Hauptmenü öffnen

Parameterform

spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung
(Weitergeleitet von Richtungsvektor)

Die Parameterform oder Punktrichtungsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Parameterform wird eine Gerade durch einen Ortsvektor (Stützvektor) und einen Richtungsvektor dargestellt. Jeder Punkt der Geraden wird dann in Abhängigkeit von einem Parameter beschrieben. Eine Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben. Bei der Parameterform handelt es sich also um eine spezielle Parameterdarstellung.

Parameterform einer GeradengleichungBearbeiten

 
Parameterdarstellung einer Gerade

DarstellungBearbeiten

In der Parameterform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor   und einen Richtungsvektor   beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren   die Gleichung

    mit    

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Geraden, der auch als Aufpunkt bezeichnet wird. Der Richtungsvektor ist der Differenzvektor (Verbindungsvektor) zu einem beliebigen weiteren Punkt der Geraden. In der Parameterform werden die Punkte der Geraden in Abhängigkeit von dem Parameter   dargestellt. Jedem Wert von   entspricht genau ein Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter die reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden. Ist   ein Einheitsvektor, dann gibt   gerade den Abstand eines Punkts auf der Geraden vom Aufpunkt an.

BeispielBearbeiten

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Geradengleichung

 

mit  . Im Bild oben ist der Stützvektor   und der Richtungsvektor  , man erhält als Geradengleichung

 .

Jede Wahl von  , beispielsweise   oder  , ergibt dann einen Geradenpunkt.

BerechnungBearbeiten

Aus der ZweipunkteformBearbeiten

Aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung lässt sich ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren   und   der beiden Punkte erhalten, das heißt

 .

Als Stützvektor   kann der Ortsvektor eines der Punkte verwendet werden.

Aus der NormalenformBearbeiten

Aus der Normalenform einer Geradengleichung kann ein Richtungsvektor der Geraden bestimmt werden, indem die beiden Komponenten des Normalenvektors   der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt

 .

Der Stützvektor   kann aus der Normalenform übernommen werden.

Aus der KoordinatenformBearbeiten

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern   und   lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als   ablesen und damit ein Richtungsvektor der Gerade analog zur Normalenform über

 

ermitteln. Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob   oder   ungleich null ist, durch Wahl von

    oder    .

Analog lassen sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform und der hesseschen Normalform ein Stützvektor und ein Richtungsvektor berechnen.

VerallgemeinerungBearbeiten

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch Geraden im drei- oder höherdimensionalen Raum beschreiben. Im  -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren   die Gleichung

    mit    

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit  -komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet.

Parameterform einer EbenengleichungBearbeiten

 
Parameterdarstellung einer Ebene

DarstellungBearbeiten

In der Parameterform wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum durch einen Stützvektor   und zwei Richtungsvektoren   und   beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren   die Gleichung

    mit    

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, der wiederum als Aufpunkt bezeichnet wird. Die beiden Richtungsvektoren, hier auch Spannvektoren genannt, müssen in der Ebene liegen und ungleich dem Nullvektor sein. Sie dürfen auch nicht kollinear sein, das heißt   darf sich nicht als Vielfaches von   schreiben lassen und umgekehrt. In der Parameterform werden die Punkte der Ebene in Abhängigkeit von den zwei Parametern   und   dargestellt. Jedem Wertepaar dieser Parameter entspricht dann genau ein Punkt der Ebene. Die Richtungsvektoren spannen somit ein affines Koordinatensystem auf, wobei   die affinen Koordinaten eines Punkts der Ebene sind.

BeispielBearbeiten

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Ebenengleichung

 

mit  . Ist beispielsweise der Stützvektor   und sind die Richtungsvektoren   und  , so erhält man als Ebenengleichung

 .

Jede Wahl von  , beispielsweise   oder  , ergibt dann einen Ebenenpunkt.

BerechnungBearbeiten

Aus der DreipunkteformBearbeiten

Aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung lassen sich zwei Richtungsvektoren der Ebene als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren  ,   und   jeweils zweier Punkte erhalten, also

    und    .

Als Stützvektor   kann der Ortsvektor eines der Punkte verwendet werden.

Aus der NormalenformBearbeiten

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung können aus dem Normalenvektor   zwei Richtungsvektoren der Ebene durch Setzen von

    und    

bestimmt werden. Sollte einer dieser beiden Vektoren gleich dem Nullvektor sein, kann stattdessen der Vektor   gewählt werden. Der Stützvektor   kann aus der Normalenform übernommen werden.

Aus der KoordinatenformBearbeiten

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern   und   lässt sich ein Normalenvektor der Ebene als   ablesen und damit zwei Richtungsvektoren der Ebene über

    und    

ermitteln. Sollte einer dieser beiden Vektoren gleich dem Nullvektor sein, kann stattdessen der Vektor   gewählt werden. Einen Stützvektor erhält man, je nachdem welche der Zahlen   ungleich null ist, durch Wahl von

    oder    .

Analog lassen sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform und der hesseschen Normalform ein Stützvektor und ein beziehungsweise zwei Richtungsvektoren berechnen.

VerallgemeinerungBearbeiten

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Ebenen im dreidimensionalen Raum, sondern auch in höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im  -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Ebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren   die Gleichung

    mit    

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit  -komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten