Prisma (Geometrie)

geometrischer Körper

Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Polygons entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder.

Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche

Das gegebene Polygon wird als Grundfläche bezeichnet, die gegenüberliegende Seitenfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt Mantelfläche. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander parallel und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt Höhe des Prismas.

Gerades und schiefes PrismaBearbeiten

 
A: gerades Prisma; B: schiefes Prisma
 
Spezialfall eines schiefen Prismas: Parallelepiped, hier sogar ein Rhomboeder

Erfolgt die Parallelverschiebung des Polygons senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma, ansonsten von einem schiefen Prisma. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken, im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen. Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet.

Der zu einem geraden Prisma duale Körper ist eine Doppelpyramide.

Reguläres PrismaBearbeiten

Ein gerades Prisma mit einem Regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine Umkugel, weil alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Würfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel.

FormelnBearbeiten

Größen eines regelmäßigen Prismas (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe h)
Allgemeiner Fall Quadratisches Prisma Regelmäßiges Dreiecksprisma
Volumen      
Oberflächeninhalt      
Umkugelradius      
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche      
Winkel zwischen Grundfläche und Rechtecken      
Winkel zwischen den Rechtecken      
Raumwinkel in den Ecken      

Sonderfälle und VerallgemeinerungBearbeiten

Besondere Formen des Prismas sind die Quader und Würfel. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.

In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).

Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders.

SymmetrieBearbeiten

Jedes Prisma mit einer punktsymmetrischen Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.

Formeln für Volumen, Mantelfläche und OberflächeBearbeiten

Das Volumen   eines Prismas ist gegeben durch

 ,

wobei   den Flächeninhalt der Grundfläche und   die Höhe des Prismas bezeichnet. Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.

Die Mantelfläche   eines geraden Prismas ist gegeben durch

 ,

wobei   für den Umfang der Grundfläche und   für die Höhe des Prismas steht.

Die gesamte Oberfläche   eines Prismas ergibt sich aus

 ,

wobei   und   dem Inhalt von Grundfläche und Mantelfläche entsprechen.

UmkugelBearbeiten

Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen Umkreis besitzt, haben eine Umkugel. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der Radius   der Umkugel bei gegebener Höhe   und gegebenem Umkreisradius   berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

 

InkugelBearbeiten

Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine Inkugel haben.

Bei gegebener Höhe   eines Prismas ergibt sich der Radius   der Inkugel zu:

 

Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:

  1. Es gibt eine gedachte Ebene, die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon.
  2. Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis.
  3. Der Radius dieses Inkreises beträgt  .

KantenkugelBearbeiten

Nur gerade Prismen mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine Kantenkugel. Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet. Bei gegebenem Umkreisradius   ergibt sich der Radius   der Kantenkugel zu:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Prismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Prisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen