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Ein Einheitsvektor ist in der analytischen Geometrie ein Vektor der Länge Eins. In der linearen Algebra und der Funktionalanalysis wird der Begriff der Länge auf allgemeine Vektorräume zum Begriff der Norm verallgemeinert. Ein Vektor in einem normierten Vektorraum, das heißt einem Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, heißt Einheitsvektor oder normierter Vektor, wenn seine Norm Eins beträgt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Ein Element   eines normierten Vektorraumes   heißt Einheitsvektor, wenn   gilt. Einheitsvektoren werden in den Anwendungen gewöhnlich mit einem Hut über der Variablen gekennzeichnet ( ).[1]

EinordnungBearbeiten

Einen gegebenen, vom Nullvektor verschiedenen Vektor   kann man normieren, indem man ihn durch seine Norm (= seinen Betrag) dividiert:

 

Dieser Vektor ist der Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung wie   zeigt. Er spielt z. B. eine Rolle beim Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren oder der Berechnung der Hesseschen Normalform.

Die Elemente einer Basis (= Basisvektoren) werden oft als Einheitsvektoren gewählt, denn durch die Verwendung von Einheitsvektoren werden viele Rechnungen vereinfacht. Zum Beispiel ist in einem euklidischen Raum das Standardskalarprodukt zweier Einheitsvektoren gleich dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden.

Endlichdimensionaler FallBearbeiten

 
Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene

In den endlichdimensionalen reellen Vektorräumen   besteht die am häufigsten bevorzugte Standardbasis aus den kanonischen Einheitsvektoren

 .

Fasst man die kanonischen Einheitsvektoren zu einer Matrix zusammen, erhält man eine Einheitsmatrix.

Die Menge der kanonischen Einheitsvektoren des   bildet bezüglich des kanonischen Skalarprodukts eine Orthonormalbasis, d. h. je zwei kanonische Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander (=„ortho“), alle sind normiert (=„normal“) und sie bilden eine Basis.

BeispielBearbeiten

Die drei kanonischen Einheitsvektoren des dreidimensionalen Vektorraums   werden in den Naturwissenschaften auch mit   bezeichnet:

 

Unendlichdimensionaler FallBearbeiten

In unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen (= VR mit Skalarprodukt) bildet die (unendliche) Menge der kanonischen Einheitsvektoren zwar noch ein Orthonormalsystem, aber nicht notwendig eine (Vektorraum-)Basis. In Hilberträumen gelingt es jedoch durch Zulassung unendlicher Summen, jeden Vektor des Raumes darzustellen, man spricht deshalb weiter von einer Orthonormalbasis.

Siehe auchBearbeiten

  Wiktionary: Einheitsvektor – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Principles Of Physics: A Calculus-based Text, Band 1, Raymond A. Serway, John W. Jewett, Verlag: Cengage Learning, 2006, ISBN 9780534491437, S. 19, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche

LiteraturBearbeiten