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Ein Vektor und seine lineare Hülle .

In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen, von [linear] span], Aufspann, Erzeugnis oder Abschluss[1] genannt) einer Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus und Skalaren aus . Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der enthält.

DefinitionBearbeiten

Konstruktive DefinitionBearbeiten

Ist   ein Vektorraum über einem Körper   und   eine Teilmenge des Vektorraums, dann ist

  [2]

die lineare Hülle von  . Die lineare Hülle ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen der  .

Im Fall einer endlichen Teilmenge   vereinfacht sich diese Definition zu

 .

Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullvektorraum, das heißt

 ,

denn die leere Summe von Vektoren ergibt per Definition den Nullvektor.

Andere DefinitionenBearbeiten

Äquivalent zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge   eines Vektorraums   ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge   enthält.
  • Die lineare Hülle einer Teilmenge   eines Vektorraums   ist die Schnittmenge aller Untervektorräume   von  , die   enthalten.

NotationBearbeiten

Als Symbole für die lineare Hülle von   werden   bzw.  ,  ,  ,   oder   verwendet. Ist   endlich, etwa  , werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen  ,   oder   verwendet werden.

EigenschaftenBearbeiten

Seien zwei Mengen Teilmengen des  -Vektorraumes:   . Dann gilt:

  1.  ,
  2.  ,
  3.  .

Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.[1]

Weiter gilt:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums   ist ein Untervektorraum von  .
  • Für jeden Unterraum   eines Vektorraums   gilt  .
  • Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.
  • Die Summe   zweier Unterräume   ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also  .
  • In der Menge   der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet   dann einen Verband.
  • Sind   Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle und die Dimensionsformel:
 .

BeispieleBearbeiten

  • Die lineare Hülle   eines einzelnen Vektors   ist eine Gerade durch den Ursprung.
  • Die beiden Vektoren   und   sind Elemente des reellen Vektorraums  . Ihre lineare Hülle   ist die  - -Ebene.
  • Sei   der Vektorraum der formalen Potenzreihen zum Körper   und   die Menge der Monome. Dann ist die lineare Hülle von   der Unterraum der Polynome:
     .

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 9783834809964, 384 Seiten.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162
  2. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30