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Die Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Normalenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Die Normalenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Eine Variante der Normalenform stellt die hessesche Normalform dar, bei der der Normalenvektor normiert und orientiert ist und statt des Stützvektors der Abstand vom Koordinatenursprung verwendet wird.

Normalenform einer GeradengleichungBearbeiten

 
Normalenform der Geradengleichung  

DarstellungBearbeiten

In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor   und einen Normalenvektor   beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei bezeichnet   das Skalarprodukt zweier Vektoren, welches null ist, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade, der auch als Stützpunkt oder Aufpunkt bezeichnet wird. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet. In der Normalenform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor der Gerade steht. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist

 .

Ein Punkt, dessen Ortsvektor   die Normalengleichung nicht erfüllt, liegt für   auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite.

BeispielBearbeiten

Ausgeschrieben lautet die Normalenform einer Geradengleichung

 .

Im Bild oben ist beispielsweise der Stützvektor   und der Normalenvektor  , und man erhält als Geradengleichung

 .

Jede Wahl von  , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht dann einem Geradenpunkt.

BerechnungBearbeiten

Aus der ParameterformBearbeiten

Aus der Parameterform einer Geradengleichung lässt sich ein Normalenvektor der Geraden bestimmen, indem die beiden Komponenten des Richtungsvektors   der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt

 .

Der Stützvektor   kann aus der Parameterform übernommen werden.

Aus der ZweipunkteformBearbeiten

Aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung wird zunächst ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren   und   der beiden Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform verfahren, also

 .

Als Stützvektor   kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

Aus der KoordinatenformBearbeiten

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern   und   lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als

 

ablesen. Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob   oder   ungleich null ist, durch Wahl von

    oder    .

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform einer Geradengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.

Normalenform einer EbenengleichungBearbeiten

 
Normalenform einer Ebenengleichung

DarstellungBearbeiten

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Normalenform ebenfalls durch einen Stützvektor   und einen Normalenvektor   beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei wiederum der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene und der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das bedeutet, dass der Normalenvektor mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel bildet. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist wiederum

 

und ein Punkt, dessen Ortsvektor   die Normalengleichung erfüllt, liegt auf der Ebene. Gilt  , dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

BeispielBearbeiten

Ausgeschrieben lautet die Normalenform einer Ebenengleichung

 .

Ist beispielsweise der Stützvektor   und der Normalenvektor  , so erhält man als Ebenengleichung

 .

Jede Wahl von  , die die Ebenengleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht dann einem Ebenenpunkt.

BerechnungBearbeiten

Aus der ParameterformBearbeiten

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit den beiden Richtungsvektoren   und   lässt sich ein Normalenvektor der Ebene durch Berechnung des Kreuzprodukts

 

bestimmen. Der Stützvektor   kann aus der Parameterform übernommen werden.

Aus der DreipunkteformBearbeiten

Aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung werden zunächst zwei Richtungsvektoren als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren  ,   und   jeweils zweier Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform das Kreuzprodukt

 

berechnet. Als Stützvektor   kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

Aus der KoordinatenformBearbeiten

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern   und   lässt sich ein Normalenvektor der Ebene als

 

ablesen. Einen Stützvektor erhält man, je nachdem welche der Zahlen   ungleich null ist, durch Wahl von

    oder    .

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.

HerleitungBearbeiten

 
Zur Herleitung der Normalenform einer Ebenengleichung

Der Ortsvektor   eines beliebigen Geraden- oder Ebenenpunkts lässt sich als Summe

 

darstellen, wobei   senkrecht zur Gerade oder Ebene, also parallel zu  , und   parallel zur Gerade oder Ebene, also senkrecht zu  , verläuft. Dann ist

 ,

da   als Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren stets null ist. Der Anteil   ist aber für jeden auf der Gerade oder Ebene liegenden Punkt der gleiche, also ist für jeden Punkt der Gerade oder Ebene   konstant. Damit folgt die Normalenform

 ,

wobei   ein beliebig ausgewählter Punkt auf der Gerade oder Ebene ist.

VerallgemeinerungBearbeiten

Allgemein wird durch eine Normalengleichung eine Hyperebene im  -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im  -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

beziehungsweise

 

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit  -komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet. Eine Hyperebene teilt den  -dimensionalen Raum in zwei Teile, die Halbräume genannt werden. Gilt  , dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen. Ein Punkt, dessen Ortsvektor die Normalengleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene.

LiteraturBearbeiten

  • Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1.
  • Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente Der Linearen Algebra Und Der Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-3-8274-2255-2.

WeblinksBearbeiten