Hauptmenü öffnen

Quadrat

ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck
Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d

In der Geometrie ist ein Quadrat (veraltet auch Geviert) ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes und konvexes Viereck mit vier gleichlangen Seiten, die jeweils paarweise zueinander angeordnet sind. Damit ist es das regelmäßige Polygon mit vier Seiten. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, des Trapezes, des Drachenvierecks, des Rechtecks und der Raute. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonalen.

Quadrate sind die Begrenzungsflächen eines der platonischen Körper (= dreidimensionale reguläre Polytope), nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem ein Stein einer regulären Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

EigenschaftenBearbeiten

Für das Quadrat gilt:

FormelsammlungBearbeiten

 
Quadrat mit Umkreis und Inkreis
Größen eines Quadrats mit der Seitenlänge a 
Umfang  
Zentriwinkel  
Innenwinkel  
Inkreisradius  
Umkreisradius  
Diagonalenlänge  
Flächeninhalt  

KonstruktionBearbeiten

Das Quadrat ist ein mit Zirkel und Lineal konstruierbares regelmäßiges Polygon.

Konstruktion mit gegebener SeitenlängeBearbeiten

 
Konstruktion bei gegebener Seite, kommt mit einer einzigen Zirkeleinstellung (Radius = a) aus
  1. Gegeben: Die Seite a mit den Endpunkten A und B.
  2. Ziehe um Ende A einen Kreisbogen (c1, mind. ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius.
  3. Ziehe um Ende B einen Kreisbogen (c2, mind. ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt der Kreise ist Punkt M.
  4. Zeichne eine Gerade durch die Punkte B und M (mind. doppelt so lang wie BM)
  5. Zeichne einen Thaleskreis (ct) um M durch B. Man erhält Punkt E.
  6. Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und E. Der Schnittpunkt mit c1 ist Ecke D des späteren Quadrats.
  7. Ziehe um D der einen Kreisbogen (c3) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt mit c2 ist Ecke C.
  8. Verbinde die Ecken zu einem Quadrat.

Konstruktion mit gegebener DiagonaleBearbeiten

 
Konstruktion bei gegebener Diagonale
  1. Gegeben: Die Diagonale d mit den Endpunkten A und C.
  2. Konstruiere auf der Diagonale die Mittelsenkrechte (blau). Der Schnittpunkt mit der Diagonalen ist der Mittelpunkt M.
  3. Ziehe um M einen Kreis durch A. Die Schnittpunkte mit der Mittelsenkrechten sind die beiden fehlenden Ecken B und D.
  4. Verbinde die Ecken A, B, C, und D zyklisch miteinander.

AnimationenBearbeiten

   
Quadrat mit gegebener Seitenlänge nutzt den Thaleskreis. Es funktioniert auch mit einem anderen Mittelpunkt M, Animation
Quadrat mit gegebener Diagonale, Animation

VerallgemeinerungenBearbeiten

Der Begriff Quadrat wird in der synthetischen Geometrie der affinen Ebene verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für präeuklidische Ebenen die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen Axiom.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Quadrate – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Quadrat – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Quadrat – Lern- und Lehrmaterialien