Mittelsenkrechte

Begriff aus der Mathematik

Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene einer Strecke.

Mittelsenkrechte
Mittellotebene
(S): In der ebenen Geometrie ist die Mittelsenkrechte oder das Mittellot[1] oder (österreichisch) die Streckensymmetrale[2] diejenige Gerade durch den Mittelpunkt einer Strecke, die auf der Strecke senkrecht steht.

Anwendungen:
Mittelsenkrechten tragen oft zur Lösung von geometrischen Problemen bei, z. B.
a) bei der zeichnerischen Bestimmung des Mittelpunktes einer Strecke, um einen Thaleskreis zu konstruieren,
b) bei der Bestimmung des Umkreismittelpunktes eines Dreiecks,
c) bei der zeichnerischen Rekonstruktion des Mittelpunktes eines Kreises, wenn 3 Punkte des Kreises gegeben sind,
d) bei der Bestimmung einer Geraden oder Ebene, um durch Spiegeln an dieser einen Punkt auf einen Punkt abzubilden.
e) In Voronoi-Diagrammen spielen sie eine Rolle als Begrenzungen.

Weitere DefinitionenBearbeiten

In der EbeneBearbeiten

Zur Definition (S) in der Einleitung sind die folgenden Definitionen (D) und (M2) äquivalent:

(D): Die Mittelsenkrechte einer Strecke   ist die Menge aller Punkte   mit der Eigenschaft  .

Der Beweis (siehe Bild im nächsten Abschnitt) folgt aus der Eigenschaft   des Mittelpunktes   und dem Satz des Pythagoras:

 

Die Gleichung   lässt sich auch so interpretieren:   ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch   und   geht. Damit gibt es die weitere Definition:

(M2): Die Mittelsenkrechte einer Strecke   ist die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, die durch   gehen.

Im RaumBearbeiten

Geht man von Punkten   im 3-dimensionalen Raum aus, so definiert man (analog zum ebenen Fall):

(D): Die Mittellotebene einer Strecke   ist die Menge aller Punkte   mit der Eigenschaft  .

Der Nachweis der Äquivalenz zur Definition in der Einleitung verläuft analog zum ebenen Fall.

Konstruktion der Mittelsenkrechten und des MittelpunktesBearbeiten

 
Konstruktion der Mittelsenkrechten

Aufgrund der Definition (D) der Mittelsenkrechten und der Tatsache, dass eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, genügt es, zwei Punkte   zu finden mit der Eigenschaft  :

Mittelsenkrechte

Man konstruiert die Mittelsenkrechte zu zwei gegebenen Punkten   und  , indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichem Radius, der größer als die halbe Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte   dieser beiden Kreislinien bestimmen die Mittelsenkrechte der Strecke  .[3]

Mittelpunkt

Da die Konstruktion der Mittelsenkrechten ohne Kenntnis des Mittelpunktes   auskommt, kann man den Mittelpunkt als Schnitt der so konstruierten Mittelsenkrechten mit der Strecke   bestimmen.

GleichungenBearbeiten

Sind   und   die Ortsvektoren der Punkte   und  , so ist   der Mittelpunkt von   und   ein Normalenvektor der Mittelsenkrechten. Eine Normalenform der Mittelsenkrechten ist dann  . Ersetzen von   durch   und Ausmultiplizieren liefert die Gleichung der Mittelsenkrechten in Vektorform:

(V):  

Mit   und   erhält man die Koordinatenform:

(K2):  

Falls  , kann man zur expliziten Form (siehe Orthogonalität und Punktsteigungsform)

(E2): 

mit  ,   und   übergehen.

Die Vektordarstellung der Mittellotebene ist wörtlich gleich mit (V). Die Koordinatendarstellung ist um eine Koordinate erweitert:

(K3):  

BeispieleBearbeiten

 
Für jede Position der Strecke   (grün) auf der zu ihr rechtwinkligen Geraden   (blau) gilt für die Mittelsenkrechte   (rot) die Geradengleichung  

In der EbeneBearbeiten

  (grün) sei die Strecke mit den Endpunkten   und  . Dann ist   und  

Setzt man diese Werte in die obige Koordinatengleichung (K2) ein, so ergibt sich für die Geradengleichung der Mittelsenkrechten:

 

Im RaumBearbeiten

Für   und   ergibt sich aus der obigen Gleichung (K3) die Koordinatengleichung der Mittellotebene

 
 
Die Mittellotebene (blau) verläuft rechtwinklig zur Strecke   (grün) durch deren Mittelpunkt   (rot)

Mittelsenkrechten im DreieckBearbeiten

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, nämlich im Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks (siehe dazu auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck).[4]

Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte, für den Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel, auch die Funktion der Winkelhalbierenden erfüllen. Dies ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt.

 
Mittelsenkrechte im gleichschenkligen Dreieck quasi als Winkelhalbierende; der Scheitel liegt außerhalb der Zeichenebene
 
Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Rolf Baumann: Geometrie. Mit Übungen und Lösungen. Mentor, München 2002, Kapitel 3.1.
  • Cornelia Niederdrenk-Felgner: Lambacher-Schweizer. Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden-Württemberg). Klett, Stuttgart 1994, ISBN 3-12-731370-5.

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Mittelsenkrechte – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dieter Neßelmann: Axiomatische Geometrie. 22. Februar 2010, 5. Ergänzungen, S. 143, Definition 5.5.3 (online [PDF; 6,5 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  2. Karl Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. In: Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher. Band 12. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, II. Parallelprojektion und perspektive Affinität, S. 18 (online [PDF; 12,6 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  3. Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.3. Die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke mit Zirkel und Lineal, S. 37, Abbildung 44. Konstruktion der Mittelsenkrechte der Strecke   (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  4. Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.5. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks, S. 40 (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).