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Die Mittelsenkrechte oder das Mittellot oder (österreichisch) Streckensymmetrale ist eine besondere Gerade, die in der ebenen Geometrie untersucht wird. Eine Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene.

DefinitionBearbeiten

Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten denselben Abstand haben:

 

Eine andere Definitionsmöglichkeit lautet: Die Mittelsenkrechte ist die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, die durch zwei gegebene Punkte gehen.

Die Mittelsenkrechte ist also eine Gerade, die orthogonal (das heißt senkrecht) auf der Verbindungsstrecke der zwei Punkte steht und durch deren Mittelpunkt geht.

KonstruktionBearbeiten

 
Konstruktion einer Streckensymmetrale

Man konstruiert eine Mittelsenkrechte zwischen zwei gegebenen Punkten   und  , indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichem Radius, der größer als die halbe Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte dieser beiden Kreislinien bestimmen eine Gerade. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke  .

Berechnung im KoordinatensystemBearbeiten

Sind in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem zwei Punkte   und   mit   gegeben, so lautet die Geradengleichung der Mittelsenkrechte:

 

Ist  , so lautet die (Nicht-Funktions-)Gleichung:  

Mittelsenkrechten im DreieckBearbeiten

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, nämlich im Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks (siehe dazu auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck).

 
Mittelsenkrechte im gleichschenkligen Dreieck quasi als Winkelhalbierende; der Scheitel liegt außerhalb der Zeichenebene.

Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte, für den Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel, auch die Funktion der Winkelhalbierenden erfüllen. Dies ist insbesondere bei gleichschenkligen Dreiecken vorteilhaft, bei denen der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt.

MittellotebeneBearbeiten

Die Mittellotebene zu zwei Punkten   und   im Raum ist die Ebene, die zur Verbindungsstrecke   senkrecht ist und durch den Mittelpunkt   dieser Strecke geht, also die Symmetrieebene der Punkte   und  .

In der analytischen Geometrie erhält man eine Gleichung der Mittellotebene in Normalenform dadurch, dass man den Vektor   als Normalenvektor und den Punkt   (mit dem Ortsvektor  ) als Aufpunkt verwendet:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Rolf Baumann: Geometrie. mit Übungen und Lösungen. Mentor, München 2002, Kapitel 3.1.
  • Cornelia Niederdrenk-Felgner: Lambacher-Schweizer. Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden Württemberg). Klett, Stuttgart 1994, ISBN 3-12-731370-5.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Mittelsenkrechte – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen