Orthogonalprojektion

senkrechte Abbildung

Eine Orthogonalprojektion (von gr. ὀρθός orthós gerade, γωνία gōnía Winkel und lat. prōicere, PPP prōiectum vorwärtswerfen), orthogonale Projektion oder senkrechte Projektion ist eine Abbildung, die in vielen Bereichen der Mathematik eingesetzt wird. In der Geometrie ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts auf eine Gerade oder eine Ebene, sodass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild mit dieser Gerade oder Ebene einen rechten Winkel bildet. Das Abbild hat dann von allen Punkten der Gerade oder Ebene den kürzesten Abstand zum Ausgangspunkt. Eine Orthogonalprojektion ist damit ein Spezialfall einer Parallelprojektion, bei der die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Gerade oder Ebene ist.

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene : Der Verbindungsvektor zwischen dem Punkt und seinem Abbild bildet mit der Ebene einen rechten Winkel.

In der linearen Algebra wird dieses Konzept auf höherdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen und allgemeinere Winkel- und Abstandsbegriffe erweitert. Eine Orthogonalprojektion ist dann die Projektion eines Vektors auf einen Untervektorraum, sodass der Differenzvektor aus Abbild und Ausgangsvektor in dessen orthogonalem Komplement liegt. In der Funktionalanalysis wird der Begriff noch weiter in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen gefasst und insbesondere auf Funktionen angewandt. Die Existenz und Eindeutigkeit solcher Orthogonalprojektionen stellt dann der Projektionssatz sicher.

Orthogonalprojektionen besitzen vielfältige Einsatzbereiche innerhalb der Mathematik, beispielsweise in der darstellenden Geometrie, dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren, der Methode der kleinsten Quadrate, dem Verfahren der konjugierten Gradienten, der Fourier-Analysis oder der Bestapproximation. Sie besitzen Anwendungen unter anderem in der Kartografie, der Architektur, der Computergrafik und der Physik.

Darstellende GeometrieBearbeiten

 
Prinzip einer Dreitafelprojektion

In der darstellenden Geometrie und im technischen Zeichnen dienen Projektionen dazu, zweidimensionale Abbildungen von dreidimensionalen geometrischen Körpern herzustellen. Neben der Zentralprojektion kommen hierbei häufig Parallelprojektionen zum Einsatz. Eine Parallelprojektion ist eine Abbildung, die Punkte des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenen Bildebene abbildet, wobei die Projektionsstrahlen zueinander parallel sind. Treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene, so spricht man von einer Orthogonalprojektion.

Werden statt einer Bildebene drei Projektionsebenen verwendet, die aufeinander senkrecht stehen, dann handelt es sich um eine Dreitafelprojektion oder Normalprojektion. Meist liegen dabei die Projektionsebenen parallel zu den Achsen des verwendeten (kartesischen) Koordinatensystems. Besitzt ein Punkt im Raum dann die Koordinaten  , so erhält man die Orthogonalprojektionen des Punkts auf die drei Koordinatenebenen durch

    (Projektion auf die xy-Ebene)
    (Projektion auf die xz-Ebene)
    (Projektion auf die yz-Ebene)

Verläuft eine Projektionsebene zwar parallel zu zwei der Koordinatenachsen, aber nicht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems, so erhält man den projizierten Punkt durch Ersetzen des Werts   durch den Schnittpunkt der Ebene mit der dritten Koordinatenachse. Bei einer orthogonalen Axonometrie, beispielsweise einer Isometrie oder einer Dimetrie, wird das abzubildende Objekt vor der Projektion auf spezifische Weise gedreht.

Analytische GeometrieBearbeiten

Die analytische Geometrie beschäftigt sich mit der Berechnung und den mathematischen Eigenschaften von Orthogonalprojektionen im zwei- und dreidimensionalen Raum, insbesondere für den Fall, dass die Projektionsebene nicht parallel zu den Koordinatenachsen liegt.

Projektion auf eine GeradeBearbeiten

 
Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Gerade  . Das Lot   steht auf der Gerade senkrecht.

DefinitionBearbeiten

In der euklidischen Ebene ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts   auf eine Gerade  , derart dass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild   einen rechten Winkel mit der Gerade bildet. Eine Orthogonalprojektion muss demnach die beiden Bedingungen

  •     (Projektion)
  •     (Orthogonalität)

erfüllen. Die Linie   heißt Lot des Punkts auf die Gerade und der projizierte Punkt   wird Lotfußpunkt genannt. Die zeichnerische Konstruktion des Lots mit Zirkel und Lineal ist eine Standardaufgabe der euklidischen Geometrie und man spricht dabei vom Fällen des Lots.

HerleitungBearbeiten

 
Orthogonalprojektion   eines Vektors   auf eine Gerade   mit Stützvektor   und Richtungsvektor  

In der analytischen Geometrie werden Punkte im kartesischen Koordinatensystem durch Ortsvektoren   beschrieben und Geraden typischerweise als Geradengleichung in Parameterform  , wobei   der Ortsvektor eines Geradenpunkts,   der Richtungsvektor der Geraden und   ein reeller Parameter ist. Zwei Vektoren   und   bilden dabei einen rechten Winkel, wenn ihr Skalarprodukt   ist. Die Orthogonalprojektion   auf die Gerade   muss die beiden Bedingungen

  •  
  •  

für ein   erfüllen.

Wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt, so erhält man

 ,

was nach   aufgelöst

 

ergibt.

Verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Nullpunkt, dann gilt   und die Formel vereinfacht sich zu

 .

Ist zudem der Richtungsvektor der Gerade ein Einheitsvektor, gilt also  , so erhält man die einfachere Darstellung

 .

Der Faktor   gibt dann an, wie weit der projizierte Punkt auf der Gerade vom Nullpunkt entfernt ist. Analog kann auch ein Punkt   im euklidischen Raum auf eine Gerade im Raum orthogonal projiziert werden, es wird lediglich mit drei statt zwei Komponenten gerechnet.

BeispieleBearbeiten

Die Orthogonalprojektion des Punkts mit   auf die Ursprungsgerade mit Richtung   in der euklidischen Ebene ist

 .

Die Orthogonalprojektion des Punkts mit   auf die Ursprungsgerade mit Richtung   im euklidischen Raum ist

 .

EigenschaftenBearbeiten

Befindet sich der zu projizierende Punkt   bereits auf der Gerade, dann gibt es eine Zahl   mit   und die Orthogonalprojektion

 

verändert den Punkt nicht. Andernfalls minimiert die Orthogonalprojektion den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und allen Geradenpunkten, da für das Quadrat dieses Abstands nach dem Satz des Pythagoras

 

für alle Zahlen   gilt. Das Minimum wird dabei eindeutig an dem orthogonal projizierten Punkt angenommen, da der erste Term der Summe genau für   null wird. Bilden die Vektoren   und   einen rechten Winkel, so ist der projizierte Punkt der Nullpunkt.

BerechnungBearbeiten

Die Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Gerade  , die keine Ursprungsgerade ist, ist durch

 .

gegeben, was durch Einsetzen der allgemeinen Geradengleichung in die Orthogonalitätsbedingung und durch Auflösen nach dem freien Parameter   ermittelt werden kann. Aus dem Allgemeinfall erhält man die obigen Spezialfälle, indem der Stützvektor der Gerade in den Nullpunkt verschoben wird und ihr Richtungsvektor normiert wird, also durch seinen Betrag geteilt wird. In dem Beispiel der obigen Abbildung ist  ,   sowie   und damit  .

Alternativ kann eine Orthogonalprojektion im zweidimensionalen Fall auch durch Ermittlung des Schnittpunkts der Ausgangsgeraden mit der Lotgeraden berechnet werden. Ist   ein Normalenvektor der Ausgangsgeraden, so folgt aus den beiden Bedingungen

  •  
  •  

durch Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite Gleichung und Auflösen nach dem freien Parameter   für die Orthogonalprojektion

 .

Einen Normalenvektor kann man durch Vertauschen der beiden Komponenten des Richtungsvektors der Geraden und durch Umkehrung des Vorzeichens einer der beiden Komponenten ermitteln. In dem obigen Beispiel ist ein solches  . Da eine Gerade im dreidimensionalen Raum keine ausgezeichnete Normalenrichtung besitzt, ist dieser einfache Ansatz aber nur in zwei Dimensionen möglich.

Projektion auf eine EbeneBearbeiten

 
Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Ebene  . Das Lot   steht senkrecht auf allen Geraden   der Ebene durch den Lotfußpunkt  .

DefinitionBearbeiten

Im dreidimensionalen Raum kann ein Punkt   auch auf eine Ebene   orthogonal projiziert werden. Eine Orthogonalprojektion muss dann die beiden Bedingungen

  •     (Projektion)
  •     (Orthogonalität)

erfüllen. Auch hier spricht man von Lot und Lotfußpunkt. Die Orthogonalität impliziert dabei, dass das Lot senkrecht auf allen Geraden der Ebene durch den Lotfußpunkt   steht.

HerleitungBearbeiten

 
Orthogonalprojektion   eines Vektors   auf eine Ebene   mit Stützvektor   und orthogonalen Richtungsvektoren   und  

Ein Punkt im euklidischen Raum werde wieder durch einen Ortsvektor

 
beschrieben und die Ebene sei in Parameterform
 
gegeben, wobei   und   reelle Parameter sind sowie   und   die Spannvektoren der Ebene, welche nicht kollinear sein dürfen.

Aufgrund der Linearität des Skalarprodukts reicht es dabei aus, Orthogonalität bezüglich der beiden Spannvektoren statt bezüglich aller Vektoren der Ebene nachzuweisen.

Handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene, das heißt  , dann muss die Orthogonalprojektion   des Punkts   auf die Ebene   die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

  1.  
  2.  
  3.  

Setzt man die erste Gleichung in die anderen beiden Gleichungen ein, erhält man mit

 

ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten   und  . Falls die Spannvektoren zueinander orthogonal sind, das heißt   gilt, dann zerfällt dieses Gleichungssystem in zwei voneinander unabhängige Gleichungen und seine Lösung kann direkt angegeben werden. Die Orthogonalprojektion   des Punkts   auf die Ebene   ist dann gegeben durch:

 

Sind die Spannvektoren sogar orthonormal, gilt also zusätzlich  , dann hat man die einfachere Darstellung

 
.

Man erhält die Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene also durch Ermittlung der Orthogonalprojektionen   und   des Punkts auf die beiden von den Spannvektoren gebildeten Geraden   und   und durch Addition der Resultate (siehe Abbildung).

BeispielBearbeiten

Die Orthogonalprojektion des Punkts   auf die Ursprungsebene, die durch die orthogonalen Vektoren   und   aufgespannt wird, ist

 .

EigenschaftenBearbeiten

Befindet sich der zu projizierende Punkt   bereits auf der Ebene, dann gibt es Zahlen   und   mit   und die Orthogonalprojektion

 

verändert den Punkt nicht. Andernfalls minimiert der orthogonal projizierte Punkt den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und allen Punkten der Ebene, da für das Quadrat dieses Abstands mit dem Satz des Pythagoras

 

für alle Zahlen   gilt. Das Minimum wird dabei eindeutig für   und   an dem orthogonal projizierten Punkt angenommen. Bildet   sowohl mit  , als auch mit   einen rechten Winkel, dann ist der projizierte Punkt der Nullpunkt.

BerechnungBearbeiten

Verläuft eine Ebene nicht durch den Ursprung, so kann sie durch Translation um   in den Ursprung verschoben werden. Sind ihre Spannvektoren nicht orthogonal, so können diese mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens orthogonalisiert werden. Hierzu ermittelt man (beispielsweise) einen zu   orthogonalen Vektor   als Verbindungsvektor von   zur Orthogonalprojektion von   auf die Gerade in Richtung  

 

und erhält somit den Allgemeinfall einer Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Ebene   durch

 .

Alternativ dazu kann eine Orthogonalprojektion auch durch Berechnung des Schnitts der Lotgeraden mit der Ebene berechnet werden. Ein Normalenvektor   der Ebene kann, sofern sie nicht in Normalenform gegeben ist, über das Kreuzprodukt der (nicht notwendigerweise orthogonalen, aber nichtkollinearen) Spannvektoren durch   berechnet werden. Man erhält dann wie im zweidimensionalen Fall als Orthogonalprojektion

 .

Lineare AlgebraBearbeiten

In der linearen Algebra wird das Konzept der Orthogonalprojektion auf allgemeine Vektorräume   mit endlicher Dimension   über dem Körper   der reellen oder komplexen Zahlen, sowie allgemeine Skalarprodukte   und damit Orthogonalitätsbegriffe verallgemeinert. Zwei Vektoren   sind definitionsgemäß genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt   ist.[1]

Algebraische DarstellungBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Orthogonalprojektion auf einen Untervektorraum   eines Vektorraums   ist eine lineare Abbildung  , die für alle Vektoren   die beiden Eigenschaften

  •     (Projektion)
  •     für alle       (Orthogonalität)[2]

erfüllt. Der Differenzvektor   liegt damit im orthogonalen Komplement   von  . Das orthogonale Komplement ist selbst ein Untervektorraum bestehend aus denjenigen Vektoren in  , die orthogonal zu allen Vektoren in   sind.

DarstellungBearbeiten

Ist   eine Basis des Untervektorraums   mit der Dimension  , dann hat jeder Vektor   eine eindeutige Darstellung als Linearkombination  . Aufgrund der Sesquilinearität des Skalarprodukts reicht es daher aus, Orthogonalität lediglich bezüglich der Basisvektoren statt bezüglich aller Vektoren des Untervektorraums nachzuweisen. Eine Orthogonalprojektion   muss demnach die Bedingungen

  •  
  •     für    

erfüllen. Setzt man die erste Gleichung in die anderen Gleichungen ein, erhält man mit

    für    

ein lineares Gleichungssystem mit   Gleichungen und den   Unbekannten  . Die dabei zugrunde liegende Gramsche Matrix   ist aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren regulär und damit ist dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar. Ist nun   eine Orthogonalbasis von  , das heißt   für  , dann ist die zugehörige Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix und das Gleichungssystem hat eine direkt angebbare Lösung. Die Orthogonalprojektion   des Vektors   auf den Untervektorraum   ist dann durch

 

gegeben. Bildet   sogar eine Orthonormalbasis, das heißt   mit dem Kronecker-Delta  , dann hat die Orthogonalprojektion die einfachere Darstellung

 .

BeispieleBearbeiten

Wählt man als Vektorraum   den Standardraum   und als Skalarprodukt   das Standardskalarprodukt, so ist ein Untervektorraum eine lineare Mannigfaltigkeit (etwa eine Gerade, Ebene oder Hyperebene) durch den Nullpunkt und die Orthogonalprojektionen des vorangegangenen Geometrie-Abschnitts entsprechen gerade den Spezialfällen

  • Projektion auf eine Ursprungsgerade in der Ebene:  
  • Projektion auf eine Ursprungsgerade im Raum:  
  • Projektion auf eine Ursprungsebene im Raum:  

Der Fall   entspricht in jeder Dimension der Abbildung eines Vektors auf den Nullpunkt und der Fall   lässt den Vektor immer unverändert, da eine Orthogonalprojektion dann die identische Abbildung ist.

EigenschaftenBearbeiten

Eine Orthogonalprojektion ist eine Projektion, das heißt eine idempotente lineare Abbildung des Vektorraumes   in sich selbst (genannt Endomorphismus). Ist der zu projizierende Vektor   nämlich bereits Element des Untervektorraums, dann gibt es Skalare  , sodass   ist, und die Orthogonalprojektion

 

verändert den Vektor nicht, woraus die Idempotenz folgt. Die Linearität der Abbildung folgt direkt aus der Sesquilinearität des Skalarprodukts. Zudem gilt die Selbstadjungiertheit

 

für alle Vektoren  . Der orthogonal projizierte Vektor minimiert den Abstand zwischen dem Ausgangsvektor und allen Vektoren des Untervektorraums bezüglich der von dem Skalarprodukt abgeleiteten Norm  , denn es gilt mit dem Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume

 .

für alle  . Das Minimum wird dabei eindeutig an dem orthogonal projizierten Vektor angenommen. Liegt der Vektor   im orthogonalen Komplement des Untervektorraums, dann ist der projizierte Vektor der Nullvektor.

AllgemeinfallBearbeiten

Ist die Basis   des Unterraums nicht orthogonal, so kann sie mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisiert und so eine Orthogonalbasis   von   erhalten werden. Weiterhin kann ein Vektor auch auf einen affinen Unterraum   mit   orthogonal projiziert werden. Man erhält dann den Allgemeinfall einer Orthogonalprojektion eines Vektors   auf einen affinen Unterraum   durch

 .

Komplementäre DarstellungBearbeiten

Ist nun   eine orthogonale Komplementärbasis von  , also eine Orthogonalbasis des Komplements  , dann erhält man aufgrund von

 

die komplementäre Darstellung einer Orthogonalprojektion   auf einen affinen Unterraum   als

 .

MatrixdarstellungBearbeiten

KoordinatenBearbeiten

Wählt man für den Vektorraum   eine Orthonormalbasis   bezüglich des Skalarprodukts  , dann kann jeder Vektor   als Koordinatenvektor   über

    mit    

dargestellt werden. Die Koordinaten   sind dabei genau die Längen der Orthogonalprojektionen des Vektors auf die Basisvektoren. Das Skalarprodukt   zweier Vektoren   ist in Koordinatendarstellung dann das Standardskalarprodukt   der zugehörigen Koordinatenvektoren  , wobei   der adjungierte Vektor (im reellen Fall der transponierte Vektor) zu   ist.

DarstellungBearbeiten

Sind nun   die Koordinatenvektoren einer Orthogonalbasis   eines Untervektorraums   und   der Koordinatenvektor eines zu projizierenden Vektors  , dann ist die Koordinatendarstellung einer Orthogonalprojektion

 .

Eine Orthogonalprojektion ist in Koordinatendarstellung damit einfach ein Matrix-Vektor-Produkt   mit der Abbildungsmatrix   gegeben durch

 .

Sind   die Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis von  , so hat die Orthogonalprojektionsmatrix   die einfachere Darstellung

 .

Jeder Summand ist dabei das dyadische Produkt eines Koordinatenvektors mit sich selbst.

BeispieleBearbeiten

Im Koordinatenraum   ist die Orthogonalprojektionsmatrix auf die Ursprungsgerade mit Richtung   gegeben durch

 .

Die Orthogonalprojektionsmatrix auf die Ursprungsebene, die durch   und   aufgespannt wird, ist entsprechend

 .

EigenschaftenBearbeiten

Eine Orthogonalprojektionsmatrix ist idempotent, das heißt, es gilt

 .

Weiterhin ist sie selbstadjungiert (im reellen Fall symmetrisch), da

 

ist. Für den Rang und die Spur einer Orthogonalprojektionsmatrix gilt

 ,

da für idempotente Matrizen Rang und Spur übereinstimmen und die Einzelmatrizen   jeweils Rang eins besitzen. Die Eigenwerte einer Orthogonalprojektionsmatrix sind   und  , wobei die zugehörigen Eigenräume gerade der Untervektorraum   und sein orthogonales Komplement   sind. Die Spektralnorm einer Orthogonalprojektionsmatrix ist damit, sofern   nicht der Nullvektorraum   ist, gleich eins.

AllgemeinfallBearbeiten

Bilden die Koordinatenvektoren   zwar eine Basis, aber keine Orthogonalbasis des Untervektorraums, so kann man sie zur Berechnung einer Orthogonalprojektion orthogonalisieren oder ein entsprechendes lineares Gleichungssystem lösen. Fasst man die Basisvektoren spaltenweise zu einer Matrix   zusammen, dann hat dieses Gleichungssystem die Gestalt der Normalgleichungen

 

mit dem Koeffizientenvektor  . Die Matrixdarstellung einer Orthogonalprojektion ist dann aufgrund von   gegeben durch

 .

Diese Matrix findet breite Anwendung in der Statistik (siehe Projektionsmatrix (Statistik)). Eine Orthogonalprojektion auf einen affinen Unterraum   ist in Matrixdarstellung dann die affine Abbildung

 

mit der Einheitsmatrix   und mit   als dem Koordinatenvektor von  . Unter Verwendung homogener Koordinaten lässt sich jede Orthogonalprojektion auch als ein einfaches Matrix-Vektorprodukt darstellen.

Komplementäre DarstellungBearbeiten

Eine Orthogonalprojektion auf einen affinen Unterraum   hat die komplementäre Matrixdarstellung

 

mit der Orthogonalprojektionsmatrix auf den Komplementärraum   gegeben durch

 .

Bilden die Koordinatenvektoren   eine Orthogonalbasis des Komplementärraums  , so hat die komplementäre Orthogonalprojektionsmatrix die Darstellung

 .

FunktionalanalysisBearbeiten

In der Funktionalanalysis wird das Konzept der Orthogonalprojektion auf unendlichdimensionale Skalarprodukträume über den reellen oder komplexen Zahlen verallgemeinert und insbesondere auf Funktionenräume angewandt.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Skalarproduktraum und ist   ein Untervektorraum von   mit orthogonalem Komplement  , dann ist eine Orthogonalprojektion ein Operator   (auch orthogonaler Projektor genannt), mit den beiden Eigenschaften

  •     (Projektion)
  •     (Orthogonalität)

wobei   das Bild und   der Kern des Operators ist. Der komplementäre Operator   besitzt dann als Bild   und als Kern  .

Existenz und EindeutigkeitBearbeiten

 
Orthogonale Zerlegung eines Vektors   in einen Teil   in einer Ebene   und einen Teil   im orthogonalen Komplement   der Ebene

Damit solche Orthogonalprojektionen auch existieren und eindeutig sind, müssen die betrachteten Räume jedoch eingeschränkt werden. Ist   ein Hilbertraum, also ein vollständiger Skalarproduktraum, und ist   ein abgeschlossener Untervektorraum von  , dann stellt der Projektionssatz die Existenz und Eindeutigkeit von Orthogonalprojektionen sicher. Zu jedem Vektor   gibt es dann eindeutige Vektoren   und  , sodass dieser Vektor die Darstellung

 

besitzt. Damit bilden   und   eine orthogonale Zerlegung von  , das heißt, der gesamte Raum   lässt sich als orthogonale Summe   darstellen.[3] Ein endlichdimensionaler Untervektorraum ist immer abgeschlossen und auf die Vollständigkeit von   kann dann auch verzichtet werden.

DarstellungBearbeiten

Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis, die sich allerdings nicht immer explizit angeben lässt. Ist allerdings   ein separabler Hilbertraum, dann ist eine solche Orthonormalbasis   als Schauderbasis abzählbar, sodass jeder Vektor   in eine Reihe

 

entwickelt werden kann.[4] Eine solche Orthonormalbasis kann stets aus einer linear unabhängigen Teilmenge von   mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens erhalten werden. Ist nun   eine (ebenfalls abzählbare) Orthonormalbasis eines abgeschlossenen Untervektorraums  , dann hat eine Orthogonalprojektion die Reihendarstellung

 .

Diese Darstellung lässt sich auch auf nicht-separable, also überabzählbar-dimensionale Hilberträume verallgemeinern. Ist   ein abgeschlossener Untervektorraum eines allgemeinen Hilbertraums und   mit einer beliebigen Indexmenge   eine Orthonormalbasis dieses Untervektorraums, dann hat eine Orthogonalprojektion die entsprechende Darstellung

 ,

wobei nur abzählbar viele Summenglieder dieser Summe ungleich null sind. Diese Reihen sind nach der Besselschen Ungleichung unbedingt konvergent und nach der Parsevalschen Gleichung wird dabei tatsächlich jedes Element von   auf sich selbst abgebildet.[5]

BeispielBearbeiten

 
L2-Bestapproximationen der Exponentialfunktion im Intervall   durch konstante, lineare und quadratische Polynome

Gegeben sei der Raum L2 der quadratisch integrierbaren reellen Funktionen im Intervall   mit dem L2-Skalarprodukt

 

Für diesen Raum bilden die Legendre-Polynome ein vollständiges Orthogonalsystem. Gesucht ist nun die Orthogonalprojektion der Exponentialfunktion   auf den Untervektorraum der linearen Funktionen. Für diesen Unterraum bilden die beiden Monome   eine Orthogonalbasis, was nach Normierung die Orthonormalbasis

 

ergibt. Die Orthogonalprojektion von   auf den Untervektorraum der linearen Funktionen ist dann gegeben durch

 .

EigenschaftenBearbeiten

Ist   ein Hilbertraum und   ein abgeschlossener Unterraum von  , dann ist   ein stetiger linearer Operator mit den folgenden Eigenschaften:[3][6]

  •   ist eine Projektion, das heißt  .
  •   ist selbstadjungiert, das heißt   mit dem adjungierten Operator  .
  •   ist normal, das heißt  .
  •   ist positiv, das heißt insbesondere   für alle  .
  •   ist eine partielle Isometrie, bei der der isometrische Anteil die Identität ist.
  •   ist genau dann kompakt, wenn   endlichdimensional ist.
  •   ist Bestapproximation in der Skalarproduktnorm, das heißt  .
  •  , falls  , und  , falls   (in der Operatornorm).

Umgekehrt ist eine stetige lineare Projektion  , die selbstadjungiert oder normal oder positiv oder auf eins normiert ist, eine Orthogonalprojektion auf den Bildraum  .[6]

AnwendungenBearbeiten

Orthogonalprojektionen besitzen vielfältige Anwendungen, von denen hier nur einige herausgestellt werden:

Geometrie
Lineare Algebra
Funktionalanalysis
Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Im Folgenden wird diejenige Variante des komplexen Skalarprodukts verwendet, die linear im ersten und semilinear im zweiten Argument ist.
  2. Eine dazu äquivalente Bedingung ist   für alle  .
  3. a b Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 220–221.
  4. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 231.
  5. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 229–230.
  6. a b Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 236.

WeblinksBearbeiten