Homogenes Polynom

Ein (multivariables) Polynom heißt homogen, falls alle Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben. Homogene Polynome werden auch als Formen bezeichnet.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring mit Eins und   der Polynomring über   in   Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom  , für das ein   mit

 

existiert. Der Grad dieses Monoms ist

 

Ein Polynom in   wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

EigenschaftenBearbeiten

  •   ist genau dann homogen vom Grad  , wenn in   gilt:[1]
 
  • Bei einem Polynomring über einem Integritätsring ist ein Produkt von Polynomen genau dann homogen, wenn jeder Faktor homogen ist.[2]

BeispieleBearbeiten

  • Jedes Monom ist homogen.
  • Die Menge aller homogenen Polynome in  , dem Polynomring in einer Variablen über  , ist gegeben durch
 
  • Einfache Beispiele für homogene Polynome in   (siehe ganze Zahlen):
    •   ist homogen wegen  
    •   ist homogen wegen  
  • Beispiele für nicht-homogene Polynome in   (siehe rationale Zahlen):
    •   ist nicht homogen wegen  
    •   ist nicht homogen wegen   und  

GraduierungBearbeiten

Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:

 

wobei

 

die Menge der homogenen Polynome vom Grad   zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt

 

der Polynomring ist also ein graduierter Ring.

VerallgemeinerungBearbeiten

Allgemein heißen in einem graduierten Ring

 

die Elemente aus   homogen vom Grad  .

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.
  2. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Produkt homogener Polynome.

LiteraturBearbeiten