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Bild 1
Regelmäßiges (konvexes) Achteck

Ein Achteck (auch Oktogon oder Oktagon, von lat. octogonum, octagonum, octagonon, von griech. ὀκτάγωνον oktágōnon) ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit acht Ecken und acht Seiten. Achtecke lassen sich, wie alle Polygone, die keine Dreiecke sind, in konvexe, konkave und überschlagene Achtecke einteilen. In Variationen wird dies näher beschrieben und im Anschluss daran das regelmäßige Achteck ausführlich dargestellt.

VariationenBearbeiten

 
Bild 3
Oben: konkaves Achteck
Unten: überschlagenes Achteck
 
Bild 2
Unregelmäßiges Achteck

Das Achteck ist darstellbar als:

  • konvexes Achteck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Achteck kann regelmäßig (Bild 1) oder unregelmäßig (Bild 2) sein.
  • Das regelmäßige Achteck ist bestimmt durch acht Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • konkaves Achteck (Bild 3), in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist.
  • überschlagenes Achteck (Bild 3): Ein überschlagenes Achteck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
 
Bild 5
Sehnenachteck
 
Bild 4
Regelmäßiges überschlagenes Achteck
Stern  
  • Das regelmäßige überschlagene Achteck (Bild 4) ergibt sich, wenn beim Verbinden der acht Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird. Es gibt nur einen regelmäßigen Achtstrahlstern, auch Achterstern oder Oktogramm bezeichnet. Die „Sterne“ mit den Symbolen {8/2} und {8/6} sind Quadrate. Legt man diese zwei Quadrate mit ihren Achs- und Diagonallinien übereinander und dreht sie anschließend relativ zueinander um 45°, siehe die weißen Dreiecke im Stern, ergibt sich ein Achtort.
  • Sehnenachteck (Bild 5), in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.

Regelmäßiges AchteckBearbeiten

FormelnBearbeiten

Größen eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge a
Inkreisradius  
 

 

Umkreisradius

 
 
 

Große Diagonale  
Mittlere Diagonale  
Kleine Diagonale  
Zentriwinkel  
Innenwinkel  
 
Flächeninhalt

 

 

Allgemeine Formeln für regelmäßige n-EckeBearbeiten

Als Ansatz für die folgende Flächenberechnung dienen die Formeln für  -Ecke:

Bei gegebenem Radius   des Inkreises gilt:  

Bei gegebener Seitenlänge   des  -Ecks gilt:  

FlächenberechnungBearbeiten

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der von deren Schenkel eingeschlossene Winkel beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden Basiswinkel des Dreieckes betragen je 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

  •   ist die Seitenlänge des Achtecks
  •   ist die halbe Seitenlänge des Achtecks
  •   ist der Radius des Inkreises
  •   ist der Radius des Umkreises
  •   ist die Fläche des Achtecks
  •   ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Gegeben sei der Radius des Inkreises  :
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22,5° ermitteln:

 

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

 

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

  … (Formel 1)

Gegeben sei die Seitenlänge   des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius   des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22,5° ermitteln,   sei die Hälfte von  :

  … (Formel 2)

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

 

Setzt man   in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

 

Gegeben sei der Radius   des Umkreises:
Das Verhältnis   zu   entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

 

Der Radius   des Inkreises beträgt (siehe Formel 2)

 

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

 

Setzt man   in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

 

bzw. mit den Additionstheoremen für die Winkelfunktionen

 

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

Bei gegebenem UmkreisBearbeiten

 
Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebenem Umkreis
 
Achteck, konstruiert aus einem Quadrat, Umkreisdurchmesser durch Diagonale   vorgegeben

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten   konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis, mit den Ecken des Quadrats verbindet.

Eine Alternative zeigt die nebenstehende Animation.

Bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

 
Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebener Seitenlänge, siehe Animation.

Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlänge   mit   und   bezeichnet; beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks. Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius   um den Punkt   und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt  , dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte   und  . Es geht weiter mit der Halbgeraden ab   durch   und dem Zeichnen einer Parallelen zu   ab dem Punkt  , die den Kreisbogen um   in   schneidet. Nun wird der Punkt   mit   verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt  . Anschließend wird die Halbgerade ab   durch   gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab   in  . Somit ist der Mittelpunkt   des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab   durch   führt zum Zentriwinkel  . Nach dem Einzeichnen des Umkreises um   und durch   ergeben sich die Ecken   und   des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen   auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken   und  , und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

Der Mittelpunktswinkel   mit der Winkelweite   ergibt sich aus den ähnlichen Dreiecken  

 

VorkommenBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Achteck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Achteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen