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Tangentenfünfeck mit Inkreis

Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) in der euklidischen Ebene ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt, er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der größte Kreis, der vollständig in dem gegebenen Polygon liegt.

Nur solche Polygone, bei denen sich alle Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Polygons in einem Punkt schneiden, besitzen einen Inkreis. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall der Mittelpunkt des Inkreises.

Existiert der Inkreis eines Polygons mit Flächeninhalt und Umfang , so hat der Inkreisradius den Wert

.

Inhaltsverzeichnis

Inkreis eines DreiecksBearbeiten

 
Dreieck mit Inkreis

Eine besonders große Bedeutung hat der Inkreis in der Dreiecksgeometrie. Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis, sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt (die Seite wird somit eine Kreistangente des Inkreises), so berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.

Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels   haben den gleichen Abstand von den Seiten   und  . Entsprechend haben die Punkte der Winkelhalbierenden von   den gleichen Abstand von   und  . Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von allen drei Seiten des Dreiecks ( ,   und  ) gleichen Abstand. Er muss also auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen – im Gegensatz zu den drei Ankreisen, die jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren.

Der Inkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer  .

RadiusBearbeiten

Ist   der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten  ,   und  , so berechnet sich der Radius   des Inkreises durch:

 

mit

 

Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang interessant:

 

KoordinatenBearbeiten

Die kartesischen Koordinaten des Inkreis-Mittelpunktes berechnen sich als das mit den Seitenlängen der gegenüberliegenden Seiten gewichtete Mittel der Eckpunkt-Koordinaten. Wenn sich die drei Eckpunkte bei  ,   und   befinden und die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten die Längen  ,   und   haben, dann befindet sich der Inkreis-Mittelpunkt bei

 

mit  

Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ( )
Trilineare Koordinaten  
Baryzentrische Koordinaten  

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Die Entfernung zwischen der Ecke A und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich  ; dabei bedeutet   wie oben den halben Umfang. Entsprechendes gilt für die Ecken B und C.
  • Die Verbindungsgeraden der Ecken des Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises schneiden sich in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt.

Inkreis eines rechtwinkligen DreiecksBearbeiten

Liegt speziell ein rechtwinkliges Dreieck in der euklidischen Ebene vor, so lassen sich weitergehende Angaben zum Inkreis eines solchen Dreiecks machen.[1]

Radius des InkreisesBearbeiten

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen  ,   und  , wobei   die Länge der Hypotenuse sein soll, kann man für den Inkreisradius   zwei einfache Gleichungen angeben, welche wie folgt lauten:

 .

FlächenformelBearbeiten

Der Tangentialpunkt, in dem die Hypotenuse den Inkreis berührt, zerlegt diese in die Teilstrecken mit den Längen

 

und

 .

Damit gilt dann in Hinblick auf den Flächeninhalt   des rechtwinkligen Dreiecks

 .

Inkreise anderer VieleckeBearbeiten

Während bei Dreiecken stets ein Inkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in Sonderfällen zu.

Vierecke, die einen Inkreis besitzen, heißen Tangentenvierecke. Zu ihnen gehören alle konvexen Drachenvierecke, insbesondere alle Rauten und Quadrate.

Regelmäßige Polygone haben – unabhängig von der Zahl der Ecken – stets einen Inkreis. Für den Inkreisradius eines regelmäßigen  -Ecks mit der Seitenlänge   gilt:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Inkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. 2013, S. 89–90