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Ungleichung

Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können

Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen < (Kleinerzeichen), ≤ (Kleinergleichzeichen), ≥ (Größergleichzeichen) oder > (Größerzeichen) verbunden sind.

Sind und zwei Terme, dann ist eine Ungleichung. Man spricht „ kleiner (als) “. Wie bei einer Gleichung heißt die linke Seite und die rechte Seite der Ungleichung.[1]

Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die natürliche Anordnung der reellen Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

Formen von UngleichungenBearbeiten

Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

(1)   (  kleiner  )
(2)   (  kleiner oder gleich  )
(3)   (  größer  )
(4)   (  größer oder gleich  )
(5)   (  ungleich  )

Die Form (5) entsteht durch Negation einer Gleichung. Sie wird daher in der Mathematik in der Regel nicht eigens thematisiert.

Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen. Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt (Einsetzen), so entstehen Aussagen, welche entweder wahr oder falsch sind.

Umformung von UngleichungenBearbeiten

Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in äquivalente Ungleichungen umzuformen. Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.[2]

Im Folgenden werden wichtige Regeln zu äquivalenten Ungleichungen für die Vergleichszeichen < und > und für Terme im Körper der reellen Zahlen dargestellt. Diese Äquivalenzumformungsregeln gelten analog auch für die Vergleichszeichen ≤, ≥ und ≠. Zudem werden weitere Regeln zu nicht äquivalenten Umformungen von Ungleichungen angeboten, die man oft in der Analysis – etwa bei Konvergenzbeweisen mittels Epsilontik – benötigt.[3]

UmkehrbarkeitBearbeiten

Ungleichungen können umgekehrt werden:

 

Monotoniegesetze im Zusammenhang mit den GrundrechenartenBearbeiten

Addition und SubtraktionBearbeiten

 
Invarianz der Kleiner-Relation bei der Addition mit einer Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung

Für beliebige reellwertige Terme  ,  ,   und   gilt:

  • Es ist   genau dann, wenn  .
  • Es ist   genau dann, wenn  .

Es dürfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich die Lösungsmenge der Ungleichung ändert. Beispielsweise vereinfacht sich die Ungleichung   durch Subtraktion des Terms   auf beiden Seiten zu der äquivalenten Ungleichung  .

Darüber hinaus gelten in Bezug auf die Addition auch noch weitere Regeln:

  • Aus   und   folgt  .
  • Aus   und   folgt  .
  • Aus   und   folgt  .
  • Aus   und   folgt  .

Multiplikation und DivisionBearbeiten

 
Die Regel  
 
Die Regel  

Für beliebige Terme  ,   und   gilt:

  • Aus   folgt  .
  • Aus   folgt  .
  • Aus   und   folgt   und  .
  • Aus   und   folgt   und  .

Hier gilt demnach folgende Merkregel:

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.

So sind zum Beispiel die Ungleichungen   und   äquivalent, wie man mit Hilfe von Division durch   sieht.

Darüber hinaus gelten in Bezug auf die Multiplikation innerhalb der Gruppe   der positiven reellen Zahlen auch noch weitere Regeln:

  • Aus   und   folgt  .
  • Aus   und   folgt  .
  • Aus   und   folgt  .
  • Aus   und   folgt  .

Anwenden einer FunktionBearbeiten

Durch Anwenden einer streng monotonen Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung erhält man wieder eine Ungleichung mit derselben Lösungsmenge wie die Ausgangs-Ungleichung.

Ähnlich wie bei den Monotoniegesetzen allerdings muss auch hier unter Umständen das Vergleichszeichen gedreht werden. Wendet man nämlich eine streng monoton wachsende Funktion auf beide Seiten an, ändert sich das Vergleichszeichen dadurch nicht, wohl aber, wenn man eine streng monoton fallende Funktion benutzt: In diesem Fall muss das Vergleichszeichen   dann durch das entsprechend umgekehrte Zeichen   ersetzt werden, analog das Vergleichszeichen   durch das  -Zeichen und umgekehrt.

BeispieleBearbeiten

Der natürliche Logarithmus   und die Wurzelfunktion   sind streng monoton wachsende Funktionen und können daher, ohne dass man dabei die Vergleichszeichen drehen müsste, zur Umformung von Ungleichungen verwendet werden. Seien   zwei Terme, gilt dann dementsprechend zum Beispiel

 

Vorsicht dagegen ist geboten, wenn es sich um Exponentialfunktionen handelt, die je nach ihrer Basis   streng monoton steigend, aber auch fallend sein können:

 

Gleiches gilt für Logarithmen beliebiger Exponenten:

 

Zum Beispiel:

 

Lösen von UngleichungenBearbeiten

Eine Frage beim Umgang mit Ungleichungen ist – ähnlich wie bei der Lösung von Gleichungen – die Frage nach der Lösungsmenge der Ungleichung. Hier ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.

Bekannte UngleichungenBearbeiten

In allen mathematischen Teilgebieten gibt es Sätze zur Gültigkeit von Ungleichungen. Das heißt, gewisse mathematische Aussagen sichern unter bestimmten Umständen die Richtigkeit einer vorgegebenen Ungleichung für eine gewisse Definitionsmenge. Im Folgenden werden einige wichtige Ungleichungen kurz erwähnt.

DreiecksungleichungBearbeiten

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten   und   stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite  . Das heißt formal  .

Diese Ungleichung kann für viele mathematische Objekte verallgemeinert werden. Beispielsweise ist die Ungleichung

 

für die Betragsfunktion eine Verallgemeinerung der zuvor genannten Ungleichung und gilt für alle reellen Zahlen. Sie trägt ebenfalls den Namen Dreiecksungleichung. Diese Ungleichung kann auch für Betrag komplexer Zahlen oder für Integrale verallgemeinert werden (siehe Minkowski-Ungleichung).

Cauchy-Schwarz-UngleichungBearbeiten

Sei   Prähilbertraum also ein Vektorraum mit Skalarprodukt   und seien   und   Elemente aus  , dann gilt immer die Ungleichung

 

Gleichheit gilt genau dann, wenn   und   linear abhängig sind. Vektorräume mit Skalarprodukt treten in vielen mathematischen Teilgebieten auf. Daher ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auch in vielen Teildisziplinen der Mathematik von Bedeutung, beispielsweise wird sie in der linearen Algebra, der Integrationstheorie und in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.

Erweiterung des BegriffesBearbeiten

Bis jetzt wurden in diesem Artikel nur Ungleichungen betrachtet, deren Terme Werte in den reellen Zahlen annehmen. Der Ungleichungsbegriff wird gelegentlich – jedoch nicht einheitlich – zum Beispiel auf komplexe Zahlen, Vektoren oder Matrizen erweitert. Um Ungleichungen für diese Objekte betrachten zu können, müssen zuerst die vier Vergleichszeichen <, ≤, > und ≥ – im Folgenden auch Relationen genannt – für diese Objekte definiert werden.

Komplexe ZahlenBearbeiten

Die Menge der komplexen Zahlen   ist zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper, jedoch ist es nicht möglich eine Relation ≤ so zu wählen, dass   zu einem geordneten Körper wird. Das heißt, es ist nicht möglich, dass eine Relation auf   sowohl das Trichotomie-, das Transitivitäts- und das Monotoniegesetz erfüllt. Jedoch wird manchmal eine Relation, die durch

 

definiert ist, betrachtet. Hierbei bezeichnen   komplexe Zahlen und   den Realteil beziehungsweise   den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Diese Definition der Relation erfüllt das Trichotomie- und das Transitivitätsgesetz.[4]

SpaltenvektorenBearbeiten

Auch für Spaltenvektoren ist es möglich Relationen zu definieren. Seien   zwei Spaltenvektoren mit   und   wobei   and   reelle Zahlen sind. Relationen auf   kann man dann beispielsweise durch

 

und durch

 

definieren. Analog kann man auch die Relationen ≥ und > erklären. Hier ist es allerdings nicht möglich, alle Elemente miteinander zu vergleichen. Beispielsweise kann keines der vier Vergleichszeichen ein Verhältnis zwischen den Elementen   und   beschreiben.

Weitere BeispieleBearbeiten

  • Ist  , so definiert man   genau dann, wenn   positiv definit ist. Sind  , so gilt   genau dann, wenn  . Ähnlich können auch   oder   (semidefinit) definiert werden.
  • Sei   ein reeller Banachraum und   ein Kegel. Sind  , so gilt   genau dann, wenn  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. Ungleichung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
  2. Rechnen mit Ungleichungen. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
  3. Viele dieser Regeln lassen sich auf das Rechnen mit Ungleichungen in angeordneten Gruppen übertragen.
  4. Tobias Hemmert: Komplexe Zahlen: Konstruktion aus den reellen Zahlen, Darstellung und Anwendung in der Physik. 1. Auflage, 2010, ISBN 978-3-656-00717-3, Seite 7.