Sei
R
{\displaystyle R}
kommutativer Ring mit Eins und
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
Polynomring über
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
p
∈
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle p\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in R}
p
=
α
X
1
i
1
⋅
⋯
⋅
X
n
i
n
{\displaystyle p=\alpha X_{1}^{i_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{i_{n}}}
existiert. Der Grad dieses Monoms ist
d
e
g
(
p
)
=
i
1
+
⋯
+
i
n
.
{\displaystyle \mathrm {deg} (p)=i_{1}+\dotsb +i_{n}.}
Ein Polynom in
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
f
∈
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle f\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
k
{\displaystyle k}
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
[
T
]
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}][T]}
[1]
f
(
T
X
1
,
…
,
T
X
n
)
=
T
k
⋅
f
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle f(TX_{1},\dotsc ,TX_{n})=T^{k}\cdot f(X_{1},\dotsc ,X_{n})}
Seien
R
{\displaystyle R}
f
,
g
,
h
∈
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle f,g,h\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
f
=
g
h
{\displaystyle f=gh}
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
⟹
{\displaystyle \implies }
f
{\displaystyle f}
Fordert man zusätzlich
g
,
h
≠
0
∈
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle g,h\neq 0\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
⟺
{\displaystyle \Longleftrightarrow }
f
{\displaystyle f}
Jedes Monom ist homogen.
Die Menge aller homogenen Polynome in
R
[
X
]
{\displaystyle R[X]}
R
{\displaystyle R}
{
a
X
n
∣
a
∈
R
,
n
∈
N
∪
{
0
}
}
.
{\displaystyle \{aX^{n}\;\mid \;a\in R,\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\}.}
Einfache Beispiele für homogene Polynome in
Z
[
X
,
Y
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y]}
ganze Zahlen ):
X
4
−
Y
4
{\displaystyle X^{4}-Y^{4}}
deg
(
X
4
)
=
deg
(
Y
4
)
=
4.
{\displaystyle \deg(X^{4})=\deg(Y^{4})=4.}
X
7
+
5
X
3
Y
4
+
X
Y
6
{\displaystyle X^{7}+5X^{3}Y^{4}+XY^{6}}
deg
(
X
7
)
=
deg
(
X
3
Y
4
)
=
deg
(
X
Y
6
)
=
7.
{\displaystyle \deg(X^{7})=\deg(X^{3}Y^{4})=\deg(XY^{6})=7.}
Beispiele für nicht-homogene Polynome in
Q
[
X
,
Y
,
Z
]
{\displaystyle \mathbb {Q} [X,Y,Z]}
rationale Zahlen ):
X
4
Z
−
3
4
Y
Z
2
{\displaystyle X^{4}Z-{\frac {3}{4}}YZ^{2}}
deg
(
X
4
Z
)
=
5
≠
3
=
deg
(
Y
Z
2
)
.
{\displaystyle \deg(X^{4}Z)=5\neq 3=\deg(YZ^{2}).}
X
3
Y
3
Z
2
−
3
X
2
Y
6
−
7
3
Y
5
{\displaystyle X^{3}Y^{3}Z^{2}-3X^{2}Y^{6}-{\frac {7}{3}}Y^{5}}
deg
(
X
3
Y
3
Z
2
)
=
deg
(
X
2
Y
6
)
=
8
{\displaystyle \deg(X^{3}Y^{3}Z^{2})=\deg(X^{2}Y^{6})=8}
deg
(
Y
5
)
=
5.
{\displaystyle \deg(Y^{5})=5.}
Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
=
⨁
d
≥
0
A
d
,
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]=\bigoplus _{d\geq 0}A_{d},}
wobei
A
d
=
⨁
e
1
+
⋯
+
e
n
=
d
,
e
i
≥
0
R
⋅
X
1
e
1
⋅
⋯
⋅
X
n
e
n
{\displaystyle A_{d}=\bigoplus _{e_{1}+\dotsb +e_{n}=d,\ e_{i}\geq 0}R\cdot X_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{e_{n}}}
die Menge der homogenen Polynome vom Grad
d
{\displaystyle d}
A
d
⋅
A
d
′
⊆
A
d
+
d
′
,
{\displaystyle A_{d}\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},}
der Polynomring ist also ein graduierter Ring .
Allgemein heißen in einem graduierten Ring
⨁
d
≥
0
A
d
{\displaystyle \bigoplus _{d\geq 0}A_{d}}
die Elemente aus
A
d
{\displaystyle A_{d}}
d
{\displaystyle d}
↑ Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.
![{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a163f23c4ea9575b3da5875cedfae1da278689b)
![{\displaystyle p\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35799dc90ab6fdb914c24d736d2555566d520289)
![{\displaystyle f\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8aff92116d80288377baa4491a48dc79291745)
![{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}][T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78586955e9c081dc160dd42c9248f96a44c868e)
![{\displaystyle f,g,h\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4fec1e3415804d45544c9c7bfb275e30975b2e)
![{\displaystyle g,h\neq 0\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df103679c74761f576c3293b7272b9919816e29)
![{\displaystyle R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeccd52deabb878398a8485755c3ceea80caf9a)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3c6bf9e1d05d96bc2ca6ee873498ac705b2516)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [X,Y,Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b14b09a3dbd8b84b25a883655911563840292e)
![{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]=\bigoplus _{d\geq 0}A_{d},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b0fe2bdf1b4ee123b05b4288b14bbd4229ed25)
