Flächen wird stattdessen die maximale Anzahl von Ecken erreicht, wenn sich in jeder Ecken immer nur 3 Flächen und 3 Kanten treffen. Das ist unter anderem beim Tetraeder, beim Würfel, beim Dodekaeder, bei einigen archimedischen Körpern und bei allen Prismen der Fall. Weitere Beispiele sind die Goldberg-Polyeder (siehe auch: en:Goldberg polyhedron).

Diese Polyeder weisen für eine gegebene Anzahl von Flächen (oder Ecken) auch jeweils das Minimum oder das Maximum an Kanten auf.

Beispiele für Polyeder mit einer bestimmten FlächenzahlBearbeiten

Polyeder werden nur in Ausnahmefällen (im Allgemeinen der Körper mit maximaler Symmetrie, die platonischen Körper) nach der Anzahl der begrenzenden Flächen klassifiziert.

So versteht man unter Oktaeder (3,3,3,3,3,3,3,3) eher einen platonischen Körper als einen Zylinder mit sechsseitiger Grundfläche (6,6,4,4,4,4,4,4).

Die Anzahl von Polyedern mit verschiedenen Topologien bei gegebener Seitenanzahl wächst überexponential mit der Seitenanzahl.

  • Ein Tetraeder ist eindeutig.
  • Ein Pentaeder ist eine fünfseitige Pyramide oder ein dreiseitiges Prisma.
  • Bei Hexaedern gibt es schon 7 konvexe und 4 konkave Polyeder.
  • Bei Oktaedern gibt es schon 257 konvexe Polyeder, hinzu kommt noch eine größere Zahl an konkaven Polyedern.
  • Bei Dodekaedern gibt es schon mehr als 6 Millionen konvexe Polyeder, bei Tetradekaeder wird schon die Milliarde erreicht.

Der Name eines Polyeders weist im Allgemeinen auf dessen Verwandtschaft und dessen Konstruktionsprinzip hin, manchmal auch auf Gegenstände des alltäglichen Lebens. Polyeder, deren Name „-dekaeder“ enden, brauchen nicht einmal 12 Flächen zu haben (Ausgehöhltes Dodekaeder mit 20 Flächen), teilweise gibt es nur in der Konstruktionskette Zwölfflächner oder Polyeder, die von einer bestimmten Polygonart 12 Flächen haben (Rhombenikosidodekaeder mit 62 Flächen).

Polyeder mit F  Flächen
F allgemein Beispiel
Name K E Name Bild K E
04 Tetraeder 0...6 0...4 Dreieckpyramide   006 04
05 Pentaeder 08...9 05...6 Quadratpyramide   008 05
06 Hexaeder 09...12 05...8 Würfel   012 08
07 Heptaeder 11...15 06...10 verlängerte
Dreieckpyramide
  012 07
08 Oktaeder 12...18 06...12 Rhomboederstumpf   018 12
09 Enneaeder 14...21 07...14 verlängerte
Quadratpyramide
  016 09
10 Dekaeder 15...24 07...16 Fünfeck-Bipyramide   015 07
11 Hendekaeder 17...27 08...18 ?   020 11
12 Dodekaeder 18...30 08...20 regelmäßiges
Dodekaeder
  030 20
13 Tridekaeder 09...22 verdreht verlängerte
Quadratpyramide
  020 09
14 Tetradekaeder 09...24 Disheptaeder   024 12
15 Pentadekaeder 10...26 verlängerte Fünfecks-
Bipyramide
  025 12
16 Hexadekaeder 10...28 zweifach erweitertes
Antiprisma
  024 10
17 Heptadekaeder 11...30 erweiterte
Sphenocorona
  026 11
18 Oktadekaeder 11...32 Quadratdoppelkuppel   032 16
20 Ikosaeder 12...36 regelmäßiges Ikosaeder   030 12
22 Ikosidiplo-
eder
13...40 verlängerte
Fünfeckskuppel
  045 25
24 Ikositetra-
eder
14...44 Deltoidal-
ikositetra-
eder
  048 26
30 Triakonta-
eder
17...56 doppelt erweitertes
abgestumpftes Hexaeder
  060 32
32 Triakontadiplo-
eder
48...90 18...60 Ikosaederstumpf   090 60
60 Hexakonta-
eder
90...174 32...116 Pentagon-
hexakonta-
eder
  150 92

DualitätBearbeiten

 
Würfel mit dualem Oktaeder. Die Mittelpunkte der Quadrate sind die Ecken des Oktaeders.

Für jedes konvexe Polyeder existiert ein duales Polyeder. Dabei wird jeder Ecke des Polyeders eine Fläche des dualen Polyeders bijektiv zugeordnet und umgekehrt. Außerdem wird jeder Kante eine Kante des dualen Polyeders bijektiv zugeordnet.

Das Dual eines konvexen Polyeders kann durch polare Hin- und Herbewegung erhalten werden.[3] Duale Polyeder existieren paarweise, und das Dual eines Duals ist wieder das ursprüngliche Polyeder. Einige Polyeder sind selbst-dual, was bedeutet, dass das Dual des Polyeders mit dem ursprünglichen Polyeder kongruent ist. Solche Polyeder sind zum Beispiel das Tetraeder, die quadratische Pyramide und alle regelmäßigen Pyramiden.[4]

Das Dual eines platonischen Körpers ist selbst ein platonischer Körper. Das Hexaeder ist dual zum Oktaeder und umgekehrt, das Dodekaeder ist dual zum Ikosaeder und umgekehrt und das Tetraeder ist dual zu sich selbst. Jeder der 13 archimedischen Körper ist dual zu einem der 13 catalanischen Körper und umgekehrt.

Abstrakte Polyeder haben auch Duale, die zusätzlich erfüllen, dass sie die gleiche Euler-Charakteristik und Orientierbarkeit wie das ursprüngliche Polyeder haben. Diese Form der Dualität beschreibt jedoch nicht die Form eines dualen Polyeders, sondern nur seine kombinatorische Struktur. Für einige Definitionen nichtkonvexer geometrischer Polyeder existieren Polyeder, deren abstrakte Duale unter derselben Definition nicht als geometrische Polyeder realisiert werden können.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Vielfach wird neben dem Begriff des Polytops auch der Begriff „Polyeder“ für nicht notwendigerweise dreidimensionale Räume verwendet.

  • Vor allem in der Topologie nennt man eine Teilmenge des   ein Polyeder, wenn sie triangulierbar ist, wenn sie also als Vereinigung der Simplexe eines simplizialen Komplexes   gebildet werden kann.[5][6] Das homöomorphe Bild eines solchen allgemeinen Polyeders bezeichnet man als krummes Polyeder und die Bilder der beteiligten Simplexe als krumme Simplexe.[7]
  • In der linearen Optimierung ist ein (konvexes) Polyeder im   definiert als der Schnitt von endlich vielen Halbräumen.[8] Nach dieser Definition ist ein Polyeder nicht notwendigerweise beschränkt. Ein beschränktes nichtleeres Polyeder wird dann als Polytop bezeichnet. Nach dem Zerlegungssatz für konvexe Polyeder ist eine Teilmenge des   genau dann ein Polyeder, wenn sie sich als Summe eines konvexen Polytops und eines (konvexen) polyedrischen Kegels darstellen lässt.

WeblinksBearbeiten

Commons: Polyeder – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Polyeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 12. März 2020]).
  2. Edward S. Popko: Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere. CRC Press, 2012, ISBN 978-1-4665-0429-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. H. Martyn Cundy, A.P. Rollett: Mathematical models. In: Clarendon Press. , Oxford1961, S. 78–79.
  4. B. Grünbaum, G.C. Shephard: Convex polytopes. In: Bulletin of the London Mathematical Society. 1, Nr. 3, 1969, S. 257–300. doi:10.1112/blms/1.3.257.
  5. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 34 (MR0533264).
  6. John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds (Graduate Texts in Mathematics 202). Springer, New York [u. a.] 2000, ISBN 0-387-98759-2, S. 149.
  7. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 35 (MR0533264).
  8. Rainer E. Burkhard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung (= Springer-Lehrbuch). Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-28673-5, S. 19.