Hauptmenü öffnen

Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) sind und deren lineare Hülle dicht im Vektorraum liegt. Im endlichdimensionalen Fall ist dies eine Basis des Vektorraums. Im unendlichdimensionalen Fall handelt es sich nicht um eine Vektorraumbasis im Sinn der linearen Algebra.

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Vektoren auf die Länge eins normiert sind, so spricht man von einer Orthogonalbasis.

Der Begriff der Orthonormalbasis ist sowohl im Fall endlicher Dimension als auch für unendlichdimensionale Räume, insbesondere Hilberträume, von großer Bedeutung.

Endlichdimensionale RäumeBearbeiten

Im Folgenden sei   ein endlichdimensionaler Innenproduktraum, das heißt, ein Vektorraum über   oder   mit Skalarprodukt  . Im komplexen Fall wird dabei vorausgesetzt, dass das Skalarprodukt linear im zweiten Argument und semilinear im ersten ist, also

 

für alle Vektoren   und alle  . Mit   wird die durch das Skalarprodukt induzierte Norm bezeichnet.

Definition und ExistenzBearbeiten

Unter einer Orthonormalbasis eines  -dimensionalen Innenproduktraums   versteht man eine Basis   von  , die ein Orthonormalsystem ist, das heißt:

  • Jeder Basisvektor hat die Norm eins:
      für alle  .
  • Die Basisvektoren sind paarweise orthogonal:
      für alle   mit  .

Jeder endlichdimensionale Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eine Orthonormalbasis. Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens lässt sich jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen.

Da Orthonormalsysteme stets linear unabhängig sind, bildet in einem  -dimensionalen Innenproduktraum ein Orthonormalsystem aus   Vektoren bereits eine Orthonormalbasis.

Händigkeit der BasisBearbeiten

Gegeben sei eine geordnete Orthonormalbasis   von  . Dann ist die Matrix

 

gebildet aus den als Spaltenvektoren notierten Vektoren   orthogonal und hat deshalb die Determinante +1 oder −1. Falls   bilden die Vektoren   ein Rechtssystem.

BeispieleBearbeiten

 
Die Orthonormalbasis   im   und ein mit ihr dargestellter Vektor  
Beispiel 1
Die Standardbasis des  , bestehend aus den Vektoren
 
ist eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums   (ausgestattet mit dem Standardskalarprodukt): Sie ist eine Basis des  , jeder dieser Vektoren hat die Länge 1, und je zwei dieser Vektoren stehen senkrecht aufeinander, denn ihr Skalarprodukt ist 0.
Allgemeiner ist im Koordinatenraum   bzw.  , versehen mit dem Standardskalarprodukt, die Standardbasis   eine Orthonormalbasis.
Beispiel 2
Die zwei Vektoren
    und    
bilden in   mit dem Standardskalarprodukt ein Orthonormalsystem und daher auch eine Orthonormalbasis von  .

Koordinatendarstellung bezüglich einer OrthonormalbasisBearbeiten

VektorenBearbeiten

Ist   eine Orthonormalbasis von  , so lassen sich die Komponenten eines Vektors   bezüglich dieser Basis besonders leicht als Orthogonalprojektionen berechnen. Hat   bezüglich der Basis   die Darstellung

 

so gilt

  für  

denn

 

und damit

 

Im Beispiel 2 oben gilt für den Vektor  :

    und
 

und damit

 

Das SkalarproduktBearbeiten

In Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis hat jedes Skalarprodukt die Form des Standardskalarprodukts. Genauer:

Ist   eine Orthonormalbasis von   und haben die Vektoren   und   bezüglich   die Koordinatendarstellung   und  , so gilt

 

im reellen Fall, bzw.

 

im komplexen Fall.

Orthogonale AbbildungenBearbeiten

Ist   eine orthogonale (im reellen Fall) bzw. eine unitäre Abbildung (im komplexen Fall) und ist   eine Orthonormalbasis von  , so ist die Darstellungsmatrix von   bezüglich der Basis   eine orthogonale bzw. eine unitäre Matrix.

Bezüglich beliebiger Basen ist diese Aussage falsch.

Unendlichdimensionale RäumeBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Prähilbertraum und sei   die durch das Skalarprodukt induzierte Norm. Eine Teilmenge   heißt Orthonormalsystem, falls   und   für alle   mit   gilt.

Ein Orthonormalsystem, dessen lineare Hülle dicht im Raum liegt, heißt Orthonormalbasis oder Hilbertbasis des Raums.

Es ist zu beachten, dass im Sinne dieses Abschnitts, im Gegensatz zur endlichen Dimension, eine Orthonormalbasis keine Hamelbasis, also keine Basis im Sinn der linearen Algebra ist. Das heißt, ein Element aus   lässt sich im Allgemeinen nicht als Linearkombination aus endlich vielen Elementen aus   darstellen, sondern nur mit abzählbar unendlich vielen, also als unbedingt konvergente Reihe.

CharakterisierungBearbeiten

Für einen Prähilbertraum   sind folgende Aussagen äquivalent:

  •   ist eine Orthonormalbasis.
  •   ist ein Orthonormalsystem und es gilt die parsevalsche Gleichung:
  für alle  .

Ist   sogar vollständig, also ein Hilbertraum, ist dies zusätzlich äquivalent zu:

  • Das orthogonale Komplement   von   ist der Nullraum, denn allgemein gilt für eine Teilmenge  , dass  .
  • Konkreter: Es gilt genau dann  , wenn für alle   das Skalarprodukt   ist.
  •   ist ein bezüglich der Inklusion maximales Orthonormalsystem, d. h. jedes Orthonormalsystem, das   enthält, ist gleich  . Wäre ein maximales   kein Orthonormalsystem, so existierte ein Vektor im orthogonalen Komplement, normierte man dieses und fügte es zu   hinzu, erhielte man wiederum ein Orthonormalsystem.

ExistenzBearbeiten

Mit dem Lemma von Zorn lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum   eine Orthonormalbasis besitzt: Man betrachte die Menge aller Orthonormalsysteme in   mit der Inklusion als partieller Ordnung. Diese ist nichtleer, da die leere Menge ein Orthonormalsystem ist. Jede aufsteigende Kette solcher Orthonormalsysteme bezüglich der Inklusion ist durch die Vereinigung nach oben beschränkt: Denn wäre die Vereinigung kein Orthonormalsystem, so enthielte sie einen nicht normierten oder zwei verschiedene nicht orthogonale Vektoren, die bereits in einem der vereinigten Orthonormalsysteme hätten vorkommen müssen. Nach dem Lemma von Zorn existiert somit ein maximales Orthonormalsystem – eine Orthonormalbasis. Statt aller Orthonormalsysteme kann man auch nur die Orthonormalsysteme, die ein gegebenes Orthonormalsystem enthalten, betrachten. Dann erhält man analog, dass jedes Orthonormalsystem zu einer Orthogonalbasis ergänzt werden kann.

Alternativ lässt sich das Gram-Schmidt-Verfahren auf   oder eine beliebige dichte Teilmenge anwenden und man erhält eine Orthonormalbasis.

Jeder separable Prähilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis. Hierfür wähle man eine (höchstens) abzählbare dichte Teilmenge und wende auf diese das Gram-Schmidt-Verfahren an. Hierbei ist die Vollständigkeit nicht notwendig, da stets nur Projektionen auf endlichdimensionale Unterräume durchzuführen sind, welche stets vollständig sind. Hierdurch erhält man eine (höchstens) abzählbare Orthonormalbasis. Umgekehrt ist auch jeder Prähilbertraum mit einer (höchstens) abzählbaren Orthonormalbasis separabel.

Entwicklung nach einer OrthonormalbasisBearbeiten

Ein Hilbertraum   mit einer Orthonormalbasis   hat die Eigenschaft, dass für jedes   die Reihendarstellung

 

gilt. Diese Reihe konvergiert unbedingt. Ist der Hilbertraum endlichdimensional, so fällt der Begriff der unbedingten Konvergenz mit dem der absoluten Konvergenz zusammen. Diese Reihe nennt man auch verallgemeinerte Fourier-Reihe. Wählt man nämlich den Hilbertraum   der reellwertigen quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

 

dann ist

 

mit

  für   und  

ein Orthonormalsystem und sogar eine Orthonormalbasis von  . Bezüglich dieser Basis sind

 
 

und

 

gerade die Fourier-Koeffizienten der Fourier-Reihe von  . Daher ist die Fourier-Reihe gerade die Reihendarstellung eines Elements aus   bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis.

Weitere BeispieleBearbeiten

Sei   der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen. Die Menge   ist eine Orthonormalbasis von  .

LiteraturBearbeiten