Sei
R
{\displaystyle R}
ein kommutativer Ring mit Eins und
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
der Polynomring über
R
{\displaystyle R}
in
n
{\displaystyle n}
Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom
p
∈
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle p\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
, für das ein
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in R}
mit
p
=
α
X
1
i
1
⋅
⋯
⋅
X
n
i
n
{\displaystyle p=\alpha X_{1}^{i_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{i_{n}}}
existiert. Der Grad dieses Monoms ist
d
e
g
(
p
)
=
i
1
+
⋯
+
i
n
.
{\displaystyle \mathrm {deg} (p)=i_{1}+\dotsb +i_{n}.}
Ein Polynom in
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.
f
∈
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle f\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}
ist genau dann homogen vom Grad
k
{\displaystyle k}
, wenn in
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
[
T
]
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}][T]}
gilt:[1]
f
(
T
X
1
,
…
,
T
X
n
)
=
T
k
⋅
f
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle f(TX_{1},\dotsc ,TX_{n})=T^{k}\cdot f(X_{1},\dotsc ,X_{n})}
Bei einem Polynomring über einem Integritätsring ist ein Produkt von Polynomen genau dann homogen, wenn jeder Faktor homogen ist.[2]
Jedes Monom ist homogen.
Die Menge aller homogenen Polynome in
R
[
X
]
{\displaystyle R[X]}
, dem Polynomring in einer Variablen über
R
{\displaystyle R}
, ist gegeben durch
{
a
X
n
∣
a
∈
R
,
n
∈
N
∪
{
0
}
}
.
{\displaystyle \{aX^{n}\;\mid \;a\in R,\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\}.}
Einfache Beispiele für homogene Polynome in
Z
[
X
,
Y
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y]}
(siehe ganze Zahlen ):
X
4
−
Y
4
{\displaystyle X^{4}-Y^{4}}
ist homogen wegen
deg
(
X
4
)
=
deg
(
Y
4
)
=
4.
{\displaystyle \deg(X^{4})=\deg(Y^{4})=4.}
X
7
+
5
X
3
Y
4
+
X
Y
6
{\displaystyle X^{7}+5X^{3}Y^{4}+XY^{6}}
ist homogen wegen
deg
(
X
7
)
=
deg
(
X
3
Y
4
)
=
deg
(
X
Y
6
)
=
7.
{\displaystyle \deg(X^{7})=\deg(X^{3}Y^{4})=\deg(XY^{6})=7.}
Beispiele für nicht-homogene Polynome in
Q
[
X
,
Y
,
Z
]
{\displaystyle \mathbb {Q} [X,Y,Z]}
(siehe rationale Zahlen ):
X
4
Z
−
3
4
Y
Z
2
{\displaystyle X^{4}Z-{\frac {3}{4}}YZ^{2}}
ist nicht homogen wegen
deg
(
X
4
Z
)
=
5
≠
3
=
deg
(
Y
Z
2
)
.
{\displaystyle \deg(X^{4}Z)=5\neq 3=\deg(YZ^{2}).}
X
3
Y
3
Z
2
−
3
X
2
Y
6
−
7
3
Y
5
{\displaystyle X^{3}Y^{3}Z^{2}-3X^{2}Y^{6}-{\frac {7}{3}}Y^{5}}
ist nicht homogen wegen
deg
(
X
3
Y
3
Z
2
)
=
deg
(
X
2
Y
6
)
=
8
{\displaystyle \deg(X^{3}Y^{3}Z^{2})=\deg(X^{2}Y^{6})=8}
und
deg
(
Y
5
)
=
5.
{\displaystyle \deg(Y^{5})=5.}
Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:
R
[
X
1
,
…
,
X
n
]
=
⨁
d
≥
0
A
d
,
{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]=\bigoplus _{d\geq 0}A_{d},}
wobei
A
d
=
⨁
e
1
+
⋯
+
e
n
=
d
,
e
i
≥
0
R
⋅
X
1
e
1
⋅
⋯
⋅
X
n
e
n
{\displaystyle A_{d}=\bigoplus _{e_{1}+\dotsb +e_{n}=d,\ e_{i}\geq 0}R\cdot X_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{e_{n}}}
die Menge der homogenen Polynome vom Grad
d
{\displaystyle d}
zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt
A
d
⋅
A
d
′
⊆
A
d
+
d
′
,
{\displaystyle A_{d}\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},}
der Polynomring ist also ein graduierter Ring .
Allgemein heißen in einem graduierten Ring
⨁
d
≥
0
A
d
{\displaystyle \bigoplus _{d\geq 0}A_{d}}
die Elemente aus
A
d
{\displaystyle A_{d}}
homogen vom Grad
d
{\displaystyle d}
.
↑ Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.
↑ Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Produkt homogener Polynome.