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Formale Potenzreihe

algebraische Struktur in der Mathematik

Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den (Grenzwert-)Eigenschaften, liegt.

Gemeinsam ist, dass die Koeffizienten aus einem Ring genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich ein vollständiger Ring ist, meist der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen. Ein anderer Unterschied ist, dass die „Variable“ eine Unbestimmte ist, die oft mit Großbuchstaben (oder ) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ nicht zugewiesen wird. Die im Nullpunkt analytischen Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft differenzierbar sind und dem Koeffizientenvergleich unterliegen.

Wegen der vielen gemeinsamen Eigenschaften und Begriffsbildungen werden die formalen Laurent-Reihen in diesem Artikel mitbehandelt. Die Definitionen und Eigenschaften sind bei den formalen Laurent-Reihen geringfügig komplexer, enthalten aber sehr häufig die formalen Potenzreihen als Spezialfall.

Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen Computeralgebra-Systemen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionenBearbeiten

Formale PotenzreiheBearbeiten

Für einen kommutativen Ring   mit Einselement (dem Ausgangsring) bezeichnet   den Ring der formalen Potenzreihen über   in der Unbestimmten  . Er ist isomorph zum Ring   der unendlichen Folgen

 

mit  , so dass

 

die zugehörige formale Potenzreihe ist und die Folge   der Unbestimmten   entspricht.

Der Ring   in   wird durch die Abbildung

 

eingebettet.

Die Folgenglieder   werden Koeffizienten genannt. Vergleiche dazu auch Polynomring.

Formale Laurent-ReiheBearbeiten

Der Quotientenring   von   ist die Lokalisierung von   nach dem Ideal  . Er wird Ring der formalen Laurent-Reihen genannt. Er ist ein Körper, wenn   ein Körper ist.

Eine formale Laurent-Reihe   kann endlich viele Glieder mit negativem Index haben, sie hat also die Form

  mit   .

Diese Reihen können in die Menge[1]   von unendlichen Folgen eingebettet und auch als

 

geschrieben werden unter der Vorschrift, dass fast alle Koeffizienten mit negativem Index verschwinden. Der Unbestimmten   entspricht die Folge:

     
   
Index   0 1

OrdnungBearbeiten

Die Funktion

     
    , falls     (die Nullreihe)
 , falls    

weist einer formalen Laurent-Reihe in der Unbestimmten   ihre Ordnung in der Unbestimmten   zu. Das Minimum   existiert für  , weil es nur endlich viele Indizes   mit   gibt.

Hierbei gelten für   die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:

Für alle   gilt   und  .

Damit lassen sich die formalen Laurent-Reihen als Reihen

 

mit nach unten beschränkter Ordnung und die formalen Potenzreihen

 

als solche mit nicht-negativer Ordnung charakterisieren.

Der einfacheren Schreibweise halber nehmen wir generell an, dass ein Koeffizient   einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe  , falls auf ihn mit einem Index   zugegriffen wird, den Wert 0 liefert.

Addition und MultiplikationBearbeiten

Sei mit

 

eine zweite formale Potenz- oder Laurent-Reihe gegeben, dann geschieht ihre Addition

 

komponentenweise. Dabei ergibt die Summe zweier formaler Potenzreihen wieder eine formale Potenzreihe.

Die Multiplikation

 

ist eine Faltung. Wieder ergibt das Produkt zweier formaler Potenzreihen eine formale Potenzreihe.

EigenschaftenBearbeiten

  • Für die Ringoperationen Addition und Multiplikation gelten die Gesetze der kommutativen Ringe.
  • Die formale Potenz- oder Laurent-Reihe, bei der alle Koeffizienten 0 sind, heißt Nullreihe. Sie ist das neutrale Element 0 der Addition in beiden Ringen,   und  .
  • Ein Skalar   multipliziert sich wie in der üblichen Skalarmultiplikation. Damit ist 1 die Einsreihe.
  • Koeffizientenvergleich: Zwei formale Potenz- oder Laurent-Reihen   und   sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten
 
übereinstimmen.
  • Die Einheiten von   sind genau diejenigen formalen Potenzreihen, deren Absolutglied (konstantes Glied)   eine Einheit in   ist (s. a. den § Multiplikatives Inverses).
  • Ist   ein noetherscher Ring, ein Integritätsring oder ein lokaler Ring, so gilt das jeweils auch für  .
  • Der Polynomring   lässt sich in   homomorph (und injektiv) einbetten als ein Ring von Folgen mit nur endlich vielen nicht-verschwindenden Koeffizienten.
    Ist   ein Körper, so lässt sich der rationale Funktionenkörper   in   homomorph (und injektiv) einbetten.
    Es gelten die Einbettungen  
 
mit den Quotientenkörpern in der unteren Zeile.

Operationen und weitere EigenschaftenBearbeiten

KoeffizientenextraktionBearbeiten

Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad   aus der Potenz- oder Laurent-Reihe   in   wird geschrieben als

 

Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden formalen Reihe auf die  -te Komponente in  . Damit ist

 

und

  .

Bei formalen Potenzreihen   ist für   definitionsgemäß  .

LeitkoeffizientBearbeiten

Die Ordnung   hat eine gewisse Analogie zur Gradfunktion in Polynomringen. So heißt der Koeffizient

    , falls    
  , falls    

auch Leitkoeffizient.

Es gilt für alle  

  •  
(Enthält   keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler – gilt die Gleichheit.)
  •  .

Die Funktion

 

erfüllt alle Forderungen eines nicht-archimedischen Pseudobetrags.

Ist   ein Körper, dann ist   eine (diskrete) Bewertung (ein logarithmisch geschriebener nicht-archimedischer Betrag, engl. valuation) mit dem Ring   als dem (oben erwähnten) zugehörigen Bewertungsring. Man erkennt die  -adische Topologie wieder, wo   das von   erzeugte Ideal der Vielfachen von   ist. Es ist das zugehörige maximale Ideal und   der Restklassenkörper.

PotenzierungBearbeiten

Für   ist

 

mit

 

und rekursiv

      für  ,

also beispielsweise

 ,
 ,
 , ... .

Die   sind Polynome in den   mit ganzzahligen (multinomialen) Koeffizienten, auch wenn die Rekursionsformel nur dann in einfacher Weise nach   aufzulösen ist, wenn   und   im Ring   invertierbar sind. (Für den Fall   s. a. den § Komposition.)

Multiplikatives InversesBearbeiten

Die formale Potenzreihe   hat genau dann ein multiplikatives Inverses  , wenn das Absolutglied

 

invertierbar ist im Ring  . Dann ist auch

 

und rekursiv

 

Ist   ein Körper, dann ist eine formale Potenzreihe genau dann invertierbar in  , wenn das Absolutglied nicht 0 ist, das heißt, wenn sie nicht durch   teilbar ist.

Ist bei der formalen Potenzreihe   das Absolutglied   oder handelt es sich um eine formale Laurent-Reihe, dann lässt sich bei invertierbarem Leitkoeffizienten   die Reihe   in   über den Zwischenschritt

 

multiplikativ invertieren – mit dem Ergebnis:

 

Ist   ein Körper, dann ist   der Quotientenkörper von  .

DivisionBearbeiten

Ist der Divisor   invertierbar in  , dann hat der Quotient

 

zweier Potenzreihen   und   nach dem Rechenschema

Quotient
Dividend Divisor
                   
             
     
         
   
       
 
   

der in der Monomordnung gespiegelten Polynomdivision rekursiv die Koeffizienten

 

Der Zwischenschritt im § Multiplikatives Inverses deutet an, wie sich das gezeigte Rechenschema zu einem Divisionsalgorithmus in   ausbauen lässt.

Inverses von PolynomenBearbeiten

Für Körper   lässt sich der Körper   der rationalen Funktionen (Polynomquotienten) der Form

 

in den Ring   in ähnlicher Weise wie   in   einbetten. Ein wichtiges Beispiel ist

 .

Allgemeiner:
Ist

 

ein von 0 verschiedenes Polynom, dann ist mit   der (Leit-)Koeffizient   invertierbar in   und mit

 

 . Damit ist   multiplikativ invertierbar in   mit dem multiplikativen Inversen  . Das multiplikative Inverse von   ist dann

 

mit den Koeffizienten

 
Beispiel
Ist  , dann ist   und   für  . Die   sind also die (um 1 Position verschobene) Fibonacci-Folge und   ihre erzeugende Funktion.
Somit ist ein Polynomquotient   an seiner Koeffizientenfolge   nicht so leicht als rational zu erkennen wie eine rationale Zahl an ihrer periodischen g-adischen Entwicklung.

  ist die Vervollständigung des Körpers   bezüglich der im § Konvergenz beschriebenen Metrik.

KonvergenzBearbeiten

Eine formale Potenzreihe

 

ist unter der Metrik

 .

Grenzwert der Folge von Polynomen   mit

  .

Das einschlägige Konvergenzkriterium ist ein Cauchy-Kriterium für Folgen, und   ist die Vervollständigung des Polynomrings   bezüglich dieser Metrik.

Diese Metrik erzeugt die Krulltopologie in den Ringen   und  .

Zwei Folgen von formalen Laurent-Reihen   und   haben genau dann denselben Grenzwert, wenn es zu jedem   ein   gibt, so dass für alle  

 

ist, was nichts Anderes bedeutet, als dass für ausreichend große Indizes die Differenzen von Gliedern der beiden Folgen durch beliebig hohe Potenzen von   teilbar sind – kurz: dass die beiden Grenzwerte gleiche Koeffizienten haben.

Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von   (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe Laurent-Reihe#Konvergenz von Laurent-Reihen.

Verkettung (Komposition)Bearbeiten

Eine formale Potenzreihe   ohne Absolutglied lässt sich in eine formale Potenz- oder Laurent-Reihe   mit dem Ergebnis

 

einsetzen (mit ihr verketten).
Für die Einsetzbarkeit der Potenzreihe   ist wichtig, dass sie keinen konstanten Term (kein Absolutglied) hat, dass also   ist. Denn dann hängt   nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.

Ist   eine Potenzreihe, also  , dann ist auch   eine Potenzreihe, und für die Koeffizienten   gilt die Formel

 

mit   und   (s. Multiindex#Konventionen der Multiindex-Schreibweise).

Andernfalls, wenn es   mit   gibt, dann können Potenzen   mit negativem Exponenten über das multiplikative Inverse   gebildet werden.

Die   sind Polynome in den   mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im

Formale DifferentiationBearbeiten

Die formale Ableitung der formalen Potenz- oder Laurent-Reihe   wird mit   oder (wie in der Analysis) mit   bezeichnet:

  .

Dabei ergibt die Ableitung einer formalen Potenzreihe wieder eine formale Potenzreihe. Sie ist eine  -Derivation, und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung einschließlich der Kettenregel:

  .

Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenz- oder Laurent-Reihen wie (unendliche) Taylor-Reihen oder Laurent-Reihen. Tatsächlich ist für  

 

und

  .

Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden. Ferner gilt

  .

Für Reihen mit       gilt das Gleichheitszeichen.

Formales ResiduumBearbeiten

Sei   ein Körper der Charakteristik 0. Dann ist die Abbildung

 

eine  -Derivation, die

 
 

erfüllt. Das zeigt, dass der Koeffizient von   in   von besonderem Interesse ist; er wird formales Residuum von   genannt und mit   notiert. Die Abbildung

 

ist  -linear, und man hat die exakte Sequenz

 .
Ein paar Regeln aus der Differentialrechnung

Für alle   gilt:

i.  .
ii.  .
iii.    .
iv.    .
v.  

Eigenschaft (i) ist Teil der exakten Sequenz.
Eigenschaft (ii) folgt aus (i), wenn auf   angewendet.
Eigenschaft (iii): jedes   kann als   mit   und   geschrieben werden, woraus   Wegen   ist   invertierbar in   woraus   folgt.
Eigenschaft (iv): Da   kann man   mit   schreiben. Folglich ist   und (iv) folgt aus (i) und (iii).
Eigenschaft (v) folgt direkt aus der Definition.

Inverses der Komposition (Umkehrfunktion)Bearbeiten

Hat die formale Potenzreihe   den Koeffizienten   und ist   invertierbar in  , dann lässt sich das Inverse der Komposition, die (formale) Umkehrfunktion,   von   bilden. Ihre Koeffizienten   sind ganzzahlige Polynome in   und den  .

Etwas schwächer, aber leichter hinzuschreiben, sind die Aussagen:

Ist   ein Körper der Charakteristik 0, dann wird die Formel
   
als eine weitere Version der Lagrangeschen Inversionsformel gehandelt.[2][3]
Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:
Ist   beliebig, dann ist
   

Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die Formel von Lagrange-Bürmann) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und Bell-Polynomen.

Beispiel

Die zu

 

inverse Reihe ist

  ,

denn es ist  

  ,

woraus die Behauptung.

Universelle EigenschaftBearbeiten

Der Ring   kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden:
Sei   eine kommutative assoziative Algebra über dem kommutativen und unitären Ring  . Ist nun   ein Ideal von   derart, dass die  -adische Topologie auf   vollständig ist, und ist   dann gibt es ein eindeutiges   mit den folgenden Eigenschaften:

  •  
  •   ist ein Homomorphismus von  -Algebren
  •   ist stetig.

In mehreren UnbestimmtenBearbeiten

Ist   ein kommutativer Ring mit 1, dann sind   und   kommutative Ringe mit 1 und damit auch rekursiv

 

und

 .

Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der   an, m. a. W.: die Ringe aller Permutationen sind isomorph, und man kann jeden Zwischenring als Ausgangsring auffassen.

Allgemein versteht man jede Summe

 

von Monomen der Form   mit ganzzahligen Exponenten   als formale Reihe in mehreren Unbestimmten, und zwar als Potenzreihe, wenn alle Koeffizienten mit einer negativen Indexkomponente   verschwinden, oder als Laurent-Reihe, wenn es eine untere Schranke   mit   gibt.

Durch eine Monomordnung ist es möglich, die Monome entsprechend anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe   heißt der Totalgrad eines Monoms  . Haben die (nichtverschwindenden) Monome einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe alle denselben Totalgrad, so ist sie eine homogene Reihe; bei einer formalen Potenzreihe handelt es sich dann um ein homogenes Polynom.

Beim Operator zur Koeffizientenextraktion

 

aus der Potenz- oder Laurent-Reihe   müssen konstruktionsbedingt alle Monome, in denen die Unbestimmte   den Grad   hat, als Potenz- oder Laurent-Reihe in den anderen Unbestimmten   zusammengefasst werden.

Bei der obigen sukzessiven Bildung von   geht die Topologie des Ausgangsrings, hier:  , verloren: die Topologie des Teilraums   in   ist konstruktionsgemäß die diskrete. Man kann aber auch, wenn solches nicht erwünscht ist, das Ergebnis   mit dem Produkt der Topologien von   und   ausstatten. Für Ringe   von formalen Laurent-Reihen gilt Entsprechendes.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. die unter der noch zu definierenden Addition eine additive Gruppe ist, bei der die nachfolgende Definition der Multiplikation aber nicht funktioniert
  2. A. Sokal
  3. J. Hofbauer